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预习衔接.夯实基础 用样本估计总体数字特征
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 平度市期中）若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（　　）
A． B． C． D．6
2．（2024秋 平度市期中）一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，4，x，6，7，9，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第60百分位数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024秋 桦南县校级期中）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
4．（2024秋 成都期中）2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（　　）
A．该组数据的第60百分位数为7.5
B．该组数据的极差为5
C．该组数据的平均数为7.5
D．该组数据的中位数为7
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 开福区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体m被抽到的概率是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18
D．若样本数据x1，x2， ，x10的平均值为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1， ，2x10﹣1的平均值为15
（多选）6．（2024秋 青羊区校级期中）成都七中高新校区高二年级14个班团体操比赛成绩从小到大排序依次为：88，89，90，90，90，90，91，91，91，92，92，93，93，94（单位分），则下列说法正确的是（　　）
A．众数为90 B．中位数为91.5
C．第80百分位数为92 D．方差为
（多选）7．（2024秋 荔湾区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，m+1，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5
C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数
D．甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浦东新区校级期中）数据1，4，4，6，7，8的第60百分位数是 　 　．
9．（2024秋 杨浦区校级期中）设a∈R．对于样本数据a，6，9，6，12，若该样本的第60百分位数是一个整数，则符合题意的a的个数为 　 　．
10．（2024春 珲春市校级期末）若某次调查样本数据为1，a，5，y，7，且a，y是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个样本的方差是 　 　．
11．（2024秋 成都期中）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某校为了解学生的健康状况，研究人员从学生的体测数据中，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，样本中有20名女生，女生的BMI值的平均数为20，方差为8；有30名男生，男生的BMI值的平均数为25，方差为18．则样本中所有学生的BMI值的方差为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 成都期中）庚子新春，“新冠”肆虐，面对新冠肺炎的发生，某医疗小组提出了一种治疗的新方案．为测试该方案的治疗效果，此医疗小组选取了患病程度相同的12名病人志愿者，将他们随机分成两组，每组6人．第一组用新方案治疗，第二组用旧方案治疗．统计病人的痊愈时间（单位：天）如下表：
新方案治疗 3 6 6 7 10 10
旧方案治疗 5 8 9 11 12 15
记新方案和旧方案治疗病人痊愈时间的平均数分别为和，方差分别为和．
（1）求，，，；
（2）判断新方案的治疗效果较旧方案是否有显著提高．
说明：如果，则认为新方案的治疗效果较旧方案是有显著提高，否则不认为有显著提高．
13．（2024秋 桃城区校级期中）高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm．
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高．
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
14．（2024秋 宝山区校级期末）随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据如下：
甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171
乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165
（1）计算甲班的样本方差；
（2）求乙班数据的25%分位数．
15．（2024 高碑店市校级模拟）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如表：
甲 8 6 7 8 6 5 9 10 4 7
乙 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别计算以上两组数据的方差；
（3）根据计算的结果，对甲乙两人的射击成绩作出评价．
预习衔接.夯实基础 用样本估计总体数字特征
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 平度市期中）若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（　　）
A． B． C． D．6
【考点】方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合方差、平均数公式，即可求解．
【解答】解：数据8和10的平均数为9，方差为1，
6个数据的平均数为：，
故这6个数据的方差为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查方差公式的应用，属于基础题．
2．（2024秋 平度市期中）一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，4，x，6，7，9，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第60百分位数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合平均数公式，以及百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：该组数据的中位数与平均数相同，
则，解得x＝5，
60%×7＝4.2，
故该组数据的第60百分位数是6．
