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预习衔接.夯实基础 二项式分布与超几何分布
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 上海期中）重复n次成功概率为p的伯努利试验，其成功次数X的分布为（　　）
A．伯努利分布 B．二项分布
C．超几何分布 D．正态分布
2．（2023秋 九江期末）一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球．现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到白球出现10次时停止．设停止时共取了ξ次球，则P（ξ＝12）＝（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 和平区模拟）下列说法中，正确的个数为（　　）
①样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
③随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜3）＝0.8，则P（1＜ξ＜3）＝0.3
④随机变量X服从二项分布B（4，p），若方差，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024春 西城区校级期中）某运动员射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，恰好命中一次的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2023秋 无锡期末）已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为p（0＜p＜1），我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记作X NB（r，p），则下列说法正确的是（　　）
A．若，则，k＝1，2，3，…
B．若X NB（r，p），则P（X＝k）＝pr（1﹣p）k﹣r，k＝r，r+1，r+2，…
C．若X NB（r，p），Y B（n，p），则P（X≤n）＝P（Y≥r）
D．若X NB（r，p），则当k取不小于的最小正整数时，P（X＝k）最大
（多选）6．（2024春 石家庄期末）下列说法正确的是（　　）
A．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝10，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则n＝8
D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
（多选）7．（2023秋 安顺期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则（　　）
A．
B．数列为等比数列
C．
D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 开福区校级期中）假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（AB）＝　 　．
9．（2024春 皋兰县校级期末）一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，否则需要补种，则每穴至少种 　 　粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于97%．（lg3≈0.48）
10．（2024春 金安区校级期末）已知随机变量ξ满足ξ～B（2，p），若，则p＝　 　．
11．（2024春 平罗县校级期末）小明上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上恰好遇到2次绿灯的概率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 桃城区校级模拟）已知甲口袋有m（m≥1，m∈N*）个红球和2个白球，乙口袋有n（n≥1，n∈N*）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球．
（1）当m＝4，n＝2时，
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望；
（2）当m＝n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？
13．（2024春 四川期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续n（n≥8）次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，P（X＝8）的值最大？
14．（2024春 福州期末）甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球．
（1）当N＝5时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求E（X），E（Y），D（X），D（Y）；
（2）当N＝10时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设Ak（k＝1，2，3，4，5）表示“第k次取出的是红球”，比较P（A1A2A3A4）与P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）的大小；
（3）由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作P1；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作P2．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即P1﹣P2≤0.003）的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：）
15．（2024春 四川期末）竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如表：
学习竹编次数 0 1 2 3 4 5 6 合计
男 1 3 5 7 9 9 6 40
女 5 6 7 7 6 5 4 40
合计 6 9 12 14 15 14 10 80
（1）若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
性别 学习竹编 合计
后起之秀 先锋
男生
女生
合计
（2）若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
预习衔接.夯实基础 二项式分布与超几何分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 上海期中）重复n次成功概率为p的伯努利试验，其成功次数X的分布为（　　）
A．伯努利分布 B．二项分布
C．超几何分布 D．正态分布
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合二项分布的定义，即可求解．
【解答】解：重复n次成功概率为p的伯努利试验，其成功次数X的分布为二项分布．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项分布的定义，属于基础题．
2．（2023秋 九江期末）一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球．现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到白球出现10次时停止．设停止时共取了ξ次球，则P（ξ＝12）＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，ξ＝12，即第12次必须取到白球，则在前面11次取球中取到2次红球，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，取球过程在白球出现10次时停止，停止时共取了ξ次球，
ξ＝12，即第12次取到白球且在前面11次取球中取到9次白球和2次红球，
其概率．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，注意分析ξ＝12的含义，属于基础题．
3．（2024 和平区模拟）下列说法中，正确的个数为（　　）
①样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
③随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜3）＝0.8，则P（1＜ξ＜3）＝0.3
④随机变量X服从二项分布B（4，p），若方差，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】结合相关系数、残差的定义，正态分布的对称性，二项分布的知识，即可求解．
【解答】解：样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，故①正确；
用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确；
随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），
若P（ξ＜3）＝0.8，
则P（1＜ξ＜3）＝P（ξ＜3）﹣P（ξ≤1）＝0.8﹣0.5＝0.3，故③正确；
