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3.4 相似三角形的判定与性质
一、单选题
1．（2024九上·吉安月考）如图，在中，，分别在和上，且．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·双峰期末）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·德化期末）如图，是的中位线，若的面积为，则为四边形的面积(　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
4．（2022九上·衡山期末）如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九上·覃塘期中）下列说法错误的是（　　）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的正方形都相似
C．两个矩形一定不相似 D．两个菱形不一定相似
6．（2021九上·犍为期末）如图，在△ABC中，中线BE、CF相交于点G，连接EF，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2017九上·文安期末）如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　）
A． B． C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B
8．（2023·遵义模拟）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为，其中，B、C、D、E四点都在网格的格点上，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，点DE分别是ABAC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．（2024九上·西湖月考）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024九上·贵州期中）如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是（写出一个即可）．
12．（2024九上·甘州月考）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为　 　．
13．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于　 　.
14．（2020八下·香坊期末）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，过F作FG∥CD交AE于点G，连接DG．若AG＝3 ，FG＝5，则AE的长为　 　．
15．（2024八下·苏州工业园月考）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是　 　．
16．（2024·浙江模拟）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则　 　．
三、计算题
17．（2025九下·清城开学考）如图，在中，于点D，，求和．
18．（2024·青岛模拟）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形，顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上．
【探究】
（1）正方形的边长为______；
（2）正方形的边长______；
（3）写出正方形的边长______（用含的代数式表示）．
19．（2024九下·济宁模拟）已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E．
（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长．
四、解答题
20．（2024·广州模拟）江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得，观测者目高，则树高约是多少
21．（2020九上·全州期中）已知：如图，△ABC∽△ADE，∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
23．（2022九上·宁波期中）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，CD＝5，DE∥AB．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，＝　 　；②当α＝180°时，＝　 　．
（2）试判断：当0≤α≤360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．
（3）当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
12．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
13．【答案】相似比
【知识点】相似三角形的性质
14．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质；作图﹣相似变换
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】，
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【知识点】相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）
（2）函数关系式为，定义域为
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的概念
20．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
21．【答案】解答：∵△ABC∽△ADE，∠C=40°，∴∠AED=∠C=40°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°即40°+∠ADE+45°=180°，∴∠ADE=95°．
【知识点】相似三角形的性质
22．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，
若△DEG与△ACB相似，则 或 ，
∴=或 =，
∴t=或t= ；
当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，
若△DEG与△ACB相似，则 或 ，
∴=或 =，
解得t=或t=；
综上所述，当t=或 或 或 时，△DEG与△ACB相似．
【知识点】相似三角形的判定
23．【答案】（1）；
（2）解：当0°≤α＜90°时，的大小没有变化，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝．
（3）解：BD＝
【知识点】相似三角形的判定与性质；图形的旋转
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