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预习衔接.夯实基础 正态分布
一．选择题（共4小题）
1．（2024春 萨尔图区校级期末）下列说法：①离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了随机变量ξ取值的波动情况；②随机变量X～N（μ，σ2），其中σ越大，曲线越“高瘦”；③若A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件；④从10个红球和20个白球（除颜色外完全相同）中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数X服从超几何分布；其中，正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024 青海一模）已知贵州某果园中刺梨单果的质量M（单位：g）服从正态分布N（30，σ2），且P（M＜28）＝0.2，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g～32g的单果的个数的期望为（　　）
A．20 B．60 C．40 D．80
3．（2024 江西模拟）设随机变量ξ～N（2，1），若P（ξ＞3）＝m，则P（1＜ξ＜3）等于（　　）
A．2m B．1﹣m C．1﹣2m D．m
4．（2024春 重庆期末）某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（25，σ2），且P（X＜24.8）＝0.04，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量X∈[24.8，25.2]的袋数约为（　　）
A．1920 B．1840 C．920 D．160
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024 回忆版）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（　　）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）
A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5
C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8
（多选）6．（2024 信州区校级模拟）下列说法中正确的是（　　）
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是7.5
B．随机变量X B（4，p），若，则
C．已知随机事件A，B，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，若，则事件A，B相互独立
D．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2
（多选）7．（2024 渝中区校级模拟）随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即X N（2，1），，则（　　）
A． B．E（X）＝E（Y） C．D（X）＝D（Y） D．
三．填空题（共4小题）
8．（2024春 铜仁市期末）已知随机变量X服从标准正态分布N（0，1）．若P（X＞2）＝0.4，则P（﹣2≤X≤0）＝　 　．
9．（2024春 惠东县期中）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N（15，9），其中X∈[6，18]的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 　 　．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
10．（2024春 赣榆区期中）若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤3）＝0.8，则P（ξ≤﹣1）＝　 　．
11．（2024秋 安丘市校级期末）某校期末统考数学成绩服从正态分布N（76，16）．按15%，35%，35%，15%的比例将考试成绩划为A，B，C，D四个等级，其中分数大于或等于83分的为A等级，则B等级的分数应为 　 　．（用区间表示）
四．解答题（共4小题）
12．（2024 四川模拟）新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
13．（2024春 崂山区校级期中）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近400天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：[65，75），[75，85），[85，95），[95，105），[105，115），[115，125），[125，135]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从T～N（μ，σ2）的正态分布，经计算μ近似为100，σ2近似为150．
①利用该正态分布．求P（75.6≤T≤136.6）；
②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（75.6，136.6）内的天数（结果保留整数）．
（2）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：T＜95时，奖励60元；95≤T＜115时，奖励80元；T≥115时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于μ时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于μ时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表：
资金 50 100
概率
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
附：12.2，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973
14．（2024秋 福建期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M（单位：g）服从正态分布N（250，σ2），且P（M＜248）＝0.1．
（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g的概率；
（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K（K为正整数）包，记质量在248g～252g的包数为X，且D（X）＞320，求K的最小值．
15．（2024春 漳州期末）2024年5月1日，“花样漳州啤酒之夜群星演唱会”在漳州激情开唱，为现场2万名观众带来一场音乐盛宴．现随机抽取200名现场观众，对他们的年龄和是否购买周边产品进行了统计，得到以下数据：
年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计
小于30 40
30及以上 45 80
总计 200
（1）请完成上面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否购买周边产品有关？
（2）已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分Y N（80，52）（单位：分），请估计现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分Y在[75，90]内的人数约为多少？
