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预习衔接.夯实基础 频率与概率
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 十堰期末）已知P（A），则P（A∪B）＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 如皋市模拟）设A，B是一个随机试验中的两个事件，则（　　）
A．P（A∪B）＝P（A）+P（B） B．P（A）+P（B）≤1
C．P（A∩B）＝P（A）P（B） D．若A B，则P（A）≤P（B）
3．（2024秋 新会区校级期中）以下一些说法，其中正确的有（　　）
A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖
C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的
4．（2024秋 新会区校级期中）一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
110 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件M发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 太原期末）下列结论正确的是（　　）
A．任何事件的概率总是在（0，1）内
B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率
C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定不小于A，B中恰有一个发生的概率
（多选）6．（2024春 曲靖期末）下列说法不正确的是（　　）
A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
（多选）7．（2024秋 德阳期末）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数：423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354，根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（　　）
A．甲获得冠军的概率近似值为0.65
B．甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5
C．比赛总共打满三局的概率近似值为0.55
D．乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 石家庄期末）天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨．用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 　 　．
9．（2024春 科尔沁区校级期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 　 　．
10．（2024秋 琼山区校级期末）采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为 　 　．
11．（2024秋 徐汇区期末）管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有 　 　条鱼．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 林芝市期末）甲，乙二人进行球类比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分．已知甲，乙共进行了三局比赛．
（1）用（9，0）表示甲胜三局时甲，乙二人的得分情况，写出甲，乙二人所有的得分情况，并求甲，乙二人得分之和为9分的概率．
（2）如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜．由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
①用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
②计算甲获胜的概率．
13．（2022春 项城市校级期末）已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率．
14．（2023春 临沂期中）我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线f（x），其中μ为总体平均数，σ为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数μ＝2600小时．
（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；
（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．
15．（2024春 昆明期末）平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）．
大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）．
（1）为了估算曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴围成的区域M的面积，记点集{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（π≈3.14，结果保留一位小数）
（2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为x（0＜x＜π），如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，x＝0．
（i）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ii）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点（x，y），利用（1）的结论，求圆周率π的近似值（用m，n表示）．
预习衔接.夯实基础 频率与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 十堰期末）已知P（A），则P（A∪B）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率及其性质．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用公式P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）求解．
【解答】解：∵，
∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）．
故选：B．
【点评】本题考查概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2024 如皋市模拟）设A，B是一个随机试验中的两个事件，则（　　）
A．P（A∪B）＝P（A）+P（B） B．P（A）+P（B）≤1
C．P（A∩B）＝P（A）P（B） D．若A B，则P（A）≤P（B）
【考点】概率及其性质．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学抽象；逻辑思维．
【答案】D
【分析】根据概率的性质，逐一分析选项，即可得答案．
【解答】解：对于A选项，若A，B是一个随机试验中的两个事件，
则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），故A选项错误；
对于B选项，若，则P（A）+P（B）＞1，故B选项错误；
对于C选项，当A、B独立时，P（A∩B）＝P（A）P（B），
当A、B不独立时，则不成立，故C选项错误；
对于D选项，若A B，则P（A）≤P（B），故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查概率的性质，并事件的概率加法公式，独立事件的积事件的概率乘法公式，属基础题．
3．（2024秋 新会区校级期中）以下一些说法，其中正确的有（　　）
A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖
C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的
【考点】概率及其性质．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】C
【分析】对于A选项，先确定一名学生的生日，求出另外一名学生的生日与其相同的概率，对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，对于D选项概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生．
