资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
预习衔接.夯实基础 一元线性回归
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 浏阳市期末）2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（　　）
A．由题中数据可知，变量y与x负相关
B．当x＝5时，残差为0.2
C．可以预测当x＝6时销量约为2.1万只
D．线性回归方程中
2．（2024春 德阳期末）高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
温度x（℃） 6 8 10
病毒数量y（万个） 30 22 20
由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（　　）
参考公式：
A．12 B．10 C．9 D．11
3．（2024 黄浦区校级模拟）下列命题错误的是（　　）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设ξ～B（n，p），若E（ξ）＝30，D（ξ）＝20，则n＝90
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且E（X）＝8
4．（2024春 广东期末）已知一组成对数据（xi，yi）（i＝1，2，…，6）中y关于x的一元非线性回归方程y＝bx2+1，已知，，，则b＝（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
5．（2024 德庆县校级模拟）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：dm2）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y＝cekx（c＞0）去拟合x与y的关系，设z＝lny，x与z的数据如表格所示：得到x与z的线性回归方程，则c＝（　　）
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
A．﹣2 B．﹣1 C．e﹣2 D．e﹣1
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024春 鞍山期中）对两个变量x与y进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法正确的是（　　）
A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
B．由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心（）
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量x与y之间的相关系数r＝0.80，则变量x与y之间具有很强的线性相关性
（多选）7．（2024春 福州期末）对具有相关关系的两个变量x和）进行回归分析时，下列结论正确的是（　　）
A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
B．若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数R2的值为1
C．若样本点的经验回归方程为，则在样本点（2，1.7）处的残差为0.3
D．以y＝cekx模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝2x+3，则c，k的值分别是e3和2
（多选）8．（2024 新会区校级模拟）2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第x（x＝1，2，3，4，5）天的数据如表所示．
x 1 2 3 4 5
y 21 10a 15a 90 109
根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（　　）
A．样本相关系数在（0，1]内
B．当x＝2时，残差为﹣2
C．点（3，15a）一定在经验回归直线上
D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130
三．填空题（共3小题）
9．（2024春 南通期末）某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：
x/℃ ﹣2 ﹣1 0 1 2
y/百元 5 4 2 2 1
由表中数据可得回归方程中a＝﹣1．试预测当天平均气温为﹣3.2℃时，小吃店的日盈利约为 　 　百元．
10．（2024 荆州模拟）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 　 　；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈　 　．（参考公式：决定系数）
11．（2024 博白县模拟）已知变量x和y之间的关系可以用模型y＝menx来拟合．设z＝lny，若根据样本数据计算可得，且x与z的线性回归方程为z＝0.6x+a，则m≈　 　．（参考数据：ln0.3≈﹣1.2，ln0.25≈﹣1.4）
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 常州期中）某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 4 7 12 13 14
（1）求y关于x的经验回归方程；
（2）请估计x＝3.5时，对应的y值．
附：在经验回归方程中，，其中为样本平均值．
13．（2024春 龙岩期末）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码（t） 1 2 3 4 5
交易额y（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15
（1）据上表数据，计算y与t的相关系数r，并说明y与t的线性相关性的强弱；（已知：0.75＜|r|＜1，则认为y与t线性相关性很强；0.3＜|r|≤0.75，则认为y与t线性相关性一般；|r|≤0.3，则认为y与t线性相关性较弱．）
（2）利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2024年该平台的交易额．
参考数据：，，
参考公式：相关系数
线性回归方程t中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，．
14．（2024春 酒泉期末）某民营学校为增强实力与影响力，大力招搅名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如表：
年份序号x 1 2 3 4 5
招生人数y/百人 7 12 13 19 24
（1）求该学校招生人数y与年份序号x的相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强线性相关程度（0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度较强；|r|＜0.75，则认为y与x的线性相关程度较弱）；
（2）求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
参考数据：．
