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2024—2025 学年 度下学期期末考试 高一试题
数 学
A.60√3m B.120√2m C.120√3m D.120√5m
8.祖眶原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。 这句话的意思
考试时间：120分钟 满分 ：150分 是 ：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。 利用祖
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分 ，共40分。 每小题只有一个选项符合要求) 眶原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差。 如图，是一“四脚帐篷”形
状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以3√2为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均
1.一个平 面图形用斜二测画法画 出的直观图 如 图所示 ， AOATB'是等腰直角三角形且
O'A'=AYB' ,其中斜边O“B'=√3,则这个平面图形的面积是( ) 垂直于平面ABCD,用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利
用祖咂原理试求该几何体的体积是( )(提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱)
A.3√2 A.36√2
B B.72√2
C C.36π
D.72π
口 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分 ，共 18分 .在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
2.若复数z=a -a-6+ (a-3)i(aeR)为纯虚数，则a的值为( ) 要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分)
A.a=3 B.a=-2 C.a=-2或 a=3 D.a≠3且 a≠-2 0.已知复数 ,则下列结论正确的有( )
3.设L,mn表示不同的直线，a,β,γ表示不同的平面，则下列结论正确的是( )
B
A.若m /a,mn , A.复数z +1的虚部为则 nla
B.若α⊥β,γ⊥β ,则 α⊥γ C. =|zP D.复数w满足|w-z|=2,则 |u|的最小值为1
C.若m⊥n ,m⊥α ,n/β ,则 α⊥β 10.已知 f(a)=√3sin2x-cos2x,则下列选项正确的是( )
D.若a∩B=l,a∩y=m,B∩y=n,且满足t/m,则mln A.函数f(x)的最小正周期为π
4已知 号.则…4o=( ) B.函数f(x)的对称轴方程为
入 B 5 口 c.函数/(x)在区间 上单调递减
5.已知向量a=(-3,a),b=(-4,2),若 a-6与6垂直，则 là=( ) D.将函数f(a)的图象向左平移 单位，所得函数为偶函数
A.3 B.3√2 c.5 D.5√2 11.如图 ，在棱长为 2的正方体ABCD-A,BC,D,中 ，点 E,F分别是棱B,B,BG的中点 点 G是
6.一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为1 : 2 ,则 上下两个几何 棱CC的中点，过线段AG作与平面A,EF平行的平面，截正方体所得的截
体的体积之比为( ) 面 ，下列选项正确的是 ( )
A.1 : 9 B.1 :√3 C.1 : 3√3 D.1 :(3√3-1) A.截面图形是梯形
7.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国 B.截面图形是五边形
拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛 c.截面的面积为
上取两点C,D,测得CD=120m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A、B两点的 D.该截面所在平面截正方体ABCD-A,BC;D,的外接球所得截面的面积为
距离为( )
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2024—2025 学年度下学期期末考试高一数学试题
答案及评分标准
一、单选： 1--5．BBDAC 6--8.DDB
二、多选： 9.BD 10．ABD 11．ACD
1 3
三、填空： 12． ； 13．32 ； 14. ．
2 4
四．解答题
15.（13 分）
（1）设 PD 的中点为 F，连接 EF 和 AF，由 E 是 PC 的中点，
1
得EF / /DC，且 EF DC，-----------------------------------------------------2 分
2
因为 AB AD,AB / /CD，所以 ABCD为直角梯形，又CD 2AB，
则 AB / /EF , AB EF ，所以，四边形 ABEF 是平行四边形，----------------------------4 分
于是 EB / /FA，而 AF 平面 PAD，BE 平面 PAD，
所以 BE / /平面 PAD . --------------------------------6 分
（2）由 PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，得CD PA
而CD AD ,AD PA A ， AD,PA 平面 PAD，则CD 平面 PAD -------------------8 分
又 AF 平面 PAD，因此CD AF ------------------------------------------------9 分
又因为 PA AD，点 F 为 PD 中点，所以 AF PD -------------------------------10 分
因为 PD CD D，PD,CD 面PCD ,所以 AF 平面PCD ---------------------12 分
由（1）知 EB / /FA，所以 BE 平面PCD ,
因为 BE 平面PBC ，所以平面 PBC 平面 PCD。------------------------------13 分
数学答案 第 1 页 共 7页
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16.（15 分）
（1）由题知 A=1,---------------------------------------------------------------2 分
T 5 π π π T 2π 2π ，所以 ，则 3 --------------------------------4 分
2 1 2 1 2 3 3 T
故 f (x) sin(3x )
f ( π ) π由 sin( ) 1
π π
，则 2kπ,k Z，即
π
2kπ,k Z
12 4 4 2 4
π π π
又 | | ，当 k 0时，则 ，故 f (x) sin(3x ) ；------------------------------7 分
2 4 4
y f (x) π π
（2）令 y=0，即 f (x) k 0，所以 f (x) k等价于 在 , 有两个交点
y k
4 6
x π π ,
t 3x π [ π ，则 ,
3 ]，--------------------------------------------9 分
4 6 4 2 4
由 y sin t t [
π
在 ,
π)上单调递增，对应值域为[ 1,1)
2 2
t π