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数公式，以及百分位数的定义，属于基础题．
3．（2024秋 桦南县校级期中）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【考点】平均数；中位数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断．
【解答】解：根据题意，由数据分布图知，
数据的众数为c，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为右起第二个矩形下底边的中点值，
数据的中位数为b，直线x＝b左右两边矩形面积相等，而直线x＝c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b＜c，
数据的平均数为a，由于数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b，即a＜b，
所以a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查由数据分布图分析数据，注意平均数、中位数、众数的定义，属于基础题．
4．（2024秋 成都期中）2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（　　）
A．该组数据的第60百分位数为7.5
B．该组数据的极差为5
C．该组数据的平均数为7.5
D．该组数据的中位数为7
【考点】百分位数；中位数；极差．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据百分位数的计算即可判断A，根据极差的定义即可求解B，根据平均数的计算即可求解C，根据中位数的计算即可求解D．
【解答】解：由幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，可得：
A选项：10×60%＝6，因此该组数据的第60百分位数为，故A正确；
B选项：该组数据最大为9，最小为4，因此极差为9﹣4＝5，故B正确；
C选项：该组数据的平均数为，故C错误；
D选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查百分位数和极差的定义，考查平均数和中位数的求法，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 开福区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体m被抽到的概率是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18
D．若样本数据x1，x2， ，x10的平均值为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1， ，2x10﹣1的平均值为15
【考点】百分位数；方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】A根据简单随机抽样的概率求法判断；B由平均数求参数，应用方差公式求方差；C根据百分数定义求分位数；D应用平均数的性质求新数据的均值．
【解答】解：某个个体被抽到的概率为，故A正确；
数据1，2，m，6，7的平均数是4，则m＝4×5﹣1﹣2﹣6﹣7＝4，
这组数据的方差，故B错误；
由8×50%＝4，第50百分位数为，故C正确；
样本数据x1，x2， ，x10的平均值为8，
则数据2x1﹣1，2x2﹣1， ，2x10﹣1的平均值为2×8﹣1＝15，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 青羊区校级期中）成都七中高新校区高二年级14个班团体操比赛成绩从小到大排序依次为：88，89，90，90，90，90，91，91，91，92，92，93，93，94（单位分），则下列说法正确的是（　　）
A．众数为90 B．中位数为91.5
C．第80百分位数为92 D．方差为
【考点】百分位数；中位数；众数；方差．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据中位数，众数，百分位数，方差的定义计算即可．
【解答】解：众数为90；中位数为91；14×0.8＝11.2，故第80百分位数取第12个数为93，
又91，
则方差为．
故选：AD．
【点评】本题考查数据的运算，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 荔湾区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，m+1，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5
C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数
D．甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3
【考点】百分位数；简单随机抽样及其适用条件；由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数；中位数；方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据数据的平均数、中位数、百分位数、分层抽样的方差的计算方法逐一分析选项即可．
【解答】解：对A，每个个体被抽到的概率是，故A正确；
对B，已知一组数据1，2，m，m+1，8，9的平均数为5，
则，即，解得，
则数据的中位数为，故B正确；
对C，已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，
将数学成绩从小到大排列，小明成绩为第36名，
又由，则小明成绩的百分位数是80，故C错误；
对D，由题意得甲班和乙班这60人的数学成绩的平均数为，
甲班和乙班这60人的数学成绩的方差为，
故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浦东新区校级期中）数据1，4，4，6，7，8的第60百分位数是 　6　．
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】6．
【分析】根据百分位数的概念，即可求解．
【解答】解：∵6×0.6＝3.6，
∴数据1，4，4，6，7，8的第60百分位数是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查百分位数的求解，属基础题．
9．（2024秋 杨浦区校级期中）设a∈R．对于样本数据a，6，9，6，12，若该样本的第60百分位数是一个整数，则符合题意的a的个数为 　3　．
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3．
【分析】该样本共有五个数据，第60百分位数为第三四两个数的平均数，将数据从小到大排序，讨论a的不同情况，计算符合条件的百分位数求出结果．
【解答】解：当a＞12时，6，6，9，12，a，此时第60百分位数为10.5，不合题意；
当9＜a≤12时，该样本为6，6，9，a，12，此时第60百分位数为，若为整数，则a＝11；
当6＜a≤9时，该样本为6，6，a，9，12，此时第60百分位数为，若为整数，则a＝7或9；