【解答】解：对于A选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为，故A错误；
对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错误；
对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确；
对于D选项，概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了概率的定义，属于基础题．
4．（2024秋 新会区校级期中）一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
110 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件M发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意数字0和1都出现即为事件M发生，18组随机数中有6组数字0和1都出现，再利用古典概型的概率计算公式即可算出结果．
【解答】解：∵将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，
∴数字0和1都出现即为事件M发生，
∵18组随机数中有6组数字0和1都出现，
∴事件M发生的概率为：，
故选：B．
【点评】本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 太原期末）下列结论正确的是（　　）
A．任何事件的概率总是在（0，1）内
B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率
C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定不小于A，B中恰有一个发生的概率
【考点】频率与概率．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】对于A：根据概率的性质分析判断；对于BC：根据概率和频率之间的关系分析判断；对于D：根据事件的运算结合概率的性质分析判断．
【解答】解：对于A：任何事件的概率总是在[0，1]之间，其中不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；
对于B：根据频率与概率之间的关系可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，故B正确；
对于C：由选项B可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，但该结论为总体效果，对具体情况不一定成立，故C错误；
对于D：因为P（AB）≥0，则，
且随机事件A，B中至少有一个发生的概率为P（A∪B），
A，B中恰有一个发生的的概率为，
所以随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定不小于A，B中恰有一个发生的概率，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查概率的定义和性质，注意理解概率的定义，属于基础题．
（多选）6．（2024春 曲靖期末）下列说法不正确的是（　　）
A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
【考点】频率与概率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义，对各项依次判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于A．中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；
对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确；
对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人能治愈的可能性还是10%，故C错误；
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，不是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水，而是明天降水概率为70%指明天该地区降水的可能性为70%，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题的真假的判断，概率的基本知识的应用，是基础题．
（多选）7．（2024秋 德阳期末）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数：423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354，根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（　　）
A．甲获得冠军的概率近似值为0.65
B．甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5
C．比赛总共打满三局的概率近似值为0.55
D．乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由20组随机数中分别先求出甲获得冠军的数，甲以2：0的比分获得冠军的数，比赛总共打满三局的数和乙以2：0的比分获得冠军的数，从而可求出各选项频率，进而可得答案．
【解答】解：对于A，表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314共13组数，
故估计该场比赛甲获胜的概率为，故A正确；
对于B，表示甲以2：0的比分获得冠军的数有：123，114，332，125，334，314，共6组数，
故估计甲以2：0的比分获得冠军概率为，故B错误；
对于C，表示比赛总共打满三局的数有：423，423，344，525，152，342，534，512，432，151，354共11组数，
故估计比赛总共打满三局的概率为，故C正确；
对于D，表示乙以2：0的比分获得冠军的数有：453，443，541共3组数，
故估计乙以2：0的比分获得冠军的概率为0.15，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了简单随机抽样的应用，考查了利用频率估算概率，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 石家庄期末）天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨．用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 　　．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，
【解答】解：由题意可知，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，
故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
9．（2024春 科尔沁区校级期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 　0.75　．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.75．
【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率．
【解答】解：由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1﹣0.25＝0.75．
故答案为：0.75．
【点评】本题主要考查用模拟方法估计概率，属于基础题．
10．（2024秋 琼山区校级期末）采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为 　　．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，得到这20组随机数中一次为没有击中目标的次数，结合对立事件的概率计算公式，即可求解．
【解答】解：根据题意，这20组随机数中一次也没有击中目标的有956，556，989，共有3组，
所以，这20组随机数中至少有一次击中目标的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，属于基础题．
11．（2024秋 徐汇区期末）管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有 　50000　条鱼．
【考点】概率及其性质．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】50000．
【分析】设这个水库里大概有n条鱼，利用等比例性质求n即可．
【解答】解：令这个水库里大概有n条鱼，
由题意有，解得n＝50000条．
故答案为：50000．
【点评】本题主要考查概率及其性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 林芝市期末）甲，乙二人进行球类比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分．已知甲，乙共进行了三局比赛．
