资源简介

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预习衔接.夯实基础 组合问题
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西宁期中）将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（　　）
A．210种 B．420种 C．240种 D．480种
2．（2024 李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动．甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（　　）
A．36种 B．60种 C．96种 D．180种
3．（2023秋 东湖区校级期末）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有A，B，C，D，E五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（　　）
A．420 B．460 C．480 D．520
4．（2024春 丰台区期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（　　）
A．44 B．46 C．52 D．54
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 龙岩期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（　　）
A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840
B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720
C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480
D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法
（多选）6．（2024春 天河区校级期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
（多选）7．（2024春 东坡区期末）身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是（　　）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与C同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 五华区期中）甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有 　 　种．（用数字作答）
9．（2024 锦州模拟）已知a1，a2，a3，a4∈{1，2，3，4}，N（a1，a2，a3，a4）为a1，a2，a3，a4中不同数字的种类，如N（1，1，4，3）＝3，N（2，4，4，2）＝2，（1，2，2，1）与（1，2，1，2）视为不同的排列，则（a1，a2，a3，a4）的不同排列有 　 　个（用数字作答）；所有的排列所得N（a1，a2，a3，a4）的平均值为 　 　．
10．（2024 德庆县校级模拟）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 　 　．
11．（2024 江西模拟）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合．当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 　 　．（用数字作答）
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果．杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式．
（1）求图2中第11行的各数之和；
（2）从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和；
（3）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
13．（2024秋 钦州校级期中）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参见比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同事参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
14．（2024春 镇江期中）（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，
②2n．
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法？一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有8种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有50．所以：850．据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：．
15．（2024春 启东市期中）某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译x人，且x满足，能从事俄语翻译6人．
（1）问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？
（2）现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？
预习衔接.夯实基础 组合问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西宁期中）将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（　　）
A．210种 B．420种 C．240种 D．480种
【考点】简单组合问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】由题意可知，甲、乙分得的邮票数相等意味着甲、乙两人都分得2张邮票，丙分得3张邮票，再结合排列组合公式求解．
【解答】解：依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等意味着甲、乙两人都分得2张邮票，丙分得3张邮票，
所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有21×10×1＝210种．
故选：A．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
2．（2024 李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动．甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（　　）
A．36种 B．60种 C．96种 D．180种
【考点】简单组合问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】利用分步计数原理分两步：①先安排甲，②再安排其它4名普查员，分为两种情况：1、安排甲去的小区就甲一个人，2、安排甲去的小区有2人，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：①先安排甲，甲不去城东，有3种，
②安排其它4名普查员，
分为两种情况：1、安排甲去的小区就甲一个人，那其它4人按2，1，（1分）配，有36种，
2、安排甲去的小区有2人，则除甲以外4人全排即可，有24种，
所以一共有3×（36+24）＝180种．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
3．（2023秋 东湖区校级期末）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有A，B，C，D，E五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（　　）
A．420 B．460 C．480 D．520
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得．
【解答】解：求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，
4个学校所选研学基地都不相同有种方法，
所以不相同的选择种数有（种）．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题．
4．（2024春 丰台区期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（　　）
A．44 B．46 C．52 D．54
【考点】排列组合的综合应用；演绎推理．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，按甲乙是否为第2名分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
①甲是第2名，则乙有3种可能，剩下3人有种可能，此时有318种可能，
②乙是第2名，则甲有2种可能，剩下3人有种可能，此时有212种可能，
③甲乙都不是第2名，则甲有2种可能，乙有2种可能，丙有2种可能，剩下2人有种可能，
则有2×2×216种可能，
故有18+12+16＝46种可能的名次排列情况．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 龙岩期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（　　）
A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840
B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720
C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480
D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法
【考点】排列组合的综合应用；部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AD
【分析】A用倍缩法判断；B、C用插空法判断，注意特殊的先排列；D先分组，再进行全排列．
【解答】解：对于A：可用倍缩法，7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则有840种，故A正确；
对于B：小明、小红两人相邻共有2种排法，将两人插空到其余五人全排列中共有21440种，故B不正确；
对于C：7人站成一排，小明、小红两人不相邻，先将除小明、小红外的5人进行全排列，有120种排法，再将小明、小红两人插空，有30种排法，则共有120×30＝3600种不同的排法，故C不正确；
对于D：7名同学分成三组（每组至少有两人），到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有630种，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
（多选）6．（2024春 天河区校级期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】BD
【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解．
【解答】解：对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，