15．（2024春 渝中区校级期末）随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车、小鹏汽车、理想汽车、小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起．新能源汽车因其较高的驱动效率、较低的用车成本、安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎．未来在努力解决充电效率较低、续航里程限制、低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展．某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码（x） 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年 销量（y）/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
（1）若该地区新能源汽车车主的年龄X（单位：岁）近似服从正态分布N（45，64），其中年龄X∈（61，69]的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数）
（2）已知变量x与y之间的相关系数，请求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量．
参考公式与数据：
①若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ≤x≤μ+3σ）＝0.9973；
②；
③．
预习衔接.夯实基础 一元线性回归
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 浏阳市期末）2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（　　）
A．由题中数据可知，变量y与x负相关
B．当x＝5时，残差为0.2
C．可以预测当x＝6时销量约为2.1万只
D．线性回归方程中
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解．
【解答】解：对于选项A，从数据看y随x的增大而减小，所以变量y与x负相关，故A正确；
对于选项B，由表中数据知，，
所以样本中心点为（3，3.9），将样本中心点（3，3.9）代入中得3.9+1.8＝5.7，
所以线性回归方程为，
所以，故B错误；
对于选项C，当x＝6时销量约为（万只），故C正确．
对于选项D，由上3.9+1.8＝5.7，故D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
2．（2024春 德阳期末）高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
温度x（℃） 6 8 10
病毒数量y（万个） 30 22 20
由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（　　）
参考公式：
A．12 B．10 C．9 D．11
【考点】一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据表格数据求出，，，的值，代入公式求出b，a的值，进而得到回归方程，再进行预测即可．
【解答】解：由题意可知，8，24，
∴（6﹣8）×（30﹣24）+（8﹣8）×（22﹣24）+（10﹣8）×（20﹣24）＝﹣20，
（6﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2＝4+0+4＝8，
∴b，
∴ab2444，
∴回归方程为yx+44，
当x＝14时，y14+44＝9，
即可以预测当温度为14℃时，病毒数量为9万个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，以及利用线性回归方程进行预测，属于中档题．
3．（2024 黄浦区校级模拟）下列命题错误的是（　　）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设ξ～B（n，p），若E（ξ）＝30，D（ξ）＝20，则n＝90
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且E（X）＝8
【考点】经验回归方程与经验回归直线；二项分布的均值（数学期望）与方差；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据相关系数的表示意义、二项分布的有关性质、线性回归方程和超几何分布的定义依次判断选项即可．
【解答】解：对于A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
对于B：由ξ～B（n，p），E（ξ）＝30，D（ξ）＝20，得，解得n＝90，故B正确；
对于C：线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确；
对于D：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，
所以由超几何分布的定义知X服从超几何分布，得，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二项分布的期望和方差公式，考查了线性回归方程的性质，以及超几何分布的期望公式，属于中档题．
4．（2024春 广东期末）已知一组成对数据（xi，yi）（i＝1，2，…，6）中y关于x的一元非线性回归方程y＝bx2+1，已知，，，则b＝（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【考点】非线性回归模型．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】求出，yi的均值，根据样本中心在回归直线上求参数b的值即可．
【解答】解：∵，，
∴2，3，
则3＝2b+1，
解得b＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
5．（2024 德庆县校级模拟）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：dm2）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y＝cekx（c＞0）去拟合x与y的关系，设z＝lny，x与z的数据如表格所示：得到x与z的线性回归方程，则c＝（　　）
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
A．﹣2 B．﹣1 C．e﹣2 D．e﹣1
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解．
【解答】解：由表中数据可得，，，
得到x与z的线性回归方程，
则，解得，
故，
z＝lny，
则lny＝1.2x﹣2，
故y＝e1.2x﹣2＝e﹣2 e1.2x，
y＝cekx（c＞0）去拟合x与y的关系，
则c＝e﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024春 鞍山期中）对两个变量x与y进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法正确的是（　　）
A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
B．由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心（）
