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预习衔接.夯实基础 离散型随机变量及其分布列
一．选择题（共4小题）
1．（2024春 克州期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 2 3 4
P 1﹣2q 2q2
则q等于（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2024春 长寿区期末）设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P（|X﹣3|＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024春 松原期末）泊松分布的概率分布列为（k＝0，1，2， ），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X～B（n，p），．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过1%的概率约为（参考数据：）（　　）
A．37% B．74% C．90% D．99%
4．（2024春 平罗县校级期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a 5a
若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 青铜峡市校级期末）已知X的分布列为
X 0 1 2
P a
则下列说法正确的有（　　）
A． B．
C．E（X）＝1 D．P（X＝0）＜P（X＝2）
（多选）6．（2024春 凉山州期末）设随机变量的分布列为，则（　　）
A．10a＝1 B．P（0.3＜ξ＜0.82）＝0.5
C． D．P（ξ＝1）＝0.3
（多选）7．（2024春 湾沚区校级期末）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列选项正确的是（　　）
A．m+n＝0.7
B．若m＝0.3，则P（X＞3）＝0.5
C．若m＝0.9，则n＝﹣0.2
D．P（X＝1）＝2P（X＝6）
三．填空题（共4小题）
8．（2024春 怀宁县校级期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为 　 　．
ξ 1 2 3
P 2a2
9．（2024春 哈尔滨期末）已知随机变量X的分布列，则a＝　 　．
10．（2024春 重庆期中）随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 1﹣m
则m＝　 　．
11．（2024春 锡山区校级期中）若随机变量X的分布列为：
X ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P（X＜a）＝0.5时，实数a的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东城区校级期中）某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：
产品等级 一等品 二等品 三等品
样本数量（件） 50 30 20
（Ⅰ）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；
（Ⅱ）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为X．求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？
13．（2024 江西一模）设（X，Y）是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为（ai，bj），其中i，j∈N*，令pij＝P（X＝ai，Y＝bj），称pij（i，j∈N*）是二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
Y/X b1 b2 b3 …
a1 p1，1 p1，2 p1，3 …
a2 p2，1 p2，2 p2，3 …
a3 p3，1 p3，2 p3，3 …
… … … … …
现有n（n∈N*）个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．
（1）当n＝2时，求（X，Y）的联合分布列；
（2）设pk（X＝k，Y＝m），k∈N且k≤n，计算．
14．（2024春 锡林郭勒盟期末）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列．
15．（2024春 广州期末）现有n枚游戏币C1，C2，…， n（n＞3），游戏币 k（k＝1，2， ，n）是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这n枚游戏币玩游戏．
（1）将C1，C2，C3这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为X，求X的分布列；
（2）将这n枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
预习衔接.夯实基础 离散型随机变量及其分布列
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024春 克州期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 2 3 4
P 1﹣2q 2q2
则q等于（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用分布列的性质求得正确答案．
【解答】解：依题意，
即4q2﹣4q+1＝（2q﹣1）2＝0，解得，
经检验可知，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2024春 长寿区期末）设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P（|X﹣3|＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】概率与统计．
【答案】B
【分析】利用概率分布的定义得出：m1，求出m，得出分布列，判断P（|X﹣3|＝1）＝P（4）+P（2），求解即可．
【解答】解：根据概率分布的定义得出：m1．得m，
随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P
∴P（|X﹣3|＝1）＝P（4）+P（2）
故选：B．
【点评】本题简单的考察了概率分布的定义，随机变量的运用判断，属于中档题．
3．（2024春 松原期末）泊松分布的概率分布列为（k＝0，1，2， ），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X～B（n，p），．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过1%的概率约为（参考数据：）（　　）
