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预习衔接.夯实基础 二项式定理
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 浦东新区校级期中）已知乘积（a1+a2）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+…+cn）（n∈N）展开后共有60项，则n的值为（　　）
A．5 B．7 C．10 D．12
2．（2024秋 牡丹江期中）的展开式中的常数项为（　　）
A．147 B．﹣147 C．63 D．﹣63
3．（2024春 芜湖期末）在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）的展开式中，含x的项的系数是（　　）
A．120 B．240 C．274 D．282
4．（2024春 武汉期中），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝（　　）
A．31 B．1023 C．1024 D．32
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 龙岩期中）已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（　　）
A．n＝8
B．展开式的各项系数的和为
C．展开式的各二项式系数的和为256
D．展开式的常数项为第5项
（多选）6．（2024秋 辽宁期中）已知，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则a4+b4＝12
B．fn（1）﹣fn（﹣1）是整数
C．f2n﹣1（﹣1）＝f2n﹣1（1）﹣[f2n﹣1（1）]，（[x]是不大于x的最大整数）
D．，则
（多选）7．（2024春 朝阳区校级期中）已知．则下列结论不正确的是（　　）
A．a1+a2+…+a8＝1
B．f（﹣1）除以5所得的余数是1
C．
D．2a2+3a3+ +8a8＝﹣8
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浦东新区校级期中）若，则正整数n的个位数为 　 　．
9．（2024秋 浙江期中）在（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中，x的系数为﹣10，则n＝ 　 　．
10．（2024秋 黄浦区校级期中）（x﹣1）10的展开式中x9的系数为 　 　.（结果用数字表示）
11．（2024春 绿园区校级期末）若，则a1+a2+…+a6的值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 龙岩期中）已知（x﹣2）10＝a0+a1x+a2x2+ +a10x10．
（1）求a6的值；
（2）求a1+a2+a3+ +a10的值．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）已知在的二项展开式中．
（1）若n＝6，求展开式中含x7项的系数；
（2）若展开式含有常数项，求最小的正整数n的值．
14．（2019春 新吴区校级期中）在杨辉三角形中，从第3行考试，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示．
（1）证明：；
（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即
（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
15．（2024春 皋兰县校级期末）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b＝275．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x2的系数．
预习衔接.夯实基础 二项式定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 浦东新区校级期中）已知乘积（a1+a2）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+…+cn）（n∈N）展开后共有60项，则n的值为（　　）
A．5 B．7 C．10 D．12
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件，推得2×3×4× ×n＝60，解出n，即可求解．
【解答】解：乘积（a1+a2）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+…+cn）（n∈N）展开后共有60项，
则2×3×4× ×n＝60，解得n＝5．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
2．（2024秋 牡丹江期中）的展开式中的常数项为（　　）
A．147 B．﹣147 C．63 D．﹣63
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
【解答】解：根据（x﹣1）7的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6，7）；
①当与配对时，r＝5，常数项为；
②当与配对时，r＝4，常数项为，
故的展开式中的常数项为105﹣42＝63．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（2024春 芜湖期末）在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）的展开式中，含x的项的系数是（　　）
A．120 B．240 C．274 D．282
【考点】二项式定理的应用．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）的展开式中含x的项即从5个因式中取4个常数，1个x，即可写出含x的项．
【解答】解：在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）的展开式中含x的项即从5个因式中取4个常数，1个x，