随机变量X服从二项分布B（4，p），
方差，
则4p（1﹣p），解得p或，
当p时，P（X＝1），
当p时，P（X＝1），故④错误，
综上所述，正确的个数为3．
故选：C．
【点评】本题主要考查相关系数、残差的定义，正态分布的对称性，二项分布的知识，属于基础题．
4．（2024春 西城区校级期中）某运动员射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，恰好命中一次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据相互独立事件，连续射击3次，恰好命中一次的概率，即可求解．
【解答】解：因为每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，
所以连续射击3次，恰好命中一次的概率．
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2023秋 无锡期末）已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为p（0＜p＜1），我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记作X NB（r，p），则下列说法正确的是（　　）
A．若，则，k＝1，2，3，…
B．若X NB（r，p），则P（X＝k）＝pr（1﹣p）k﹣r，k＝r，r+1，r+2，…
C．若X NB（r，p），Y B（n，p），则P（X≤n）＝P（Y≥r）
D．若X NB（r，p），则当k取不小于的最小正整数时，P（X＝k）最大
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用负二项分布的概念可判断AB选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断C选项；分析可得，结合负二项分布的概率公式可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，因为X，
则P（X＝K），故A对；
对于B选项，因为X～NB（r，p），
则P（X＝k）pr﹣1（1﹣p）k﹣rppr（1﹣p）k﹣r，k＝r，r+1，r+2， ，故B错；
对于C选项，因为从{1，2， ，n}中取出r+j（0≤j≤n﹣r）个数a1＜a2＜ ＜ar+j的取法有种，
这些取法可按ar的值分类，即ar＝r+i（0≤i≤n﹣r﹣j）时的取法有种，
所以，，
因为X～NB（r，p），Y～B（n，p），设q＝1﹣p，则p+q＝1，
所以
P（Y≥qr），故C对；
对于D选项，因为X～NB（r，p），P（X＝k）最大，
则，
所以，
解得，
所以，当k取不小于的最小正整数时，P（X＝k）最大，故D对．
故选：ACD．
【点评】本题考查负二项分布的问题，属于难题．
（多选）6．（2024春 石家庄期末）下列说法正确的是（　　）
A．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝10，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则n＝8
D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
【考点】n重伯努利试验与二项分布；排列及排列数公式；组合及组合数公式；命题的真假判断与应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合古典概型及其概率计算公式求解即可．
【解答】解：对于选项A，已知随机变量X～B（n，p），
又E（X）＝30，D（X）＝10，
则np＝30，np（1﹣p）＝10，
即p，
即选项A错误；
对于选项B，两位男生和两位女生随机排成一列，
则两位女生不相邻的概率是，
即选项B正确；
对于选项C，已知，
则，
则n＝8，
即选项C正确；
对于选项D，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，
则取得2件次品的概率为，
故选项D错误，
故选：BC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了古典概型及其概率计算公式，属基础题．
（多选）7．（2023秋 安顺期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则（　　）
A．
B．数列为等比数列
C．
D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，由条件可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可判断ABC，然后逐一列举，即可判断D．
【解答】解：由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第（n﹣1）次球必定不在甲手中，
∴，n≥2，即，
∴，且P1＝0，则，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确；
则，即，故C错误；
且，故A正确；
若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，
设甲乙丙对应a，b，c
则a→b→a→b→a，
a→b→a→c→a，
a→b→c→b→a，
a→c→a→b→a，
a→c→a→c→a，
a→c→b→c→a，
所以一共有六种情况，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 开福区校级期中）假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（AB）＝　0.12　．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】转化思想．
【答案】0.12．
【分析】利用事件的乘方公式求概率即可．
【解答】解：由题意可知，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12．
故答案为：0.12．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
9．（2024春 皋兰县校级期末）一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，否则需要补种，则每穴至少种 　3　粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于97%．（lg3≈0.48）
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】应用题；转化思想；数学模型法；概率与统计；数学建模．
【答案】3．
【分析】记事件A为“种一粒种子，发芽”，每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，求出P（A）、P（B），根据P（B）＞97%，求出n的最小正整数值．
【解答】解：记事件A为“种一粒种子，发芽”，
则P（A）＝0.7，P（）＝1﹣0.7＝0.3．
因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则P（） 0.70 0.3n＝0.3n，
所以P（B）＝1﹣P（）＝1﹣0.3n，
根据题意得P（B）＞97%，
即1﹣0.3n＞0.97，
所以0.3n＜0.03，
两边同时取以10为底的对数，得nlg0.3＜lg0.03，
即n（lg3﹣1）＜lg3﹣2，
解得n，
因为2.92，
且n∈N*，所以n的最小正整数值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了n次独立重复实验恰有k次发生的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
10．（2024春 金安区校级期末）已知随机变量ξ满足ξ～B（2，p），若，则p＝　　．
【考点】n重伯努利试验与二项分布．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据P（ξ≤1）＝P（ξ＝0）+P（ξ＝1），利用二项分布的概率公式列方程计算即可．
【解答】解：由已知得，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
11．（2024春 平罗县校级期末）小明上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上恰好遇到2次绿灯的概率为 　　．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】利用n次独立重复试验中恰好发生k次概率公式求解．
【解答】解：小明上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，
则他在上班的路上恰好遇到2次绿灯的概率为：
P．
故答案为：．
【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 桃城区校级模拟）已知甲口袋有m（m≥1，m∈N*）个红球和2个白球，乙口袋有n（n≥1，n∈N*）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球．
（1）当m＝4，n＝2时，
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望；
（2）当m＝n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；对立事件的概率关系及计算．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）（i）；（ii）；