A．37% B．74% C．90% D．99%
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】100个元件，次品率不超过1%，即次品数为0或1，根据题干公式，求P（X＝0）+P（X＝1）即可．
【解答】解：由题意知n＝100，p＝0.01，
则λ＝100×0.01＝1，所以，
因为，
所以次品率不超过1%的概率约为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．
4．（2024春 平罗县校级期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a 5a
若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解．
【解答】解：由分布列的性质可知：，
解得，
由Y＝2X+1，Y≥5，可得X≥2，
由表可知．
故选：A．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024春 青铜峡市校级期末）已知X的分布列为
X 0 1 2
P a
则下列说法正确的有（　　）
A． B．
C．E（X）＝1 D．P（X＝0）＜P（X＝2）
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由分布列的性质，求出相应的概率和均值．
【解答】解：由随机变量分布列的性质可知：
，解得，
∴，故A正确；
P（X＞0）＝1﹣P（X＝0）＝1，故B正确；
，故C不正确；
P（X＝0），故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）6．（2024春 凉山州期末）设随机变量的分布列为，则（　　）
A．10a＝1 B．P（0.3＜ξ＜0.82）＝0.5
C． D．P（ξ＝1）＝0.3
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，求出a，即可依次判断．
【解答】解：随机变量的分布列为，
则a+2a+3a+4a＝1，即10a＝1，故A正确；
由A可知，a，
P（0.3＜ξ＜0.82）＝P（ξ）+P（ξ）＝5a＝0.5，故B正确；
P（ξ），P（ξ），P（ξ），P（ξ＝1），故D错误，
故E（ξ），故C正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，是基础题．
（多选）7．（2024春 湾沚区校级期末）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列选项正确的是（　　）
A．m+n＝0.7
B．若m＝0.3，则P（X＞3）＝0.5
C．若m＝0.9，则n＝﹣0.2
D．P（X＝1）＝2P（X＝6）
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解．
【解答】解：对于A中，由分布列的性质，可得0.2+m+n+0.1＝1，解得m+n＝0.7，所以A正确；
对于B中，若m＝0.3，可得n＝0.4，则P（X＞3）＝P（X＝4）+P（X＝6）＝0.5，故B正确；
对于C中，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；
对于D中，由P（X＝1）＝0.2，P（X＝6）＝0.1，则P（X＝1）＝2P（X＝6），所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024春 怀宁县校级期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为 　或　．
ξ 1 2 3
P 2a2
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】或．
【分析】由求解．
【解答】解：由题可得，
∴或，经检验适合题意，
∴实数a的值为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，属于基础题．
9．（2024春 哈尔滨期末）已知随机变量X的分布列，则a＝　　．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质直接求解．
【解答】解：由分布列的性质知：
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2024春 重庆期中）随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 1﹣m
则m＝　　．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，分析可得P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3），解可得答案．
【解答】解：根据题意，由分布列的性质，
可得P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3），解得．
故答案为：．
【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．
11．（2024春 锡山区校级期中）若随机变量X的分布列为：
X ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P（X＜a）＝0.5时，实数a的取值范围是 　（0，1]　．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（0，1]．
【分析】根据随机变量X的分布列求解．
【解答】解：由随机变量X的分布列可知，若P（x＜a）＝0.5，
则0＜a≤1，
即实数a的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东城区校级期中）某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：
产品等级 一等品 二等品 三等品
样本数量（件） 50 30 20
（Ⅰ）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；
（Ⅱ）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为X．求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解答，225；（Ⅲ）60%．
【分析】（Ⅰ）利用古典概型求解概率即可；
（Ⅱ）将非一等品视为整体，利用二项分布求出概率，得到分布列和期望即可；
（Ⅲ）依据题意结合整体法得到不等式，求解概率即可．
【解答】解：（Ⅰ）设概率为P，由题意得；
（Ⅱ）首先，我们把二等品和三等品视为一个整体，
则单次抽到一等品的概率为，抽到二等品和三等品这个整体的概率为，
当X＝150时，抽到的产品一定在二等品和三等品这个整体里，
所以；
当X＝200时，；
当X＝250时，，
当X＝300时，，
故分布列见下表：
X 150 200 250 300