（参考公式及表格：，其中n＝a+b+c+d．
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
若ξ N（x，σ2），则P（μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973．）
预习衔接.夯实基础 正态分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024春 萨尔图区校级期末）下列说法：①离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了随机变量ξ取值的波动情况；②随机变量X～N（μ，σ2），其中σ越大，曲线越“高瘦”；③若A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件；④从10个红球和20个白球（除颜色外完全相同）中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数X服从超几何分布；其中，正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；命题的真假判断与应用；超几何分布．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】按离散型随机变量ξ的方差D（ξ）的性质判断可判断A；随机变量X～N（μ，σ2），其中σ越大，曲线越“矮胖”，可判断B；若A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件，可判断C；从10个红球和20个白球除颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布，符合超几何分布的定义可判断D．
【解答】解：对于①，离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度，故①正确；
对于②，随机变量X～N（μ，σ2），其中μ一定时，σ越小，曲线越“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，故②错误；
对于③，若A与B是相互独立事件，则P（AB）＝P（A）P（B），因为与AB不相交，
所以，
故A和独立，故③正确；
对于④，超几何分布是统计学上一种离散型概率分布，
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定类物件）中抽出n（n≤N）个物件，
这n件中所含指定种类的物件数X是一个离散型随机变量，故④正确，
故正确的个数是3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了方差的定义，考查了正态分布曲线的性质，以及超几何分布的定义，属于中档题．
2．（2024 青海一模）已知贵州某果园中刺梨单果的质量M（单位：g）服从正态分布N（30，σ2），且P（M＜28）＝0.2，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g～32g的单果的个数的期望为（　　）
A．20 B．60 C．40 D．80
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由正态分布对称性及已知得P（28＜M＜32）＝0.6，又质量在28g～32g的单果的个数X～B（100，0.6），应用二项分布的期望公式求期望．
【解答】解：因为M（单位g）服从正态分布 N（30，a2），且P（M＜28）＝0.2，
所以P（28＜M＜32）＝2×（0.5﹣0.2）＝0.6，
若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g～32g的单果的个数X～B（100，0.6），
所以E（X）＝100×0.6＝60．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了二项分布的期望公式，属于中档题．
3．（2024 江西模拟）设随机变量ξ～N（2，1），若P（ξ＞3）＝m，则P（1＜ξ＜3）等于（　　）
A．2m B．1﹣m C．1﹣2m D．m
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计．
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称和概率之和等于1的特点进行计算．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，1），
∴P（ξ＜1）＝P（ξ＞3）＝m，
∴P（1＜ξ＜3）＝1﹣2m．
故选：C．
【点评】本题考查了正态分布的特点，属于基础题．
4．（2024春 重庆期末）某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（25，σ2），且P（X＜24.8）＝0.04，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量X∈[24.8，25.2]的袋数约为（　　）
A．1920 B．1840 C．920 D．160
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：因为X～N（25，σ2），且P（X＜24.8）＝0.04，
所以P（24.8≤X≤25.2）＝2P（24.8≤X≤25）＝2×[0.5﹣P（X＜24.8）]＝2×（0.5﹣0.04）＝0.92，
所以该种袋装大米的质量X∈[24.8，25.2]的袋数约为2000×0.92＝1840．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024 回忆版）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（　　）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）
A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5
C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】易知X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），由此逐项分析判断即可．
【解答】解：依题意，X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），
对于X～N（1.8，0.12），由于2＝1.8+2×0.1＝μ+2σ，
则P（X＞2）＝P（X＞μ+2σ）＜P（X＞μ+σ）＝1﹣0.8413＝0.1587，A错；
P（X＞2）＜P（X＞1.8）＝0.5，B对；
对于Y～N（2.1，0.12），由于2＝2.1﹣0.1＝μ﹣σ，
则P（Y＞2）＞P（Y＞2.1）＝0.5，C对；
P（Y＞2）＝P（Y＞μ﹣σ）＝P（Y＜μ+σ）＝0.8413＞0.8，D错．
故选：BC．
【点评】本题考查正态分布，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）6．（2024 信州区校级模拟）下列说法中正确的是（　　）
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是7.5
B．随机变量X B（4，p），若，则
C．已知随机事件A，B，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，若，则事件A，B相互独立