当a≤6时，该样本为a，6，6，9，12，此时第60百分位数为7.5，不合题意；
所以符合题意的a的个数为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查百分位数的求解，属于基础题．
10．（2024春 珲春市校级期末）若某次调查样本数据为1，a，5，y，7，且a，y是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个样本的方差是 　4　．
【考点】方差．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】4．
【分析】先求出方程x2﹣7x+12＝0的两个根，再结合方差的定义求解．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0，得x＝3或4，
不妨a＝3，y＝4，
则样本平均数是4，
所以这个样本的方差是．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了方差的定义，属于基础题．
11．（2024秋 成都期中）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某校为了解学生的健康状况，研究人员从学生的体测数据中，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，样本中有20名女生，女生的BMI值的平均数为20，方差为8；有30名男生，男生的BMI值的平均数为25，方差为18．则样本中所有学生的BMI值的方差为 　20　．
【考点】方差．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】20．
【分析】根据分层随机抽样的总体方差公式即可求解．
【解答】解：设所有学生的BMI值的平均数为a，方差为s2，
则，
∴[18+（25﹣23）2]＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查方差公式的应用，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 成都期中）庚子新春，“新冠”肆虐，面对新冠肺炎的发生，某医疗小组提出了一种治疗的新方案．为测试该方案的治疗效果，此医疗小组选取了患病程度相同的12名病人志愿者，将他们随机分成两组，每组6人．第一组用新方案治疗，第二组用旧方案治疗．统计病人的痊愈时间（单位：天）如下表：
新方案治疗 3 6 6 7 10 10
旧方案治疗 5 8 9 11 12 15
记新方案和旧方案治疗病人痊愈时间的平均数分别为和，方差分别为和．
（1）求，，，；
（2）判断新方案的治疗效果较旧方案是否有显著提高．
说明：如果，则认为新方案的治疗效果较旧方案是有显著提高，否则不认为有显著提高．
【考点】方差．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），，，；
（2）新方案的治疗效果较旧方案有显著提高．
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求解即可；
（2）根据题设判断即可．
【解答】解：（1）由已知可得，
，
同理可得，，
；
（2）∵，且，
∴新方案的治疗效果较旧方案有显著提高．
【点评】本题考查平均数和方差公式，考查运算求解能力，是中档题．
13．（2024秋 桃城区校级期中）高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm．
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高．
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；分层随机抽样．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）男生49人，女生51人，平均身高165.4cm；（2）见解析．
【分析】（1）先计算抽样比例，得到男生人数和女生人数，再计算平均身高得到答案；
（2）根据（1）的计算公式计算得到答案．
【解答】解：（1）抽取男生人数为，抽取女生人数为，
高二年级全体学生的平均身高估计为；
（2）仍按（1）方式进行估计，即．
【点评】本题考査了分层抽样的相关计算，意在考査学生的计算能力．
14．（2024秋 宝山区校级期末）随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据如下：
甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171
乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165
（1）计算甲班的样本方差；
（2）求乙班数据的25%分位数．
【考点】百分位数；用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）57.2；
（2）165cm
【分析】（1）利用平均数与方差的计算公式即可得解；
（2）利用百分位数的定义求解即可．
【解答】解：（1）依题意，设甲班的样本平均数为，方差为s2，
则（170+179+162+168+158+182+179+168+163+171）＝170，
所以s2[02+92+（﹣8）2+（﹣2）2+（﹣12）2+122+92+（﹣2）2+（﹣7）2+12]＝57.2；
（2）将乙班数据从小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181，
又10×25%＝2.5，所以乙班数据的25%分位数为第3位数，即165cm．
【点评】本题主要考查方差的求法，百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（2024 高碑店市校级模拟）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如表：
甲 8 6 7 8 6 5 9 10 4 7
乙 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别计算以上两组数据的方差；
（3）根据计算的结果，对甲乙两人的射击成绩作出评价．
【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】对应思想；转化法；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平均数的计算公式求出平均数即可；
（2）根据方差的计算公式求出方差即可；
（3）根据（1），（2）判断即可．
【解答】解：（1）甲的平均分为：7；
乙的平均分为：7 …（4分）
（2）甲的方差为：[（8﹣7）2+（6﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝3；
乙的方差为：[（6﹣7）2+（7﹣7）2+…+（5﹣7）2]＝1.2 …（8分）
（3）甲、乙的平均分相同，说明甲、乙两人射击的平均水平相当，又，
说明乙的射击水平要比甲的射击水平更稳定．…（12分）
【点评】本题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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