故A错误；
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，
则有种情况，
故甲乙不相邻的排法种数为6×12＝72种情况，
故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，
故有种；
若最左端不排乙，
则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，
又乙不能在最右端，
则有种情况，
则共有24+54＝78种站法，
故C错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看作一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，
故有种，
故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．
（多选）7．（2024春 东坡区期末）身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是（　　）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与C同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D．
【解答】解：对于A，6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；
对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，则共有种方法，B正确；
对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；
对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，
当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了实际问题中的排列组合计数问题，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 五华区期中）甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有 　26　种．（用数字作答）
【考点】简单组合问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】26．
【分析】计算出从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片的抽法种数，以及抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数，利用间接法可得结果．
【解答】解：甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，
从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片，
不同的抽法种数为，
其中抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数为，
所以抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法种数为30﹣4＝26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了简单的组合问题，属于基础题．
9．（2024 锦州模拟）已知a1，a2，a3，a4∈{1，2，3，4}，N（a1，a2，a3，a4）为a1，a2，a3，a4中不同数字的种类，如N（1，1，4，3）＝3，N（2，4，4，2）＝2，（1，2，2，1）与（1，2，1，2）视为不同的排列，则（a1，a2，a3，a4）的不同排列有 　256　个（用数字作答）；所有的排列所得N（a1，a2，a3，a4）的平均值为 　　．
【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】256；．
【分析】本题首先可以确定N（a1，a2，a3，a4） 的所有可能取值分别为1、2、3、4，然后分别计算出每一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出N（a1，a2，a3，a4）的平均值．
【解答】解：由题意可知，（a1，a2，a3，a4）的不同排列有4×4×4×4＝256个，
当N（a1，a2，a3，a4）＝1时，；
当N（a1，a2，a3，a4）＝2时，，
当N（a1，a2，a3：a4）＝3时，；
当N（a1，a2，a3，a4）＝4时，，
综上所述，所有的256个（a1：a2：a3，a4）的排列所得的N（a1，a2，a3，a4）的平均值为：．
故答案为：256；．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题．
10．（2024 德庆县校级模拟）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 　　．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2，2，1人或3，1，1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲，乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案．
【解答】解：5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2，2，1人或3，1，1人，
当分为3，1，1人时，有种实习方案，
当分为2，2，1人时，有 种实习方案，
所以共有60+90＝150种实习方案，
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查转化能力，属于基础题．
11．（2024 江西模拟）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合．当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 　120　．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用；归纳推理．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解；新文化类．
【答案】120．
【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解．
【解答】解：A，B，C三位同学围成一个圆，“ABC”“BCA”或“CAB”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个．
则三位同学围成一个圆的排列总数为，
由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为．
故答案为：120．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果．杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式．
（1）求图2中第11行的各数之和；
（2）从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和；
（3）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
【考点】组合数的化简计算及证明；二项式系数的性质．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）2048；
（2）166650；
（3）存在，45，120，210．
【分析】（1）根据二项式系数的性质求和即可；
（2）根据组合数的性质化简求值即可；
（3）假设存在，根据条件建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）第11行的各数之和为：2048；
（2）杨辉三角中第2行到第100行各行第3个数之和为：
166650；
（3）存在，理由如下：
设在第n行存在连续三项，，，其中n∈N*且n≥2，k∈N*且k≥2，
有且，化简得且，
即，解得k＝3，n＝10，
∴，，．
故这三个数依次是45，120，210．
【点评】本题主要考查了组合数公式及组合数性质的应用，属于中档题．
13．（2024秋 钦州校级期中）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参见比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同事参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．
【解答】解：只参加游泳比赛的人数：15﹣3﹣3＝9（人）；
同时参加田径和球类比赛的人数：8+14﹣（28﹣9）＝3（人）．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分．
14．（2024春 镇江期中）（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，
②2n．
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法？一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有8种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有50．所以：850．据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：．
【考点】组合及组合数公式．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）证明见解答；
（2），证明见解答；
（3）．
【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可；②根据二项式定理即可得到（1+1）n；
（2）令50为n，8为m，代入即可；
（3）先根据和变形，再根据（2）中得到的变形即可．
【解答】解：（1）①证明：；
②证明：．
（2）令50为n，8为m，
由，可得，
证明：．
（3），
由（2）得，即，
原式
．
【点评】本题考查了排列组合数相关的化简计算．
15．（2024春 启东市期中）某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译x人，且x满足，能从事俄语翻译6人．
（1）问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？
（2）现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）3；
（2）255．
【分析】（1）结合组合数公式求解；
（2）由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解．
【解答】解：（1）由可得，
整理得：x2﹣19x+84＜0，
解得：7＜x＜12，
又0＜x 8且0＜x﹣2 8，x∈N*，
所以x＝8，
所以既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有8+6﹣11＝3人．
（2）由（1）可知，只能从事英语翻译的5人，只能从事俄语翻译的3人，既能从事英语又能从事俄语的3人，
按“多面手”的参与情况分成三类情况：
①多面手有1人入选，种；
②多面手有2人入选，种；
③多面手有3人入选，种．
综上所述，共有15+105+135＝255种选人方案．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．
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