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第4章 锐角三角函数
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）（2023九上·海口月考）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为：，坝高，则坡面AB的长度（　　）
A．12m B．18m C． D．
2．（3分）（2024九上·玉门期末）在中，，若，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2024九下·榕江月考）在△ABC中，tan A=，cos B=，则∠C的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（3分）（2025九上·昭平期末）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）sin45°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
6．（3分）（2016·龙岗模拟）如图，△ABC中，AC=5，cosB= ，sinC= ，则△ABC的面积为（　　）
A． B．12 C．14 D．21
7．（3分）（2017九上·邯郸期末）如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（　　）
A． 米 B． 米
C．3 米 D． 米
8．（3分）（2021九上·临清期中）2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂 长2米，且与灯柱 成 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 与灯臂 垂直，当灯罩的轴线 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 高度应该设计为（　　）
A．6米 B． 米 C． 米 D． 米
9．（3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm(如箭头所示)，则木桩上升(　　)
A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm
10．（3分）（2023九上·义乌期末）如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(共6题；共30分)
11．（5分）（2024九下·长寿期中）计算：（3–π）0–（–）–2–tan30°=　 　．
12．（5分）（2023九下·长沙月考）如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），水平宽度，则坡面的长度是　 　m.
13．（5分）（2021九上·临清期中）在中，，，，那么AB的长为　 　．
14．（5分）（2022·朝阳模拟）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 的长为　 　 .（结果保留根号）
15．（5分）（2020九上·河口期末）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　 　m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．
16．（5分）（2022·鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 　 　.
三、计算题(共3题；共25分)
17．（5分）（2022九下·温州模拟）（1）计算；
（2）解不等式组：．
18．（5分）（2024·揭东模拟）计算：
19．（15分）（2025九下·连云港月考）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，，）
（1）（5分）求容器的高度．
（2）（5分）求水的折射率．
（3）（5分）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到）
四、解答题(共4题；共35分)
20．（12分）（2025·乐清二模）如图，在Rt中，，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接AE．
（1）（6分）求AC的长．
（2）（6分）求的值．
21．（7分）（2024九下·惠州月考）高榜山，被称为惠州的白云山，是惠城区市区的绿肺，是惠城区唯一国家级城市森林公园．高榜山位于红花湖和西湖风景区内，为红花湖景区北面最高山，背山面湖，远眺螺山和小鳄湖，两山三湖的自然恩赐成就了高榜山独一无二的景观价值，也造就了城市原筑令人艳羡的居住价值．高榜山寓意是预祝惠州考生能金榜高中之意．高榜山的主体建筑是挂榜阁，是高榜山山顶的明清官式建筑．如图，小钟同学想测量挂榜阁的高度，他站在点的位置，测得点的仰角是，他沿着方向前进米到达点，测得点的仰角是．请你根据小钟同学测量的数据，计算挂榜阁的高度是多少米．（结果取整数，）
22．（8分）（2019·通州模拟）如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度（结果保留整数， ≈1.72）．
23．（8分）（2024九下·杭州月考）【基础巩固】（1）如图，在矩形中，，，为线段的中点，连结，为线段上一点，且满足，的长；
【尝试应用】（2）如图，在（）的条件下延长交于点，求的长；
【拓展延伸】（3）如图，在 中，，， 是内部一动点，且满足 ， 当线段取最小值时，延长线交线段于，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
2．【答案】C
【知识点】互余两角三角函数的关系
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
5．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
11．【答案】–3–.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
12．【答案】6
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
13．【答案】8
【知识点】解直角三角形
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
15．【答案】0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
17．【答案】（1）；（2）
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值
18．【答案】解：原式
．
【知识点】分母有理化；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
19．【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：如图，作于点，
易得四边形EBPH是矩形，
∴∠AEH=∠CPH=90°，EH=BP，BE=PH=AE=12cm，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠HCP，
∴△AEH≌△HPC（AAS）
∴EH=BP=，
∴ ，
∴，，
∴；
（3）解：由题可知：，，
∴，
∵E'F'∥EF
∴，即，
∴
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形的其他实际应用；三角形全等的判定-AAS
20．【答案】（1），
．
在Rt中，．
（2）垂直平分AB，
．
设，则，
在Rt中，，
，解得，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
21．【答案】挂榜阁的高度约为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
22．【答案】作AD⊥CB交CB所在直线于点D，
由题知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
所以CD＝AD＝120 m，
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，tan60°＝ ＝ ，
所以BD＝ ＝40 ，
所以BC＝CD﹣BD＝120﹣40 ≈120﹣69.2≈51（m），
答：大桥BC的长度约为51m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
23．【答案】（）；（）；（）．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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