P
所以数学期望为；
（Ⅲ）设产品中的一等品率为x，故非一等品率为1﹣x，
所以100x+50（1﹣x）≥80，解得x≥0.6，
所以产品中的一等品率至少是60%．
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列与均值，属于中档题．
13．（2024 江西一模）设（X，Y）是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为（ai，bj），其中i，j∈N*，令pij＝P（X＝ai，Y＝bj），称pij（i，j∈N*）是二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
Y/X b1 b2 b3 …
a1 p1，1 p1，2 p1，3 …
a2 p2，1 p2，2 p2，3 …
a3 p3，1 p3，2 p3，3 …
… … … … …
现有n（n∈N*）个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．
（1）当n＝2时，求（X，Y）的联合分布列；
（2）设pk（X＝k，Y＝m），k∈N且k≤n，计算．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）（X，Y）的联合分布列为：
（X，Y） 0 1 2
0
1 0
2 0 0
（2）．
【分析】（1）由题意知X可取0，1，2，Y可取0，1，2，直接计算概率，列出（X，Y）的联系分布列即可；
（2）直接计算pk（X＝k，Y＝m），结合二项分布的期望公式求出．
【解答】解：（1）由题意知X可取0，1，2，Y可取0，1，2，
则P（X＝0，Y＝0），
P（X＝0，Y＝1），
P（X＝0，Y＝2），
P（X＝1，Y＝0），
P（X＝1，Y＝1），
P（X＝2，Y＝0），
P（X＝1，Y＝2）＝P（X＝2，Y＝1）＝P（X＝2，Y＝2）＝0，
∴（X，Y）的联合分布列为：
（X，Y） 0 1 2
0
1 0
2 0 0
（2）当k+m＞n时，P（X＝k，Y＝m）＝0，
∴pk（X＝k，Y＝m）
，
∴，
设Z～B（n，），则由二项分布的期望公式得E（Z）．
【点评】本题考查二维离散型随机变量的联合分布列、概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．（2024春 锡林郭勒盟期末）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列．
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；（2）分布列见解析．
【分析】（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解；
（2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列．
【解答】解：（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，
则取出的2个球没有白球，得，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为．
（2）依题意，随机变量X的取值为1，2，3，
，，，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
【点评】本题考查古典概型的概率公式、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2024春 广州期末）现有n枚游戏币C1，C2，…， n（n＞3），游戏币 k（k＝1，2， ，n）是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这n枚游戏币玩游戏．
（1）将C1，C2，C3这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为X，求X的分布列；
（2）将这n枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】分类讨论；定义法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】（1）
X 0 1 2 3
P
（2）公平，理由见解答．
【分析】（1）通过已知概率求出X的可取值，再分别求出概率，即可列出分布列．
（2）通过分类讨论解出抛一次落下时正面朝上的个数为奇数的概率与比较即可．
【解答】解：记事件Ak为“第 k枚游戏币向上抛出后，正面朝上”．
则P（Ak），k＝1，2， ，n（n＞3）．
（1）X可取0，1，2，3．
由事件Ak相互独立，
则P（x＝0）＝P（）＝P（）P（）P（）＝（1）（1）（1）．
P（x＝1）＝P（A1）
＝P（A1）+P（）+P（）
（1）（1）
．
P（x＝2）＝P（A1A2）+P（A1A3）+P（A2A3）
（1）
．
P（x＝3）＝P（A1A2A3）．
故分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）因为正面朝上个数为奇数，则甲胜．
现在考虑依次抛这n枚游戏币，即按照C1，C2， ， n的顺序抛这n枚游戏币．
记抛第 k枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为Pk，k＝1，2， ，n．
举两个例子：P1表示抛C1后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，
故C1只能正面朝上，P1；
P2表示抛C2后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，
此时有两种情况：
①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，C2反面朝上；
②前面抛出正面朝上个数为偶数，C2正面朝上．
故P2＝P1 P（）+（1﹣P1） P（A2）
（1）
．
故当k≥2时，有Pk＝Pk﹣1（1﹣Pk﹣1） P（Ak），（第一项“Pk﹣1”表示前k﹣1次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数；第二项“1﹣Pk﹣1”表示前k﹣1次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数）．
故Pk＝Pk﹣1（1﹣Pk﹣1）
＝Pk﹣1_
＝（1）Pk﹣1．
即Pk Pk﹣1．
即kPk＝（k﹣1）Pk﹣1，k≥2．
记bk＝kPk，则bk﹣bk﹣1，k≥2，
故数列{bn}为首项是1，公差为的等差数列．
故bk，
则kPk，
故Pk，k＝1，2，3， ，n．
则Pn．
故公平．
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列以及独立事件公式，属于难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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