D．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；条件概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】求出第80百分位数判断A；利用二项分布的方差公式计算判断B；利用条件概率化简判断C；利用正态分布对称性求出概率判断D．
【解答】解：对于A，由7×80%＝5.6，所以数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8，故A错误；
对于B，由X～B（4，p），，得，
解得，因此，故B正确；
对于C，由P（B|A）+P（）＝1，得1﹣P（）＝P（B），
即P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，故C正确；
对于D，由X服从正态分布N（3，σ2），P（X≤4）＝0.7，得P（3＜X＜4）＝0.7﹣0.5＝0.2，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了二项分布的期望和方差公式，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
（多选）7．（2024 渝中区校级模拟）随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即X N（2，1），，则（　　）
A． B．E（X）＝E（Y） C．D（X）＝D（Y） D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；n重伯努利试验与二项分布．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据正态分布定义以及二项分布相关知识可解．
【解答】解：因为随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即X N（2，1），，
根据正态分布的定义得，故A正确；
E（X）＝μ＝2，，故E（X）＝E（Y），故B正确；
D（X）＝σ2＝1，，故D（X）＝D（Y），故C正确；
，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查正态分布定义以及二项分布相关知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024春 铜仁市期末）已知随机变量X服从标准正态分布N（0，1）．若P（X＞2）＝0.4，则P（﹣2≤X≤0）＝　0.1　．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.1．
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：∵X～N（0，1），且P（X＞2）＝0.4，
∴P（X＜﹣2）＝P（X＞2）＝0.4，
∴P（﹣2≤X≤0）＝0.5﹣P（X＜﹣2）＝0.5﹣0.4＝0.1．
故答案为：0.1．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性求解．
9．（2024春 惠东县期中）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N（15，9），其中X∈[6，18]的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 　0.84　．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.84．
【分析】由正态分布的性质可知μ＝15，σ＝3，有P（6≤X≤18）＝P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）+P（μ+σ≤X≤μ+3σ），结合3σ原则即可求解．
【解答】解：由题意知，该产品服从X～N（15，9），
则μ＝15，σ＝3，
所以P（6≤X≤18）＝P（15﹣3≤X≤15+3×3）＝P（μ﹣σ≤X≤μ+3σ）＝P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）+P（μ+σ≤X≤μ+3σ），
又，
，
所以P（μ+σ≤X≤μ+3σ）＝P（μ+σ≤X≤μ+2σ）+P（μ+2σ≤X≤μ+3σ）＝0.1573，
所以P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）+P（μ+σ≤X≤μ+3σ）＝0.1573+0.6827＝0.84，
即P（6≤X≤18）＝0.84，
所以抽到“可用产品”的概率为0.84．
故答案为：0.84．
【点评】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属基础题．
10．（2024春 赣榆区期中）若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤3）＝0.8，则P（ξ≤﹣1）＝　0.2　．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.2．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤3）＝0.8，
则P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥3）＝1﹣P（ξ≤3）＝1﹣0.8＝0.2．
故答案为：0.2．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
11．（2024秋 安丘市校级期末）某校期末统考数学成绩服从正态分布N（76，16）．按15%，35%，35%，15%的比例将考试成绩划为A，B，C，D四个等级，其中分数大于或等于83分的为A等级，则B等级的分数应为 　[76，83）　．（用区间表示）
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】[76，83）．
【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解．
【解答】解：设考试成绩为X，
由题意可知，μ＝76，σ＝4，P（X≥76）＝0.5，P（X≥83）＝0.15，
所以P（76≤X＜83）＝P（X≥76）﹣P（X≥83）＝0.5﹣0.15＝0.35，
所以B等级的分数应为[76，83）．
故答案为：[76，83）．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 四川模拟）新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）60；
（2）①3274人；②不可信．
【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；
（2）①根据参考数据求得P（190≤X≤355），再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得P（X＞μ+3σ），估计成绩高于410分的人数，即可判断．
【解答】解：（1）甲、乙两名学生必选语文、数学、外语．
若另一门相同的为物理、历史中的一门，有种，
在生物、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门，
则有种，共2×6＝12种；
若另一门相同的为生物、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种．
所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为12+48＝60．
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X N（245，552）．
由题知μ＝245，σ＝55，μ+2σ＝245+110＝355，μ﹣σ＝245﹣55＝190，
