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广东省潮州市湘桥区等2地2025年中考一模数学试题
1．（2025·湘桥模拟）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2025·湘桥模拟）已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·湘桥模拟）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·湘桥模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·湘桥模拟）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·湘桥模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·湘桥模拟）一个不透明的盒子里装有两个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，摸到的球恰好是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．1
8．（2025·湘桥模拟）若，，则的值为（　　）
A．4 B．2 C．8 D．6
9．（2025·湘桥模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·湘桥模拟）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
11．（2025·湘桥模拟）分解因式： 　 　.
12．（2025·湘桥模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　
13．（2025·湘桥模拟）分式方程 =1的解是　 　.
14．（2025·湘桥模拟）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为　 　 ．
15．（2025·湘桥模拟）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为　 　分米（结果用含根号的式子表示）．
16．（2025·湘桥模拟）计算：．
17．（2025·湘桥模拟）如图，在中，．用尺规作图：作关于直线对称的．（不写作法，但要保留作图痕迹．）
18．（2025·湘桥模拟）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
19．（2025·湘桥模拟）某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元．
（1）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（2）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？
20．（2025·湘桥模拟）综合与实践
主题：制作长方体包装盒．
素材：一张边长为30cm的正方表纸板．
步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分．
步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒．
若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积．
21．（2025·湘桥模拟）如图，在平面直角坐标系中．直线分别与x轴、y轴交于点A，B，与双曲线在第一象限交于点，以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在x轴正半轴上，顶点D在第三象限内．
（1）求k的值；
（2）求D的坐标，判断点D是否在双曲线的图象上，并说明理由．
22．（2025·湘桥模拟）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：
（1）如图1，若连接矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则Rt△ADC可由Rt△ABC经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点 、旋转角度是 °；
（2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在EF上的点B'处，这样能得到∠B'GC．求∠B'GC的度数．
（3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI（如图4）．若BH=BI，BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于50，请求出a的最大整数值．
23．（2025·湘桥模拟）如图所示，在中，，，，点M为线段（异于点B、C）上一动点，连接．
（1）求的面积；
（2）如图所示，当时，过点B作于点E，连接并延长交于点F，求的值；
（3）如图所示，当点M运动到何处时，取得最大值？并求此时的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若收入为“”，则支出为“”，
所以支出180元记作元．
故答案为：C.
【分析】由正负数表示相反意义的量，根据题意，正数表示收入，那么负数表示支出，即可作答.
2．【答案】D
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：是关于x的方程的解，
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据一元一次方程的解把x=2代入方程可得关于a的一元一次方程，解一元一次方程即可求解．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x2不能合并，故A不符合题意；
B、x3·x2=x5，故B不符合题意；
C、（x3）2=x6，故C不符合题意；
D、x6÷x2=x4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
5．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形．
故答案为：B．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示如下：
．
故选：A．
【分析】
先分别求出每一个不等式的解集，再把各解集表示在同一数轴上即可．
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得：摸到的球恰好是红球的概率是：
；
故答案为：B．
【分析】根据概率公式即可求解．
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式将所求代数式变形为：，然后整体代换计算即可求解.
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【分析】根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点的坐标．
10．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①当时，，
，
，，
四边形是矩形，
，
，四边形的周长是，故①正确；
②，，，
直线与直线之间的距离是，
当时，点到直线的距离等于，故②错误；
③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为，
又，
的面积为定值，故③错误；
④点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
，
即线段的长度不变，故④正确；
故选：A．
【分析】
①当时，AP=BC=2，则四边形是矩形，则其周长等于；
②由于“平行线间的距离处处相等”，即点P支直线的距离总等于；
③由于底边BC是定值，点P到L2的距离也是定值，即的面积也是定值；
④由三角形的中位线定理知DE总等于BC的一半等于1．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 ，
故答案为： .
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可；
12．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
13．【答案】x=1
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1.
检验：当x=1时，x+1=2≠0.
所以原方程的解为x=1.
故答案为：x=1.
【分析】经过去分母、移项，即可求出x，然后再检验即可.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
，
∴，
由圆周角定理得，，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：延长交l于点H，连接，如图所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案为：．
【分析】
延长交直线于点H可构造，由已知可得，则解可得，，再连接OC，由割补法求面积即可求得CF．
16．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得50=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得-1=2，由算术平方根的意义可得=2，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解.