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量x与y之间的相关系数r＝0.80，则变量x与y之间具有很强的线性相关性
【考点】经验回归方程与经验回归直线；回归分析；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据残差的平方和的性质判断A，根据回归方程的性质判断B，根据相关指数的性质判断C，根据相关系数的定义判断D．
【解答】解：对于A，由残差的意义可得，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A正确；
对于B，若回归方程为，则，即回归方程表示的直线必过样本点的中心，B正确；
对于C，相关指数R2越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C错误；
对于D，变量x与y之间的相关系数r＝0.80，故相关系数较为接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关性．D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了相关指数和相关系数的性质，属于中档题．
（多选）7．（2024春 福州期末）对具有相关关系的两个变量x和）进行回归分析时，下列结论正确的是（　　）
A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
B．若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数R2的值为1
C．若样本点的经验回归方程为，则在样本点（2，1.7）处的残差为0.3
D．以y＝cekx模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝2x+3，则c，k的值分别是e3和2
【考点】非线性回归模型；决定系数与模型的拟合效果；样本相关系数；一元线性回归模型．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据相关系数和决定系数的性质可判断AB，根据残差的定义可判断C，对于y＝cekx两边取对数，结合对数的运算性质可判断D．
【解答】解：对于A，因为|rA|＝0.97＜|rB|＝0.99，
所以A组数据比B组数据的相关性较弱，故A错误；
对于B，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数R2的值为1，故B正确；
对于C，若样本点的经验回归方程为，则在样本点（2，1.7）处的残差为1.7﹣（0.4×2+1.2）＝﹣0.3，故C错误；
对于D，对于y＝cekx，两边取对数得lny＝ln（cekx），
即lny＝lnc+kx，
设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝2x+3，
则k＝2，lnc＝3，
所以c＝e3，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了相关系数和决定系数的性质，考查了残差的定义，以及非线性回归方程化为线性回归方程，属于中档题．
（多选）8．（2024 新会区校级模拟）2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第x（x＝1，2，3，4，5）天的数据如表所示．
x 1 2 3 4 5
y 21 10a 15a 90 109
根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（　　）
A．样本相关系数在（0，1]内
B．当x＝2时，残差为﹣2
C．点（3，15a）一定在经验回归直线上
D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】x，y具有较强的正相关关系，可判断相关系数的范围，判断A；计算x，y的平均值，代入回归直线方程求出a的值，即可求出x＝2时的预测值，求得残差，判断B；看（3，15a）是否适合回归直线方程，判断C；将x＝6代入回归直线方程，求出预测值，判断D．
【解答】解：由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在（0，1]内，A正确；
根据题意得，
故44+5a＝20×3+10，解得a＝5.2，
故当x＝2时，，残差为10a﹣50＝2，B错误；
点（3，15a）即点（3，78），当x＝3时，，
即点（3，15a）不在经验回归直线上，C错误；
当x＝6时，，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
9．（2024春 南通期末）某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据：
x/℃ ﹣2 ﹣1 0 1 2
y/百元 5 4 2 2 1
由表中数据可得回归方程中a＝﹣1．试预测当天平均气温为﹣3.2℃时，小吃店的日盈利约为 　6　百元．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】方程思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．
【答案】6．
【分析】由已知求出样本中心点，代入得到b值，再令x＝﹣3.2即可求解．
【解答】解：由已知数据，，
因为a＝﹣1，则，代入（0，2.8），得b＝2.8，
则，令x＝﹣3.2，则．
故答案为：6．
【点评】本题考查经验回归方程及其应用，是基础题．
10．（2024 荆州模拟）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 　﹣0.3　；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈　0.98　．（参考公式：决定系数）
【考点】决定系数与模型的拟合效果．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】﹣0.3；0.98．
【分析】把，代入经验回归方程，求出的值，即为k的值，再利用决定系数R2的计算公式求出R2的值即可．
【解答】解：∵，，经验回归方程为，
∴5＝87.4，
∴0.3，
对f＝cWk（c，k为参数）两边同时取对数得，lnf＝lnc+klnW，
∵令xi＝lnWi，yi＝lnfi，
∴k0.3，
由公式可知，R2≈1110.98．
故答案为：﹣0.3；0.98．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了决定系数R2的计算，属于中档题．
11．（2024 博白县模拟）已知变量x和y之间的关系可以用模型y＝menx来拟合．设z＝lny，若根据样本数据计算可得，且x与z的线性回归方程为z＝0.6x+a，则m≈　0.3　．（参考数据：ln0.3≈﹣1.2，ln0.25≈﹣1.4）
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.3．
【分析】利用非线性回归通过拟合函数计算即可．
【解答】解：由题意知0.9＝0.6×3.5+a，解得a＝﹣1.2，
所以z＝0.6x﹣1.2，
由z＝lny，得lny＝0.6x﹣1.2，
所以y＝e0.6x﹣1.2＝e﹣1.2 e0.6x，
则m＝e﹣1.2≈0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题主要考查线性回归方程，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 常州期中）某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 4 7 12 13 14
