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预习衔接.夯实基础 排列问题
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 常州期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数．教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同．则这5名同学的可能排名有（　　）
A．42种 B．72种 C．78种 D．120种
2．（2024 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（　　）
A．240 B．720 C．432 D．216
3．（2024春 让胡路区校级期中）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024 启东市校级模拟）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（　　）
A．216 B．228 C．384 D．486
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 武汉期中）下列说法中正确的是（　　）
A．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法
B．482022﹣3被7除后的余数为2
C．若，则a0+a2+a4＝﹣8
D．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
（多选）6．（2024春 淄川区校级期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
（多选）7．（2024春 高要区期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（　　）
A．6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种
B．6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种
C．6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种
D．6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浦东新区校级期末）6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有 　 　种不同的排法．
9．（2024春 徐汇区校级期末）2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师相邻，则不同排法的种数为 　 　．
10．（2024秋 无锡期末）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 　 　．（用数字作答）
11．（2024春 嘉兴期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课不排在下午，体育课不排在上午第1节，则不同的排法总数是 　 　．（用数字作答）
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 黄浦区校级期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．
（1）魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
（2）3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
13．（2024秋 浦东新区校级期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目．
（1）学生甲不在最左边；
（2）3名男生必须排在一起．
14．（2024 高碑店市校级模拟）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站在两端；
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻．
15．（2024春 广陵区校级期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？
（3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
预习衔接.夯实基础 排列问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 常州期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数．教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同．则这5名同学的可能排名有（　　）
A．42种 B．72种 C．78种 D．120种
【考点】简单排列问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】由排列、组合及简单计数问题，求解即可．
【解答】解：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同．
则不同的排名共有78种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
2．（2024 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（　　）
A．240 B．720 C．432 D．216
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算．
【解答】解：3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，先排左右两端，有 种排法，
再排中间4个位置，有 种排法，
所以不同的排法种数为18×24＝432种．
故选：C．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
3．（2024春 让胡路区校级期中）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案．
【解答】解：先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，
共有种排法；
再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法，
故总共有种排法．
故选：D．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
4．（2024 启东市校级模拟）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（　　）
A．216 B．228 C．384 D．486
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】先挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，最后将宫灯插空挂即可．
【解答】解：先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂，
当4盏宫灯分成2，2两份插空时，有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时，有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时，有1种挂法，
由计数原理可知，不同挂法种数为2×6×（5+12+1）＝216种．
故选：A．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了插空法的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 武汉期中）下列说法中正确的是（　　）
A．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法
B．482022﹣3被7除后的余数为2
C．若，则a0+a2+a4＝﹣8
D．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
【考点】排列及排列数公式；二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据组合数的计算即可判断A，根据二项式定理即可判断B，根据赋值法即可判断C，根据组合的定义及组合数运算即可判断D．
【解答】解：对于A：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有种放法，故A正确；
对于B：
，展开式中只有最后一项﹣2不是7的倍数，所以482022﹣3被7除后的余数为5，故B错误；
对于C：在中，
令x＝1，得，
令x＝﹣1，得，
两式相加除以2，得a0+a2+a4＝﹣8，故C正确；
对于D：10人两两握手，共次，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查组合的定义及组合数运算，是中档题．
（多选）6．（2024春 淄川区校级期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题；简单组合问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可．
【解答】解：对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，A正确；
对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，B正确；
对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，C错误；
对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有种排法，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，是中档题．
（多选）7．（2024春 高要区期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（　　）
A．6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种