在 ,
3π 2
2 4 上单调递减，对应值域为
,1
2 ---------------------------------------12 分
y f (x) k π π函数
2 2
在区间 , 上有且仅有两个零点，只需4 6 k 1,所以 1 k 2 2
y f (x) k π π 时，函数 在区间 , 上恰好有二个零点------------------------------15 分 4 6
17.（15 分）

（1）因为a sin x cos x, 2 ，b 1,sin x cos x ，

所以 f (x) a b sin x cos x 2sin xcos x-------------------------------------------1 分
x π又 ,
π t sin x cos x π ，令 2 sin

x

4 2 4
0,1 ,

2sin xcos x 1 t 2 --------------------------------------------------------------4 分
则h t t2 t 1, t (0,1) 1 1 所以函数 h(t)在 (0, )是增函数，在
2
，1 是减函数
2
所以函数 h(t) 的值域为 1
5
， -----------------------------------------------------6 分 4
（另解：
数学答案 第 2 页 共 7页
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f (x) a b sin x cos x 2sin xcos x= 2 sin(x ) sin 2x 2 sin(x ) cos(2x )
4 4 2
2 sin(x ) 1 2sin 2(x )
4 4
令 t sin x cos x 2 sin
x π 0,1 ,所以 h t t2 t 1, t (0,1)解法同上）
4
（2）因为 f (x) sin x cos x 2sin xcos x，所以
g(x) f (x) sin x cos x 2sin x cos x sin 2x x π， ,
π
-----------------------8 分
4 2
3 3 π π
又因为 g(A) ，所以 g A sin 2A ．且 2A , ，所以 A ．-----------9 分
2 2 2 3
S a
2 sin Asin B a2 sin Asin B
因为 ABC 2sin A B 2sinC
sin B b a2bsin A 3 a2
由正弦定理， ，得 S ABC ．-------------------------------11 分sinC c △ 2c 4 c
1 2
又 S△ABC bc sin A
3
c a π π，所以 c，即 a c．所以 A C ， B ，
2 4 3 3 b 3
．
c
所以 a c 3．三角形为边长 3的等边三角形-------------------------------------13 分
1 r 3 3 r 1
由 S ABC ac sin B a b c ，得 3 3 ，解得 r ．2 2 4 2 2
1
所以VABC内切圆半径 r的值为 .------------------------------------------------15 分
2
18.（17 分）
（1）取 A1B1的中点 N，连接BN ,D1N ,四边形 BMD1N 即为过BMD1三点作长方体
ABCD A1B1C1D1的截面。--------------------------------------------------------2 分
N
（2）存在实数m 2 2 ，使得直线 AC1与平面 BMD1垂直．理由如下：--------------3 分
数学答案 第 3 页 共 7页
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连接 AC,如图
当m 2 2 时，CM 2，
AB BC
因为 BC＝2，所以 2，所以Rt ABC Rt BCM ，则 CAB MBC，BC CM
所以 MBC ACB CAB ACB 90 ，即 AC BM ，---------------------------6 分
在长方体 ABCD A1B1C1D1中，CC1 平面 ABCD，
又BM 平面 ABCD，所以CC1 BM .---------------------------------------------7 分
因为 AC CC1 C ，所以 BM 平面 ACC1，
又 AC1 平面 ACC1，所以 BM AC1.----------------------------------------------8 分
同理可证D1M AC1，又D1M BM M ，
所以直线 AC1 平面 BMD1；------------------------------------------------------9 分
（3）设 AC1与平面 B1CD1的斜足为o，
1 1 2m
因为VC B CD =VB C CD 2 m 2 ，------------------------ ---------------11 分1 1 1 1 1 1 3 2 3
VA B CD VABCD A B C D VB ABC VB C CD VA A B D V V
4m