（1）求y关于x的经验回归方程；
（2）请估计x＝3.5时，对应的y值．
附：在经验回归方程中，，其中为样本平均值．
【考点】一元线性回归模型．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）y＝2.6x﹣0.4；
（2）8.7．
【分析】（1）根据回归方程的求法求得正确答案；
（2）利用回归方程求得预测值．
【解答】解：（1）由题意可知，4，10，
所以b2.6，
所以ab10﹣2.6×4＝﹣0.4，
所以回归方程为y＝2.6x﹣0.4；
（2）由（1）可知y＝2.6x﹣0.4，
当x＝3.5时，y＝2.6×3.5﹣0.4＝8.7．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
13．（2024春 龙岩期末）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码（t） 1 2 3 4 5
交易额y（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15
（1）据上表数据，计算y与t的相关系数r，并说明y与t的线性相关性的强弱；（已知：0.75＜|r|＜1，则认为y与t线性相关性很强；0.3＜|r|≤0.75，则认为y与t线性相关性一般；|r|≤0.3，则认为y与t线性相关性较弱．）
（2）利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2024年该平台的交易额．
参考数据：，，
参考公式：相关系数
线性回归方程t中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，．
【考点】一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.92，线性相关性程度很强；
（2）y＝3.3t﹣3.9，15.9百亿．
【分析】（1）根据相关系数的计算公式可得，判断即可；
（2）根据公式求线性回归方程，再将t＝6代入方程，进行预测．
【解答】解：（1）依题意，，，，，
故，
所以线性相关性程度很强；
（2），，
则，
所以y关于t的线性回归方程为y＝3.3t﹣3.9，
当t＝6时，y＝3.3×6﹣3.9＝15.9，
所以预计2024年该平台的交易额为15.9百亿．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
14．（2024春 酒泉期末）某民营学校为增强实力与影响力，大力招搅名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如表：
年份序号x 1 2 3 4 5
招生人数y/百人 7 12 13 19 24
（1）求该学校招生人数y与年份序号x的相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强线性相关程度（0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度较强；|r|＜0.75，则认为y与x的线性相关程度较弱）；
（2）求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
参考数据：．
【考点】一元线性回归模型；样本相关系数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.98，两个变量具有很强的线性相关程度；
（2）4.1x+2.7，预测当年份序号为7时该校的招生人数为31.4百人．
【分析】（1），，，即可求r，再与0.75比较即可；
（2）先求线性回归方程，再将x＝7代入方程即可预测．
【解答】解：（1）3，15，
（1﹣3）（7﹣15）+（2﹣3）（12﹣15）+（3﹣3）（13﹣15）+（4﹣3）（19﹣15）+（5﹣3）（24﹣15）＝41，
（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2＝10，
（7﹣15）2+（12﹣15）2+（13﹣15）2+（19﹣15）2+（24﹣15）2＝174，
∴r0.98＞0.75，
因此两个变量具有很强的线性相关程度；
（2）4.1，15﹣4.1×3＝2.7，∴4.1x+2.7，
当x＝7时，4.1×7+2.7＝31.4．
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为31.4百人．
【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题．
15．（2024春 渝中区校级期末）随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车、小鹏汽车、理想汽车、小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起．新能源汽车因其较高的驱动效率、较低的用车成本、安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎．未来在努力解决充电效率较低、续航里程限制、低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展．某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码（x） 1 2 3 4 5 6
新能源汽车年 销量（y）/万辆 y1 y2 y3 y4 y5 y6
（1）若该地区新能源汽车车主的年龄X（单位：岁）近似服从正态分布N（45，64），其中年龄X∈（61，69]的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数）
（2）已知变量x与y之间的相关系数，请求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量．
参考公式与数据：
①若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ≤x≤μ+3σ）＝0.9973；
②；
③．
【考点】一元线性回归模型；正态分布．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）234万人；
（2）y关于x的线性回归方程为y＝2x+23，估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆．
【分析】（1）利用正态分布曲线的对称性求解；
（2）根据相关系数r的公式求出35，进而求出b，a，得到y关于x的线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可．
【解答】解：（1）由题意，该地区新能源汽车车主的年龄X（单 位：岁）近似服从正态分布N（45，64），
则μ＝45，σ＝8，
所以61＝μ+2σ，69＝μ+3σ，
所以，
所以估计该地区新能源汽车车主共有万人；
（2）由题意，（1+2+3+4+5+6），
所以（2）2+（3）2+（4）2+（5）2+（6）2，
由已知，r，
所以35，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为y＝2x+23，
2025年对应的年份代码x＝8，所以当x＝8时，y＝2×8+23＝39，
估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