所以含x的项为2×3×4×5x+1×3×4×5x+1×2×4×5x+1×2×3×5x+1×2×3×4x＝274x，
所以含x的项的系数是274．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
4．（2024春 武汉期中），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝（　　）
A．31 B．1023 C．1024 D．32
【考点】二项式系数的性质．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二项展开式的通项，可得|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，结合赋值法，即可求解．
【解答】解：由二项式（1﹣3x）5的展开式的通项为，
所以，当r＝0，2，4时，可得a1，a3，a5为正数，当r＝1，3，5时，可得a1，a3，a5为负数，
令x＝0，可得a0＝1，
令x＝﹣1，可得，
所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5）﹣a0
＝1024﹣1＝1023．
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，是中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 龙岩期中）已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（　　）
A．n＝8
B．展开式的各项系数的和为
C．展开式的各二项式系数的和为256
D．展开式的常数项为第5项
【考点】二项式系数的性质．
【专题】方程思想；数学模型法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】写出二项展开式的通项，由已知列式求解n，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：二项式的展开式的通项为．
则第2项与第3项系数的和为3，
解得n＝﹣3（舍去），或n＝8，故A正确；
展开式的各项系数的和为，故B错误；
展开式的各二项式系数的和为28＝256，故C正确；
由8﹣2r＝0，得r＝4，可得展开式的常数项为第5项，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）6．（2024秋 辽宁期中）已知，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则a4+b4＝12
B．fn（1）﹣fn（﹣1）是整数
C．f2n﹣1（﹣1）＝f2n﹣1（1）﹣[f2n﹣1（1）]，（[x]是不大于x的最大整数）
D．，则
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据题意，对于A，令x＝﹣1，n＝4时，利用二项式定理计算即可，对于B，表示出fn（1）﹣fn（﹣1），取特殊值验证即可；对于C，作差f2n﹣1（1）﹣f2n﹣1（﹣1）说明为正整数即可；对于D，分奇偶讨论计算，，即可推理作答，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：，
对于A，由，当x＝﹣1，n＝4时，
，
即，
∴a4＝28，b4＝﹣16，∴a4+b4＝12，
∴若，则a4+b4＝12，故A正确；
对于B，由题意可得，不妨令n＝2，
∴，此时不是整数，故B错误；
对于C，，
即，
∴
，
∴
，
∵
，
易知，，正整数，
∴f2n﹣1（1）﹣f2n﹣1（﹣1）为正整数，
，
∴f2n﹣1（﹣1）＝f2n﹣1（1）﹣[f2n﹣1（1）]，故C正确；
对于D，
当n为正奇数时，
，
∵，
∴，，
，，
∴，即．
当n为正偶数时，
，
∵，
∴，
，，
∴，即．
综上：，则，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了二项式定理应用问题，求出给定二项式的通项公式是解题的关键，属于中档题．
（多选）7．（2024春 朝阳区校级期中）已知．则下列结论不正确的是（　　）
A．a1+a2+…+a8＝1
B．f（﹣1）除以5所得的余数是1
C．
D．2a2+3a3+ +8a8＝﹣8
【考点】二项式定理．
【专题】函数思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法可判断AC，由f（﹣1）＝38＝94＝（10﹣1）4，再结合二项式定理可判断B，对于两边同时求导，再利用赋值法可判断D．
【解答】解：对于A，令x＝1得，a0+a1+a2+…+a8＝1，
令x＝0得，a0＝28，
所以a1+a2+…+a8＝1﹣28，故A错误；
对于B，f（﹣1）＝38＝94＝（10﹣1）4＝1041＝10×（103）+1，
故f（﹣1）除以5所得的余数是1，故B正确
对于C，由题意可知，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝﹣a1+a2﹣a3+…+a8，
对于，
令x＝﹣1得，a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8＝38，
又因为a0＝28，
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝﹣a1+a2﹣a3+…+a8＝38﹣28，故C错误；
对于D，对于两边同时求导可得，﹣8（2﹣x）78，
令x＝1得，﹣8＝a1+2a2+3a3+…+8a8，
令x＝0得，a1＝﹣8×27，
所以2a2+3a3+…+8a8＝﹣8+8×27＝8（27﹣1），故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了赋值法的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浦东新区校级期中）若，则正整数n的个位数为 　2　．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】2．
【分析】利用赋值x＝1和x＝﹣1求n，再利用二项式定理的应用，转化为余数问题，即可求解．