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D1 ACD ABCD A B C D
4V ，
1 1 1 1 B1 C1CD1 3
所以VA B CD 2VC B CD ,则 AO 2C1O .---------------------------------------------14 分1 1 1 1 1
若VB1 CD1C V1 B1 CD P，则VC1 B1CD V1 P B1CD ，故C1O PO1 .------------------------------16 分1
所以在线段 AC1上取一点 P，要使三棱锥 B1 CD1C1与三棱锥 B1 CD1P的体积相等，则 P 为 AO
C1P 2
的中点，即 C A 3 ------------------------------------------------------------17 分1
数学答案 第 4 页 共 7页
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（确定斜足o的位置为体对角线 AC1靠近点C1的三等分点，即能确定点 P为对角线 AC1靠近点
C
A 1
P 2
的三等分点，即能推出 C A 3，若只说结论，没有推出过程，只给 2 分，若有推导过程，1
只要正确，给满分）
19.（17 分）
（1）因为三角形 ABC 为等边三角形，点 D 在 BC 延长线上，满足 BC=CD，所以
BAD 90 , CAD 30 ,又因为 AB AC
AB sin BAD AB sin 90
所以 B,C;D 2AC sin ， DAC AC sin 30
B C D
----------------------------------2 分
c AB sin BAD c
（2）因为 B,C;D 0，所以 AC sin DAC b ，则 BAD DAC，-------------4 分b
因为 A 120 ，所以 BAD DAC 60 ，
S S 1 1 1又 ABC ABD S ADC，所以 bc sin120 b AD sin 60 c AD sin 60 ，-------------6 分2 2 2
2 2
又 AD 2，所以bc 2 b c ，所以 1，--------------------------------------7 分
b c
所以b 2c b 2c 2 2 4c 2b 6 2 8 6 6 4 2，
b c b c
4c 2b
当且仅当 ，即b 2 2 2， c 2 2 时等号成立，b c
所以b 4c的最小值为6 4 2 .----------------------------------------------------9 分
（3）解法一：如图：因为 B,C;D 2，所以
AB sin BAD
2
AC sin DAC
数学答案 第 5 页 共 7页
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BD AB
在三角形 ABD中，由正弦定理知 所以
sin BAD sin ADB
AB sin BAD BD sin ADB
同理在三角形 ACD中， AC sin DAC CD sin ADC
AB sin BAD BD
又因为 sin ADB sin ADC ,所以 2AC sin DAC DC
BD 2DC 4 3因为 ,----------------------------------------------------12 分
3
AB AC BC 2 3
4
因为在三角形 ABC 中，由正弦定理知： sinC sin B sin A 3
2
所以 AB 4sinC ----------------------------------------------------13 分
在△ABD中，运用余弦定理，可得 AD2 AB2 BD2 2AB BD cosB
2
2 4 3
4sinC 4 3 2π 2 4sinC cos3 3 C ， 3
2 8 16
化简，可得 AD 3sin2C ， ---------------------------------------15 分
3 3
A π , C 0,
2π
, 2C
4π
3 3
0, ，
3

当 2C
π
时，即C 时， AD取得最大值，
2 4
2
AD 8 3 16 2 2 3 4
3 1
2 2 2 3 .-----------------------17 分max 3 3 3 3
AB sin BAD
解法二：因为 B,C;D 2，所以 2AC sin DAC
BD AB
在三角形 ABD中，由正弦定理知 所以
sin BAD sin ADB
AB sin BAD BD sin ADB
同理在三角形 ACD中， AC sin DAC CD sin ADC
数学答案 第 6 页 共 7页
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AB sin BAD BD
又因为 sin ADB sin ADC ,所以 2AC sin DAC DC
因为 BD 2DC 4 3 。----------------------------------------------------12 分
3
设VABC外接圆的圆心为O，半径为 R，
AB AC BC 2R 2 3 4
则由正弦定理得 sinC sin B sin A 3 ，所以 R 2 ---------------13 分
2
如图所示，取 BC的中点M ，
2
在Rt BOM BC中， BM 3, OM OB2 BM 2 22 3 1；---------------14 分2
2
在 Rt DOM 中，DM BD BM 3 , OD OM2 DM2
3 2 3
12 ；
3 3 3
-----------15 分
AD AO OD R OD 2 2 3 ，当且仅当圆心O在 AD上时取等号，
3
2 3
所以 AD的最大值是 2 。 --------------------------------------------17 分
3
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