B．6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种
C．6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种
D．6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法
【考点】简单排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】ABC
【分析】A用倍缩法判断；BC用插空法判断，注意特殊的先排列；D先平均分组，再进行全排列．
【解答】解：对于A：可用倍缩法，6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则有种，故A正确；
对于B：小明、小红两人相邻共有2种排法，将两人插空到其余四人全排列中共有种，故B正确；
对于C：6人站成一排，小明、小红两人不相邻，先将除小明、小红外的4人进行全排列，有种排法，再将小明、小红两人插空，有种排法，则共有24×20＝480种不同的排法，故C正确；
对于D：6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有种，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浦东新区校级期末）6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有 　480　种不同的排法．
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】480．
【分析】先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人可得答案．
【解答】解：先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人，．
故答案为：480．
【点评】本题考查插空法求解排列问题，是基础题．
9．（2024春 徐汇区校级期末）2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师相邻，则不同排法的种数为 　48　．
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】48．
【分析】先捆绑2位教师，再和剩下3名学生全排即可求解．
【解答】解：先将2位教师捆绑，共有2种情况，
再将教师和3名学生全排，共有248种排法．
故答案为：48．
【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题．
10．（2024秋 无锡期末）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 　144　．（用数字作答）
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】144．
【分析】先对甲、乙、丙3位运动员进行排列，再利用插空法，即可求解．
【解答】解：由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法，
在三位运动员形成的4个空隙中选3个，插入3个吉祥物，共有144种排法．
故答案为：144．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
11．（2024春 嘉兴期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课不排在下午，体育课不排在上午第1节，则不同的排法总数是 　408　．（用数字作答）
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】408．
【分析】分数学在第一节与数学不在第一节两种情况讨论，按照分步乘法与分类加法计数原理计算可得．
【解答】解：①若数学在第一节，则有 种排法；
②若数学不在第一节，则数学有种排法，再排体育有种排法，
最后将其余四个科目全排列有种排法，
按照分步乘法计数原理可得有种排法，
综上一共有120+288＝408种排法．
故答案为：408．
【点评】本题考查排列的应用，考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理的应用，是中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 黄浦区校级期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．
（1）魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
（2）3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）600；
（2）144．
【分析】（1）先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，再将其余5个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解；
（2）先将3个歌唱节目捆绑在一起，再与其余3个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解．
【解答】解：（1）魔术节目不排在最后一个节目，
则先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，有5种排法；
其余5个节目任意排，有种排法，
所以魔术节目不排在最后一个节目，有种排法．
（2）将3个歌唱节目捆绑在一起，看成1个节目有种，
与其余3个节目一起排共种，
则3个唱歌节目要排在一起，有6×24＝144种排法．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了捆绑法，属中档题．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目．
（1）学生甲不在最左边；
（2）3名男生必须排在一起．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）4320；
（2）720．
【分析】（1）根据题意先排最左边，再结合排列组合知识可解；
（2）利用捆绑法可解．
【解答】解：（1）3名男生和4名女生站成一排拍照，若学生甲不在最左边，
则先排最左边有种排法，
剩下的人的全排列有720种排法，
则学生甲不在最左边有6×720＝4320种排法；
（2）利用捆绑法，先将3名男生捆绑有6种方法，
再把三名男生作为一个整体与四名女生进行全排列有120种方法，
则3名男生必须排在一起有6×120＝720种排法．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
14．（2024 高碑店市校级模拟）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站在两端；
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻．
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）2400；
（2）1440；
（3）3600．
【分析】（1）先在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，由分步计数原理计算可得答案；
（2）先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，再和另外的5名男生全排，由分步计数原理计算可得答案；
（3）利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6个空中的2个，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，女生不站在两端，即男生在两端，
在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，
有2400种排法；
（2）两名女生要相邻，先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，
再和另外的5名男生全排，故有1440种排法；
（3）利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6个空中的2个，3600种．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
15．（2024春 广陵区校级期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？
（3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）240；
（2）1560；
（3）360．
【分析】（1）根据题意，将两个女生看成一个整体，与4名男生全排列即可，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，按“6本书分成4组”不同的分组形式两种情况讨论，由加法原理计算可得答案；
（3）根据题意，先在7人中按要求选出6人，分成2组，再将分好的2组安排到甲乙两地，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，将两个女生看成一个整体，与4名男生全排列即可，
则有240种排法；
（2）根据题意，把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，
则有1，1，1，3或1，1，2，2两种分组情况，
若是1，1，1，3分组，则有480种，
若是1，1，2，2分组，则有1080种，
则共有480+1080＝1560种分法；
（3）根据题意，先在7人中按要求选出6人，分成2组，
需要分2种情况讨论：
①外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1；另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有144种分组方法；
②外科女医生不选，则一组内科3女选1，外科4男选2；另一组内科2女选1，外科2男选2，共有36种分组方法；
再将分好的2组安排到甲乙两地，所以共有2×（144+36）＝360种分配方法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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