【解答】解：当x＝1时，，
当x＝﹣1时，a0﹣a1+a2+...+a2024＝1，
两式相加得，
n＝32024+1＝91012+1＝（10﹣1）1012+1
，
由展开式可知，n的个位数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9．（2024秋 浙江期中）在（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中，x的系数为﹣10，则n＝ 　5　．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】5．
【分析】由二项式的展开式，令x的次数为1，此时的系数等于﹣10建立等式，解出n的值．
【解答】解：由题意，，解得n＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
10．（2024秋 黄浦区校级期中）（x﹣1）10的展开式中x9的系数为 　﹣10　.（结果用数字表示）
【考点】二项式定理．
【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】﹣10．
【分析】求得：x﹣1）10的展开式的通项公式，可令r＝1，计算可得所求值．
【解答】解：（x﹣1）10的展开式的通项公式为Tr+1＝Cx10﹣r（﹣1）r，r＝0，1，…，10，
令r＝1，可得T2＝﹣10x9，
所以x9的系数﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查二项式定理和通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
11．（2024春 绿园区校级期末）若，则a1+a2+…+a6的值为 　﹣1　．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】利用赋值法求解即可．
【解答】解：，
令x＝1，得0＝a0+a1+a2+ +a6，
令x＝0，得1＝a0，
故a1+a2+ +a6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二项式定理，着重考查赋值法的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 龙岩期中）已知（x﹣2）10＝a0+a1x+a2x2+ +a10x10．
（1）求a6的值；
（2）求a1+a2+a3+ +a10的值．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）3360；（2）﹣1023．
【分析】（1）根据二项式定理求解；
（2）利用赋值法求解．
【解答】解：（1）因为，所以a6（﹣2）4＝3360；
（2）令x＝0，则，
令x＝1，则（1﹣2）10＝a0+a1+a2+ +a10可得a0+a1+a2+ +a10＝1，
因此a1+a2+ +a10＝1﹣a0＝﹣1023．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
13．（2024秋 浦东新区校级期中）已知在的二项展开式中．
（1）若n＝6，求展开式中含x7项的系数；
（2）若展开式含有常数项，求最小的正整数n的值．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】方程思想；数学模型法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）1215；
（2）5．
【分析】（1）把n＝6代入，写出二项展开式的通项，再由x的指数等于7求解r值，则答案可求；
（2）直接写出二项展开式的通项，即可求得满足题意的最小的正整数n的值．
【解答】解：（1）当n＝6时，，
此时展开式的通项为，
令12，解得r＝2，
∴展开式中含x7项的系数为1215；
（2），
由2n0，得r，
则最小的正整数n的值为5．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2019春 新吴区校级期中）在杨辉三角形中，从第3行考试，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示．
（1）证明：；
（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即
（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）化成阶乘处理即可．
（2）将这列数表示出来，利用（1）的结论即可得到．
（3）假设存在第n行的第r﹣1，r，r+1个数满足这三个数之比为3：8：14，列方程求r，若n，r为不小于2的正整数，即为所求．
【解答】解：（1）
．
所以原式成立．
（2）由（1）得
左边
＝…
右边∴原命题成立
（3）设在第n行的第r﹣1，r，r+1个数满足3：8：14
即
解的∴三个数依次为45，120，210
【点评】本题考查了二项式定理的性质，组合数的性质的证明，主要考查组合数的计算，考查观察、归纳、总结的能力．属于中档题．
15．（2024春 皋兰县校级期末）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b＝275．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x2的系数．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）n＝5；
（2）40．
【分析】（1）利用二项式系数的性质可得2n+3n＝275，解之即可；
（2）利用二项展开式的通项公式列式求解即可．
【解答】解：（1）∵二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，
∴a＝2n，b＝3n，又a+b＝2n+3n＝275，
∴n＝5；
（2）由通项公式，
令，可得k＝2，
故展开式中x2的系数为．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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