资源简介

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预习衔接.夯实基础 随机事件的条件概率
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 即墨区期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A＝“第1枚正面朝上”，B＝“第2枚正面朝上”，则A与B的关系为（　　）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．相等
2．（2024秋 安宁区校级期中）2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲、乙两人中恰有1人通过的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023秋 长宁区校级期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024春 铜仁市期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 浙江期中）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记A1（i＝1，2，3）表示第i号箱子有奖品，Bj（j＝2，3）表示主持人打开第j号箱子．则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大
D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变
（多选）6．（2024秋 安宁区校级期中）今年”国庆“假期期间，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（　　）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52
（多选）7．（2024秋 南京期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则（　　）
A． B．
C．A和B是互斥事件 D．A和B是相互独立事件
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 青羊区校级期中）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“i的胜者”，负者称为“i的负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 　 　．
9．（2024春 仁寿县期末）四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为 　 　．
10．（2024 北辰区校级模拟）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 　 　；两次都摸到白球的概率为 　 　．
11．（2024春 河北期末）甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分．已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为．在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队得y分，则在这一轮中，满足0＜x﹣y 2且y≠0的概率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 平度市期中）甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为，其中0＜p＜1；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为p，且不同对阵的结果互不影响．
（1）若甲队先主场后客场，且p，
（i）求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
（ⅱ）求甲队获得冠军的概率；
（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为p．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
13．（2024秋 杨浦区校级期中）为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：
书签 明信片
手绘款 40
普通教 150 120
（1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件B：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算P（A）、P（B），并判断事件A，B是否独立；
（2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
14．（2024秋 西宁期中）某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7．（1）若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；
（2）若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率．
15．（2024秋 黄冈期中）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为，至少进入一个兴趣小组的概率为，且m＜n．
（1）求m与n的值；
（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分．求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率．
预习衔接.夯实基础 随机事件的条件概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 即墨区期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A＝“第1枚正面朝上”，B＝“第2枚正面朝上”，则A与B的关系为（　　）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．相等
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相互独立事件的定义可解．
【解答】解：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A＝“第1枚正面朝上”，B＝“第2枚正面朝上”，
根据相互独立事件的定义可知，第几枚正面朝上互不影响，
则A与B的关系为相互独立．
故选：A．
【点评】本题考查相互独立事件的定义，属于基础题．
2．（2024秋 安宁区校级期中）2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲、乙两人中恰有1人通过的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过．
【解答】解：由题意，甲、乙、两人通过强基计划的概率分别为，，
甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，
那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3．（2023秋 长宁区校级期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N，根据题意列出N的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解．
【解答】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N，
则甲最终获胜的概率为：
P（N）＝P（BCBC）+P（BCBAC）+P（BCABC）+P（BCACB）+P（BABCC）+P（BACBC）+P（ACBCB）+P（ABCBC）
．
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024春 铜仁市期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【考点】由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】常规题型；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答．
【解答】解：甲、乙、丙、丁事件分别记为A，B，C，D，则有P（A）＝P（B），P（C），P（D），
对于A，P（A）P（C），P（AC）＝0，P（AC）≠P（A）P（C），A不正确；
对于B，P（C）P（D），P（CD）＝0，P（CD）≠P（C）P（D），B不正确；
对于C，P（A）P（D），P（AD），P（AD）＝P（A）P（D），甲与丁相互独立，C正确；
对于D，P（B）P（C），P（BC），P（BC）≠P（B）P（C），D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 浙江期中）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记A1（i＝1，2，3）表示第i号箱子有奖品，Bj（j＝2，3）表示主持人打开第j号箱子．则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大
D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变
【考点】条件概率乘法公式及应用；全概率公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和公式及逐项判断即可．
【解答】解：甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即P（B3|A2）＝1，A错误；
A1（i＝1，2，3）表示第i号箱子有奖品，Bj（j＝2，3）表示主持人打开第j号箱子，
由题意可知，，，P（B3|A2）＝1，P（B3|A3）＝0，
则，
因此，B正确；
对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子，
若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查条件概率乘法公式，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 安宁区校级期中）今年”国庆“假期期间，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（　　）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用随机事件概率以及相互独立事件的定义，根据对立事件概率的加法公式对选项逐一计算可得结论．
【解答】解：顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，
记事件A：顾客小王中奖，事件B：顾客小张中奖，则小王、小张未中奖可记为；
易知；
由题意可知A与B相互独立，所以与，A与，B与均相互独立；
所以小王和小张都中奖的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.4×0.2＝0.08，即A错误；
小王和小张都没有中奖的概率为，可得B正确；
小王和小张中只有一个人中奖的概率为，即C正确；
小王和小张中至少有一个人中奖的概率为，即D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 南京期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则（　　）
A． B．
C．A和B是互斥事件 D．A和B是相互独立事件
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式可知AB正误，根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误．
【解答】解：对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，
所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，共4个，
其中满足事件A的有{正，正}，{正，反}，共2个，
所以P（A），故A正确；
事件A和事件B同时发生的情况仅有{正，反}，
所以P（AB），故B错误；
因为事件A和事件B可以同时发生，所以A和B不是互斥事件，故C错误；
因为满足事件B的有{正，反}，{反，反}，共2个，
所以P（B），