17．【答案】解：如图，即为所求．
理由：由作法得：平分，，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
即和关于直线对称．
【知识点】等腰三角形的性质；作图﹣轴对称；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】作的平分线交与点E，然后在的延长线上取点D，使，即可求解．
18．【答案】（1）7.5，7，
（2）解：小祺的观点比较片面．理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
【知识点】统计表；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”可求得a的值，由众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求得b的值，由优秀率的定义可求得c的值；
（2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可判断求解．
（1）解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
（2）解：小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
19．【答案】（1）解：由题意得，
∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数，
∴自变量的取值范围为，且为正整数．
当时，，
解得（不合题意，舎去）．
则（元），
答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元．
（2）解：由题意得，∵，且m为正整数，
当时，，
当时，，
答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）先根据题意表示出月销售量，再根据总利润=单件利润×月销售量列方程并求解即可，注意是实际问题，应对根进行适当取舍；
（2）将（1）中的关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合自变量取值范围，即可解答．
（1）解：由题意得，
∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数，
∴自变量的取值范围为，且为正整数．
当时，，
解得（不合题意，舎去）．
则（元），
答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元．
（2）解：由题意得，
∵，且m为正整数，
当时，，
当时，，
答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元．
20．【答案】解：∵长方体包装盒得底面积为288，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴．
∵，
∴该长方体包装盒得体积是．
【知识点】立方根的实际应用；正方体的几种展开图的识别；已知正弦值求边长
【解析】【分析】根据题意得，由矩形的对边相等可得，由锐角三角函数sin∠BPF=求出的值，由线段的和差EF=AB-BF-AE求出的值，根据锐角三角函数sin∠EFG= 求出的值，然后根据体积公式可求解．
21．【答案】解：（1）∵点在直线上，
∴．
解得．
∴点E的坐标为
∵点E在双曲线上，
∴，解得．
∴的值为6．
（2）在中，
当时，．
当，，解得．
∴点，，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵（轴轴），
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．即．
∴，
∴点的坐标为．
线段CD可以由线段AB向下平移2个单位，向右平移一个单位得到，可得点．
点D在双曲线的图象上，理由如下：
∵在中，
当时，．
∴点D在双曲线的图象上．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）把点E（n，3）代入可得关于n的方程，解方程求得n的值，然后用待定系数法即可求得k的值；
（2）先求得A、B点的坐标，根据矩形的性质，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABO∽△BCO，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得OC的值，然后根据平移的规律求得D的坐标，将D的坐标代入反比例函数解析式计算即可判断求解．
22．【答案】解：（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC；
（2）如答图1，连接BB'，
由题意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，由翻折可得，
B'C=BC，
∴△BB'C为等边三角形．
∴∠B'CB=60°，
（或由三角函数FC：B'C=1：2求出∠B'CB=60°也可以．）
∴∠B'CG=30°，
∴∠B'GC=60°；
（3）①如答图2，分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，
∵△PBC中，PB=PC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI．
在Rt△BHN中，BH=BI=4a，
BH2=HN2+BN2，HN2=a2，
则DM2=FQ2=HN2=a2，
BD2=BM2+DM2=6a2，BF2=BQ2+FQ2=10a2，
新三角形三边长为4a、a、a．
∵BH2=BD2+BF2
∴新三角形为直角三角形．
（或通过转换得新三角形三边就是BD、DI、BI，即求△GBI的面积或利用△HBI与△HGI相似，求△HBI的面积也可以）．
②其面积为a a=a2．
∵a2＜50，
∴a2＜50
∴a的最大整数值为7．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平移的性质；旋转的性质；四边形的综合；中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据矩形是中心对称图形，可以将Rt△ABC旋转180°得到Rt△ADC可求解；
（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BB'=B'C，由翻折的性质可得B'C=BC，于是可得△BB'C为等边三角形，由等边三角形的每一个角都等于60°可求解；
（3）分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，由BP=PC，根据平移变换的性质，就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI，由勾股定理就可以求出HN2=a2，用勾股定理可将新三角形三边的长用含a的代数式表示出来，然后根据勾股定理的逆定理可判断求解.
23．【答案】（1）解：过作于，
，
，
，
，，
；
（2）解：过作交的延长线于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
（3）解：过作于，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，取得最大值，
，，
点运动轨迹是以为直径的弧，如图，
当点运动到点时，有最大值为5，
，，
，
，
，
，
当时 ，取得最大值，
此时，．
【知识点】三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过作于，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，用勾股定理求得BH的值，由线段的和差BC=BH+HC求出BC的值，然后根据三角形的面积公式可求解；
（2）过作交的延长线于，用勾股定理求得AM的值，由等腰三角形的三线合一得求得EM的值，在Rt△BEM中，用勾股定理求得BE的值，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BEM∽△CQM，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出CQ、MQ的值，由线段的和差EQ=EM+MQ求得EQ的值，然后根据锐角三角函数可求解；
（3）过作于，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BEM∽△AHM，根据相似三角形的性质得比例式，当取得最大值时，取得最大值，得到点的运动轨迹是以为直径的圆，如图，当点运动到点时，有最大值5；同理可得△BEM∽△BHA，根据相似三角形的性质得比例式，由比例式求得B吗的值，然后根据三角形的面积公式即可求解.
（1）解：过作于，
，
，
，
，，
；
（2）解：过作交的延长线于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
（3）解：过作于，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，取得最大值，
，，
点运动轨迹是以为直径的弧，如图，
当点运动到点时，有最大值为5，
，，
，
，
，
，
当时 ，取得最大值，
此时，．
1 / 1广东省潮州市湘桥区等2地2025年中考一模数学试题
1．（2025·湘桥模拟）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若收入为“”，则支出为“”，
所以支出180元记作元．
故答案为：C.
