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4.4 解直角三角形的应用
一、单选题
1．（2022九上·石家庄期末）如图，琪琪开车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏西的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（　　）
A．地在地的北偏东50°方可上 B．
C．地在地的南偏西60°方向上 D．
2．（2024九下·长春模拟）如图，用三角支架固定空调外机，已知，，米，则点O到墙面距离为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿修了一条小路，已知米，新修小路与的夹角，则小路的长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2023·绵阳模拟）图中的梯形ABCD是水坝的一个截面图，阴影部分是外坡面土方的部分．其中，，，，，，则坝底外坡面土方的水平宽度长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，热气球探测器在A点处，点B为楼顶，点C为楼底，AD为水平线，EF为经过点A的铅垂线，则下列说法正确的有（　　）
①∠1为仰角； ②∠2为仰角； ③∠3为俯角； ④∠4为俯角.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024九下·西塘月考）如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段．已知斜坡的坡比接近，坡长为米，则坡的铅垂高度约为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·重庆模拟）一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）.已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上.则请问旗杆自身高度AB为（　　）米.
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8
8．（2022九下·长春月考）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修条隧道(点A、B在同一水平面上)，为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升1000米到达C处，在C处观察点B，俯角为α．则A、B两地之间的距离为（　　）
A．1000sinα B．1000tanα C． D．
9．（2021九上·新邵期末）如图，小红同学测量一棵与地面垂直的树的高度时，在距离树的底端米的处，测得树顶的仰角，借助计算器计算树的高度，下列按键顺序正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1B，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为( )
A．(16，0) B．(12，0) C．(8，0) D．(32，0)
二、填空题
11．（2023·柳南模拟）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向距离哨所米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60° 方向的B处，则此时OB为　 　米．
12．（2024九下·上海市模拟）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为a．当时，则点A到桌面的最大高度是　 　
13．（2022九上·岳阳楼月考）某河堤横断面如图所示，提高米，迎水坡AB的坡比是，则AB的长为　 　．
14．（2020九上·朝阳期末）如图，某海防响所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这般船与哨所的距离OB约为　 　米。（精确到1米，参考数据： =1.414， ≈1.732）
15．（2022·衡阳模拟）如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，∠ADC＝45°，若坡面CD的长度为6米，则斜坡AB的长度为 　 　米.
16．（2022九下·龙游模拟）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2—9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=BC=13cm，DE=2cm，DN=1cm．
（1）若关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，则BN=　 　；
（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC=75°，则点H到伞柄AB距离是　 　．
（参考数据：，，，结果精确到）
三、计算题
17．（2025九下·雁江月考）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参考数据：，，，，，）
18．（2023九下·沙坪坝模拟）为实现“绿水青山就是金山银山”的理念，重庆市建了多个湿地公园．如图，某区湿地公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点A的正东方向．点在点的正北方向，米．点在点的北偏东，在点的北偏东方向，米．
（1）求步道的长度（精确到个位）；
（2）小王每天步行上学都要从点到点，他可以从点A经过点到点，也可以从点A经过点到点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
19．（2023九下·龙游模拟）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点B，C在点A的正东方向 点B，D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．
测量数据 BC＝60m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35°． BD＝20m， ∠ABH＝70°， ∠BCD＝35°． BC＝101m， ∠ABH＝70°， ∠ACH＝35°．
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
四、解答题
20．（2024九下·金寨期末）某校无人机社团在活动中准备测量该校教学楼的高度，小明操控无人机从距离地面的点出发，沿水平方向向教学楼飞行，无人机在点时测得教学楼顶部点的俯角为，飞行到达点时测得教学楼底部点的俯角为，图中四点均在一个平面内，求出教学楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）
21．（2018九上·江阴期中）如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°(即图2中∠ACB＝20°)时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB＝1.5m，木板超出车厢部分AD＝0.5m，请求出木板CD的长度？
(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m)
22．（2023·天门模拟）某学校为进一步加强疫情防控测温工作，决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如左图），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆CP上下调节（如右图），已知探测最大角为62.3°，探测最小角为26.6°，若要求测温区域的宽度AB为2.80m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC.（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
23．（2022·太原模拟）2022年底，太忻一体化经济区将新建1994座5G基站．如图是建在坡度的斜坡上的一个5G基站塔，在坡角顶点A处测得塔顶D的仰角为，沿斜坡步行到达B处，在B处测得塔顶D的仰角为，点A，B，C，D，M，N在同一平面内．求基站塔高．
（结果精确到，参考数据：）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
4．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
9．【答案】C
【知识点】计算器—三角函数；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形的其他实际应用；探索图形规律
11．【答案】800
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
14．【答案】566
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
16．【答案】23；69.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
17．【答案】米
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
18．【答案】（1）848米
（2）从点A经过点到点的路线较近
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
19．【答案】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
20．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
21．【答案】解：由题意可知：AB⊥BC． ∴在Rt△ABC中，sin∠ACB= ， ∴AC= = = ≈4.39， ∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9（m）． 故答案为：4.9m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
22．【答案】解：设，
在中，，
∴
在中，，，
根据题意可知：，
∴，解得：（米），
∴（米）.
答：该设备的安装高度OC约为1.9米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
23．【答案】解：如图，延长交于点E，过点B作于点F，延长交于点G，则．
在中，由斜坡的坡度知
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理，得，
即．解得．
∴．
在中，，，
由，，得．
∵于点G，
∴．
在中，，
由，，得．
在中，，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵斜坡的坡度为，
∴．
∴．
∴（米）．
答：基站塔高约为44.3米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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