（1）用（9，0）表示甲胜三局时甲，乙二人的得分情况，写出甲，乙二人所有的得分情况，并求甲，乙二人得分之和为9分的概率．
（2）如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜．由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
①用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
②计算甲获胜的概率．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】分类讨论；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】（1）（9，0），（7，1），（6，3），（5，2），（4，4），（3，6），（3，3），（2，5），（1，7），（0，9）；0.4；
（2）①0.65；
②0.648．
【分析】（1）以甲为标准分类解之；
（2）①以频率估计概率，
②运用概率的性质求概率．
【解答】解：（1）以甲为标准，可分为：甲3胜；2胜1平，2 胜1负；1胜2平，1胜1平1负，1胜2负，0胜3平，0胜2平1负，0胜1平2负，0胜3负，共十种，
∴甲、乙二人的得分构成的基本事件为：（9，0），（7，1），（6，3），（5，2），（4，4），（3，6），（3，3），（2，5），（1，7），（0，9）共10种，其中（9，0），（6，3），（3，6），（0，9）这4种情形甲、乙二人得分之和为9分，∴概率为；
（2）①设事件A“甲获胜”，单局甲获胜的概率P0.6，
计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了13次，对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率近似值为，
②甲获胜即：三局中①甲前二局胜；②甲前二局胜一局，第三局胜，
∴P（A）＝0.62+0.6×0，4×0.6+0.4×0.6×0.6＝0.648．
【点评】本题考查了古典概型概率的计算，随机数的意义及运用概率性质求概率，是中档题．
13．（2022春 项城市校级期末）已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率．
【考点】概率及其性质；互斥事件的概率加法公式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，“甲射击一次，命中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，由互斥事件的概率加法公式，能求出甲射击一次，命中不足8环的概率．
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，由此能求出甲射击一次，至少命中7环的概率．
方法2：“甲射击一次，至少命中7环”为事件，由对立事件的概率求法能求出甲射击一次，至少命中7环的概率．
【解答】解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，则P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，
“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P（B）＝0.12，
由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，
故A与B是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，
由互斥事件的概率加法公式，
P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．
答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，
“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，
则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，
∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，
∴1﹣0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法．
14．（2023春 临沂期中）我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线f（x），其中μ为总体平均数，σ为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数μ＝2600小时．
（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；
（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意可知每个灯泡寿命超过2600小时的概率都是，再利用古典概型的概率公式求解．
（2）先求出20组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过2800小时的个数，再利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：（1）由题知平均数μ＝2600，所以每个灯泡寿命超过2600小时的概率都是，
这个随机试验满足古典概型条件：有限性，等可能性．
设三个灯泡寿命超过2600小时分别为A，B，C；没有超过2600小时分别为，，，
则样本空间，
三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的事件，
所以．
（2）20组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过2800小时的有191，271，932，812，393共计5组，
所以三个灯泡中恰有两个灯泡寿命超过2800小时的概率估计值．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了正态分布的定义．属于基础题．
15．（2024春 昆明期末）平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）．
大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）．
（1）为了估算曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴围成的区域M的面积，记点集{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（π≈3.14，结果保留一位小数）
（2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为x（0＜x＜π），如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，x＝0．
（i）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ii）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点（x，y），利用（1）的结论，求圆周率π的近似值（用m，n表示）．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）2.0；
（2）（i）0≤y≤sinx（x∈[0，π））．
（ii）．
【分析】（1）求出fn（A），再根据，计算面积；
（2）（i）当中点在平行线上时，y＝0，当针的一个端点在平行线上时，y＝sinx，可得不等式；
（ii）试验条件对应的点集（（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤3}，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤sinx}，分别求出点集表示的面积相除可得针与平行直线有公共点的概率，可解．
【解答】解：（1）由题，区域N的面积为π，记区域M的面积为SM，
则，所以SM＝3.14×0.64≈2.0；
（2）（i）当中点在平行线上时，y＝0，当针的一个端点在平行线上时，y＝sinx，
针与平行直线有公共点，y与x满足的不等关系式为0≤y≤sinx（x∈[0，π））．
（ii）试验条件对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤3}表示的区域面积为3π，
由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤sinx}表示的区域面积为2，
所以针与平行直线有公共点的概率为，
由题，，所以．
【点评】本题主要考查用频率估计概率，考查运算求解能力，属于难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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