则，
所以4000×0.8186＝3274.4≈3274．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
μ+3σ＝245+3×55＝410＜425，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有4000×0.00135＝5.4人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于中档题．
13．（2024春 崂山区校级期中）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近400天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：[65，75），[75，85），[85，95），[95，105），[105，115），[115，125），[125，135]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从T～N（μ，σ2）的正态分布，经计算μ近似为100，σ2近似为150．
①利用该正态分布．求P（75.6≤T≤136.6）；
②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（75.6，136.6）内的天数（结果保留整数）．
（2）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：T＜95时，奖励60元；95≤T＜115时，奖励80元；T≥115时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于μ时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于μ时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表：
资金 50 100
概率
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
附：12.2，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．
【专题】计算题；转化思想；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）①P＝0.97585；
②1952天；
（2）小张选择方案二更有利．
【分析】（1）根据正态分布的性质求解即可．
（2）分别计算两种方案的数学期望然后进行比较，选择期望更高的．
【解答】解：（1）①由题意T～N（100，150），其中，
所以P（75.6≤T≤136.6）＝P（100﹣2×12.2≤T≤100+3×12.2）．
②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间（75.6，136.6）内的天数为：2000×0.97585≈1952（天）；
（2）易知，
对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为60，80，120，其对应的概率分别为0.33，0.57，0.10，
故E（X）＝60×0.33+80×0.57+120×0.10＝77.4，
对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为50，100，150，200，
故，，，，
所以，
因为E（Y）＞E（X），所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利．
【点评】本题考查频率分布直方图、正态分布曲线的特点，属于中档题．
14．（2024秋 福建期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M（单位：g）服从正态分布N（250，σ2），且P（M＜248）＝0.1．
（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g的概率；
（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K（K为正整数）包，记质量在248g～252g的包数为X，且D（X）＞320，求K的最小值．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.243；（2）2001．
【分析】（1）P（M≥248）＝1﹣0.1＝0.9，由此即可得；（2）根据正态函数的对称性，再根据二项分布的特点即可得．
【解答】解：（1）因为 P（M＜248）＝0.1，所以P（M≥248）＝1﹣0.1＝0.9，
则这 3 包中恰有2包质量不小于248g的概率为 ．
（2）因为P（M＜248）＝0.1，所以P（248＜M＜252）＝（0.5﹣0.1）×2＝0.8．
依题意可得 X～B（K，0.8），
所以D（X）＝K×0.8×（1﹣0.8）＝0.16K，
因为D（X）＞320，所以K＞2000，
又K为正整数，所以K的最小值为2001．
【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，属于基础题．
15．（2024春 漳州期末）2024年5月1日，“花样漳州啤酒之夜群星演唱会”在漳州激情开唱，为现场2万名观众带来一场音乐盛宴．现随机抽取200名现场观众，对他们的年龄和是否购买周边产品进行了统计，得到以下数据：
年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计
小于30 40
30及以上 45 80
总计 200
（1）请完成上面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否购买周边产品有关？
（2）已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分Y N（80，52）（单位：分），请估计现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分Y在[75，90]内的人数约为多少？
（参考公式及表格：，其中n＝a+b+c+d．
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
若ξ N（x，σ2），则P（μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973．）
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握；
（2）16372．
【分析】（1）求解卡方，与临界值比较即可求解，
（2）根据正态分布的对称性，即可求解概率得解．
【解答】解：（1）列联表如下：
年龄（岁） 购买周边 不购买周边 总计
小于30 80 40 120
30及以上 45 35 80
总计 125 75 200
假设年龄与是否购买周边产品无关，
，
因为2.222＜3.841，所以没有95%的把握认为年龄与是否购买周边产品有关．
（2）依题意正态分布的均值μ＝80，标准差σ＝5，
P（75≤Y≤90）＝P（μ﹣σ≤Y≤μ+2σ）＝P（μ﹣σ≤Y≤μ）+P（μ≤Y≤μ+2σ）0.8186，
20000×0.8186＝16372人，
现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分Y在[75，90]内的人数约为16372．
【点评】本题考查独立性检验和正态分布对称性相关知识，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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