（2）m＝6．
【分析】（1）（i）先根据题意求出小明从甲口袋摸出一个白球的概率和从乙口袋摸出一个白球的概率，然后求出小明4次摸球中，摸出的都是红球的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得答案；（ii）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求出X的数学期望；
（2）由m＝n，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，则，然后利用导数可求得其最大值．
【解答】解：（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为，
从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为．
（i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且，
所以．
（ii）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由（i），得，，
，，，
所以．
（2）由m＝n，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，
设小明每次摸出一个红球的概率为k（0＜k＜1），则．
因为，
所以当时，P′（k）＞0；当1时，P′（k）＜0，
所以P（k）在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，P（k）最大，
此时，解得m＝6，
故当m＝6时，P最大．
【点评】本题考查对立事件的概率公式的应用，离散型随机变量的期望，独立重复试验的概率，导数的应用，属于较难题．
13．（2024春 四川期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续n（n≥8）次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，P（X＝8）的值最大？
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；全概率公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.75；
（2）①；
②n＝10．
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）由题意可知：，①直接由二项分别的方差公式求解；
②，结合数列单调性分析求解．
【解答】解：（1）记“输入的数据集质量高”为事件A，“一次数据能被软件准确分析”为事件B，
由题意可知：，
则，
所以，
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75；
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以X的方差；
②可知，
令，则，
令，解得n≤9，可知当n≤9，可得an+1＞an；
令，解得n≥10，可知当n≥10，可得an+1＜an；
于是a1＜a2＜a3 ＜a10＞a11＞a12＞ ，
所以当n＝10时，an最大，即n＝10时，P（X＝8）的值最大．
【点评】本题主要考查了全概率公式，考查了二项分布的方差公式，属于中档题．
14．（2024春 福州期末）甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球．
（1）当N＝5时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求E（X），E（Y），D（X），D（Y）；
（2）当N＝10时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设Ak（k＝1，2，3，4，5）表示“第k次取出的是红球”，比较P（A1A2A3A4）与P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）的大小；
（3）由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作P1；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作P2．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即P1﹣P2≤0.003）的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：）
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；超几何分布；利用导数研究函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）E（X），E（Y），D（X），D（Y）；
（2）P（A1A2A3A4）＜P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）．
（3）N至少为195时，在误差不超过0.003的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
【分析】（1）Y～B（3，），X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，由此能求出结果．
（2）采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为，从而，P（A1A2A3A4），由此得到P（A1A2A3A4）＜P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）．
（3）求出，，由P1﹣P2≤0.003，得，由题意知（N﹣1）（N﹣2）＞0，从而N2﹣195N+290≥0，进而，令，则，由此能求出结果．
【解答】解：（1）对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，
则Y～B（3，），E（Y）＝3，D（Y）＝3，
X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，
则，
∴，
．
（2）∵，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为
∴，
又，
∴P（A1A2A3A4）＜P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）．
（3），，
∵P1﹣P2≤0.003，∴，
∴，∴，
由题意知（N﹣1）（N﹣2）＞0，从而，
化简得N2﹣195N+290≥0，
又N＞0，∴，令，
则，
∴当时f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，
∴f（x）在处取得最小值，从而在N≥18时单调递增，
当N≤20时，，又，，
∴当N≥194时，符合题意
考虑到，都是整数，则N一定是5的正整数倍，
∴N至少为195时，在误差不超过0.003（即P1﹣P2≤0.003）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
【点评】本题考查二项分布、超几何分析布、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
15．（2024春 四川期末）竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如表：
学习竹编次数 0 1 2 3 4 5 6 合计
男 1 3 5 7 9 9 6 40
女 5 6 7 7 6 5 4 40
合计 6 9 12 14 15 14 10 80
（1）若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
性别 学习竹编 合计
后起之秀 先锋
男生
女生
合计
（2）若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；独立性检验．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能认为性别因素与学习竹编有关系；
（2）分布列见解答，数学期望为1.8．
【分析】（1）完善2×2列联表，再计算χ2的观测值，与临界值比对作答．
（2）求出Y的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望．
【解答】解：（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 学习竹编 合计
后起之秀 先锋
男生 9 31 40
女生 18 22 40
合计 27 53 80
零假设为H0：性别与学习竹编情况独立，即性别因素与学习竹编无关，
根据列联表的数据计算得：，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，
即该地区性别因素与学习竹编有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）样本中“爱好者”共10名，其中6名男生，4名女生，
则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以所求分布列为：
Y 0 1 2 3
P
数学期望．
【点评】本题考查独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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