所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以A和B是相互独立事件，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件和独立事件的定义，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 青羊区校级期中）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“i的胜者”，负者称为“i的负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 　　．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲1胜3胜，乙1负4胜5胜，甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：乙1胜3胜，丙2胜3负5胜，乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率，丁与丙相同，由此能求出乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．
【解答】解：已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，
若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：
，丁与丙相同，
若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为：，
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式，属于基础题．
9．（2024春 仁寿县期末）四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为 　0.8784　．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计；数据分析．
【答案】0.8784．
【分析】该电路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一个正常工作，再由独立事件的乘法公式，即可得出答案．
【解答】解：该电路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一个正常工作，
所以该电路正常工作的概率为0.9×（1﹣0.2×0.3×0.4）＝0.8784．
故答案为：0.8784．
【点评】本题考查互斥事件的计算公式，属于基础题．
10．（2024 北辰区校级模拟）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 　　；两次都摸到白球的概率为 　　．
【考点】条件概率．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；数据分析．
【答案】；．
【分析】利用条件概率公式及随机事件的概率公式得出结论．
【解答】解：由题意，在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为；
两次都摸到白球的概率为．
故答案为：；．
【点评】本题考查条件概率公式及随机事件的概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．（2024春 河北期末）甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分．已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为．在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队得y分，则在这一轮中，满足0＜x﹣y 2且y≠0的概率为 　　．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出甲在一轮比赛中得2分，3分的概率，乙在一轮比赛中得1分、2分的概率，设在这一轮中，满足0＜x﹣y≤2且y≠0为事件A，则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算能求出结果．
【解答】解：由题意得甲队在一轮比赛中得2分的概率为P2，
甲队在一轮比赛中得3分的概率为P3，
乙队在一轮比赛中得1分的概率为：
P1′，
乙队在一轮比赛中得2分的概率为：
P2′，
设在这一轮中，满足0＜x﹣y≤2且y≠0为事件A，
则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，
∴在这一轮中，满足0＜x﹣y 2且y≠0的概率为：
P＝P2P1'+P3P1'+P3P2'．
故答案为：．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 平度市期中）甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为，其中0＜p＜1；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为p，且不同对阵的结果互不影响．
（1）若甲队先主场后客场，且p，
（i）求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
（ⅱ）求甲队获得冠军的概率；
（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为p．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）（i）； （ii）； （2）“主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠．
【分析】（1）（i）事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，分三种情况，求出概率相加得到答案；
（ii）甲队获得冠军包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，分四种情况，求出概率，相加即可；
（2）在“单场比赛制”下，甲队获得冠军包含甲队胜、甲队平同时点球胜，计算出相应的概率，结合（1）中所求甲队获得冠军的概率，作差法比较出结论．
【解答】解：（1）（i）记甲队通过点球大战获得冠军为事件A，
则事件A包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，
∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为：
P（A）＝[p（1﹣p）+（1）p）] p（1﹣p），
∵p，
∴P（A），
∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为．
（ii）记甲队获得冠军为事件B，
事件B包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，
∴甲队获得冠军的概率为：
P（B），
将p代入，得P（B），
∴甲队获得冠军的概率为．
（2）由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件C，
事件C包含甲队胜，甲队平同时点球胜，
∴P（C），
∵0＜p1，∴0＜p，
此时0＜p2p满足题意，
P（B）﹣P（C）（5﹣6p），
∵0＜p，0，5﹣6p＞0，
∴P（B）﹣P（C），
∴“主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（2024秋 杨浦区校级期中）为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：
书签 明信片
手绘款 40
普通教 150 120
（1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件B：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算P（A）、P（B），并判断事件A，B是否独立；
（2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），，事件A，B不独立；
（2）59．
【分析】（1）根据概率公式求出P（A）、P（B），根据相互独立事件的概率公式判断是否独立；
（2）表示出首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品的概率，解不等式求解即可．
【解答】解：（1）依题意，
书签 明信片
手绘款 40 40
普通教 150 120
，
，
，
因为P（AB）≠P（A）P（B），
所以事件A，B不独立．
（2）设手绘款明信片的张数为x，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事件C，
小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，
则，解得58.07＜x＜822.93，
考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数，
所以手绘款明信片的张数为59．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
14．（2024秋 西宁期中）某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7．（1）若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；
（2）若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率．
【考点】全概率公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.82；
（2）0.398．
【分析】（1）设出对应事件，利用全概率公式完成概率计算；
（2）先分析目标事件所包含的事件，然后利用概率乘法公式计算出结果．
【解答】解：（1）设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品，
若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，
则，
甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7，
则P（D|A）＝0.9，P（D|B）＝0.8，P（D|C）＝0.7，
故P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.9×0.4+0.8×0.4+0.7×0.2＝0.82，
所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82．
（2）设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E的情况有：
甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，
则P（E）＝0.9×0.8×（1﹣0.7）+0.9×（1﹣0.8）×0.7+（1﹣0.9）×0.8×0.7＝0.216+0.126+0.056＝0.398，
所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
15．（2024秋 黄冈期中）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为，至少进入一个兴趣小组的概率为，且m＜n．
（1）求m与n的值；
（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分．求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解．
（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可．
【解答】解：通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为，至少进入一个兴趣小组的概率为，且m＜n．
（1）由题意得：，解得：；
（2）设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为X，
则，
，
，
所以．
即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为．
【点评】本题考查相互独立事件概率的乘法公式，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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