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湖南省怀化市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知一组数据的最大值为100，最小值为20，若取组距为15，作等距分组，则分成的组数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
7．下列命题中，①对角线相等的四边形是矩形；②对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；③四角相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中正确的有（　　）
A．①② B．②④ C．①④ D．①②④
8．如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为 （　　）

A． B． C． D．
9．直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　）
A． B． C． D．
10．李华早上7点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早5分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为2000米；②爸爸回家的速度为；③小明在公园锻炼的时间是25分钟；④小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇．以上说法正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知点在一次函数的图象上，则 ．
12．某班级开展剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于轴对称，则的值为 ．
13．李明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，正面朝上的频率是 ．
14．在菱形中，长为，对角线长为，该菱形的面积是 ．
15．如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的方程的解是 ．
16．如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则 ．
17．如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ．
18．如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是 ．
三、解答题
19．已知：如图，在中，于点，点在边上，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求证：．
20．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
(1)建立适当的平面直角坐标系后，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____；
(2)将向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的；
(3)在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为______．
21．某家庭记录了使用节水龙头的日用水量样本数据（单位：），得到频数分布表如下：
日用水量 频数 百分比
1 4%
2 8%
20%
32%
6
3 12%
(1)求的值；
(2)在图上补全频数分布直方图；
(3)估计该家庭使用节水龙头100天后，其中日用水量小于的天数是多少天？
22．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作交直线于点，垂足为，连接．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若D为中点，则当　　时，四边形是正方形？
23．某商场计划购进甲、乙两种衣服进行销售．已知甲种衣服的进货单价比乙种衣服的进货单价贵50元，购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等．进货后，商场确定甲衣服的售价为每件250元，乙衣服的售价为180元/件．
(1)求甲、乙两种衣服的进货单价各是多少元？
(2)若商场准备购进甲、乙两种衣服共100件，但进货总金额不能超过18000元．若设甲种衣服购进件，销售完100件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点和点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为2．

(1)求一次函数的解析式；
(2)若点在轴上，满足，求点的坐标；
(3)若直线与的三边有两个公共点，求的取值范围．
25．若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”．
(1)下列三组数是“快乐三数组”有______（填序号）；
①3，4，5；②，，；③，1，；
(2)若关于的方程的解与关于的方程的解与1构成“快乐三数组”，求的值；
(3)如图，在四边形中，，，连接对角线，若的长为c，的两条邻边长分别为a，b，若，b，构成“快乐三数组”，且，求的长．
26．在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动：
(1)【探究发现】
如图1，在正方形中，点是边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转，使得点与点重合得到，连接．则是______三角形．
(2)【联想拓展】
如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．求证：．
(3)【迁移应用】
如图3，已知菱形，，，点是菱形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．当时，求．
参考答案
1．D
解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．B
解：∵，
∴点在第二象限，
故选B．
3．B
解：直角三角形中，一个锐角是，
另一个锐角的度数为：，
故选：B．
4．D
解：中，，，
函数图象经过第一、二、三象限，
函数图象不经过第四象限，
故选：D．
5．A
解：∵极差为，且组距为15，
∴组数为，
∴分成的组数为6，
故选：A．
6．C
解：过点H作于点Q，则当时，最小，
由题意得，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7．B
解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原说法错误；
②对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，原说法正确；
③四角相等的四边形是矩形，原说法错误；
④四边相等的四边形是菱形，原说法正确；
故选：B．
8．C
解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．A
解：、都为正整数，
，
是直角三角形的斜边，
整理得：，
移项、合并同类项得：，
两边同时除以得：，
，，
三角形三边长分别为、、，
三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数，
A选项：当时，，
此时，
三边长分别为、、，
故A选项符合条件；
B选项： 不是、、的倍数，
故B选项不符合题意；
C选项： 不是、、的倍数，
故C选项不符合题意；
D选项： 不是、、的倍数，
故C选项不符合题意．
故选：A．
10．C
根据图象可得：公园与家的距离为2000米，故①正确；
爸爸的速度为：，故②正确；
∵，
∴小明在公园锻炼的时间是15分钟，故③错误；
小明的速度为：，
设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，
根据题意得，，
解得，，
∴小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇，故④正确；
综上所述，以上说法正确的有3个．
故选：C．
11．0
解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：0．
12．1
解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
13．
解：李明抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，6次正面朝上，反面朝上4次，
则正面朝上的频率是．
故答案为：．
14．
解：如图，，，
∵菱形，
∴， ，，
∴，
在中，由勾股定理，得
∴，
∴菱形的面积=，
故答案为：．
15．/
解：∵一次函数和的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴所求方程为，
解得，
故答案为：．
16．12
解：如图：
是等边三角形，
，
正三角形和正n边形密铺，
拼接点的角刚好能拼成一个周角，，
，
，
正n边形的外角为：，
这个多边形的边数是，
故答案为：．
17．
解：∵正方形的边长为4，，
∴，，，
由折叠的性质得，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
即．
故答案为：
18．
解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点，
∴，
∵再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……
∴，，，，，……
观察发现，每四个点一个循环，其中，
∵，
∴，
故答案为：．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）证明：在中，且，
∵，
∴
即
又∵即，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴
∴四边形是矩形；
（2）证明：由（1）知四边形是矩形，
∴
∴
在中，
在和中，
∴．
20．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，点A坐标为
；
（2）解：如图，即为所求作：
（3）解：由平移性质得：平移后的对应点的坐标为．
21．(1)，，
(2)见解析，
(3)64天
（1）解： 记录总数为：
∴a的值为5，b的值为8，c的值为24%．
（2）如图所示
（3）（天）
答：日用水量小于的天数是64天．
22．(1)见解析
(2)菱形，见解析
(3)
（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）解：当时，
，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：．
23．(1)200元/件，150元/件
(2)；4200
（1）解：设乙种衣服的进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件．
根据题意得：
解得：
经检验：是原方程的解，
∴
答：甲种衣服的进价为200元/件，乙种衣服的进价为150元/件．
（2）解：
∴随的增大而增大，
∵
∴
∴当时，有最大值为4200．
24．(1)
(2)或
(3)
（1）解：∵点在正比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，
∴，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知一次函数的解析式为，
∵一次函数与和轴分别相交于点和点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，
∴设，
∴，
∴，
∴点的坐标为或；
（3）解：在中，当时，，
∴直线恒过定点，
∵，
∴当直线经过点时，，解得；
∴直线经过点时，，解得；
∵直线与的三边有两个公共点．
∴的取值范围是．
25．(1)②③
(2)或1
(3)
（1）解：∵，，，
∴②③是“快乐三数组”，
故答案为：②③；
（2）解关于的方程，得：，
解关于的方程得：
①当时，，解得；
②当时，，解得（此时x为负数，不合题意，舍去）；
③当时，，解得；
所以或1；
（3）解：由题意得：，，
∴，，
∵，b，构成“快乐三数组”，
∴，
整理得：，
∴，
即：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：或（舍）
∴．
26．(1)等腰直角
(2)证明见解析
(3)
（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，即，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴为等腰直角三角形；
（2）证明：∵四边形为正方形，
∴，
由旋转的性质可得：，，，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
∴；
（3）解：由旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（负值舍去）．

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