【分析】由正负数表示相反意义的量，根据题意，正数表示收入，那么负数表示支出，即可作答.
2．（2025·湘桥模拟）已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：是关于x的方程的解，
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据一元一次方程的解把x=2代入方程可得关于a的一元一次方程，解一元一次方程即可求解．
3．（2025·湘桥模拟）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
4．（2025·湘桥模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x2不能合并，故A不符合题意；
B、x3·x2=x5，故B不符合题意；
C、（x3）2=x6，故C不符合题意；
D、x6÷x2=x4，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
5．（2025·湘桥模拟）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形．
故答案为：B．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
6．（2025·湘桥模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示如下：
．
故选：A．
【分析】
先分别求出每一个不等式的解集，再把各解集表示在同一数轴上即可．
7．（2025·湘桥模拟）一个不透明的盒子里装有两个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，摸到的球恰好是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得：摸到的球恰好是红球的概率是：
；
故答案为：B．
【分析】根据概率公式即可求解．
8．（2025·湘桥模拟）若，，则的值为（　　）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式将所求代数式变形为：，然后整体代换计算即可求解.
9．（2025·湘桥模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【分析】根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点的坐标．
10．（2025·湘桥模拟）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①当时，，
，
，，
四边形是矩形，
，
，四边形的周长是，故①正确；
②，，，
直线与直线之间的距离是，
当时，点到直线的距离等于，故②错误；
③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为，
又，
的面积为定值，故③错误；
④点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
，
即线段的长度不变，故④正确；
故选：A．
【分析】
①当时，AP=BC=2，则四边形是矩形，则其周长等于；
②由于“平行线间的距离处处相等”，即点P支直线的距离总等于；
③由于底边BC是定值，点P到L2的距离也是定值，即的面积也是定值；
④由三角形的中位线定理知DE总等于BC的一半等于1．
11．（2025·湘桥模拟）分解因式： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 ，
故答案为： .
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可；
12．（2025·湘桥模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
13．（2025·湘桥模拟）分式方程 =1的解是　 　.
【答案】x=1
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1.
检验：当x=1时，x+1=2≠0.
所以原方程的解为x=1.
故答案为：x=1.
【分析】经过去分母、移项，即可求出x，然后再检验即可.
14．（2025·湘桥模拟）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为　 　 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
，
∴，
由圆周角定理得，，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
15．（2025·湘桥模拟）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为　 　分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：延长交l于点H，连接，如图所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案为：．
【分析】
延长交直线于点H可构造，由已知可得，则解可得，，再连接OC，由割补法求面积即可求得CF．
16．（2025·湘桥模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得50=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得-1=2，由算术平方根的意义可得=2，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解.
17．（2025·湘桥模拟）如图，在中，．用尺规作图：作关于直线对称的．（不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】解：如图，即为所求．
理由：由作法得：平分，，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
即和关于直线对称．
【知识点】等腰三角形的性质；作图﹣轴对称；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】作的平分线交与点E，然后在的延长线上取点D，使，即可求解．
18．（2025·湘桥模拟）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【答案】（1）7.5，7，
（2）解：小祺的观点比较片面．理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
【知识点】统计表；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”可求得a的值，由众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求得b的值，由优秀率的定义可求得c的值；
（2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可判断求解．
（1）解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
（2）解：小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
19．（2025·湘桥模拟）某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元．
（1）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（2）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得，
∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数，
∴自变量的取值范围为，且为正整数．
当时，，
解得（不合题意，舎去）．
则（元），
答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元．
（2）解：由题意得，∵，且m为正整数，
当时，，
当时，，
答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）先根据题意表示出月销售量，再根据总利润=单件利润×月销售量列方程并求解即可，注意是实际问题，应对根进行适当取舍；
（2）将（1）中的关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合自变量取值范围，即可解答．
（1）解：由题意得，
∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数，
∴自变量的取值范围为，且为正整数．
当时，，
解得（不合题意，舎去）．
则（元），
答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元．
（2）解：由题意得，
∵，且m为正整数，
当时，，
当时，，
答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元．
20．（2025·湘桥模拟）综合与实践
主题：制作长方体包装盒．
素材：一张边长为30cm的正方表纸板．
步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分．
步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒．
若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积．
【答案】解：∵长方体包装盒得底面积为288，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴．
∵，
∴该长方体包装盒得体积是．
【知识点】立方根的实际应用；正方体的几种展开图的识别；已知正弦值求边长
【解析】【分析】根据题意得，由矩形的对边相等可得，由锐角三角函数sin∠BPF=求出的值，由线段的和差EF=AB-BF-AE求出的值，根据锐角三角函数sin∠EFG= 求出的值，然后根据体积公式可求解．
21．（2025·湘桥模拟）如图，在平面直角坐标系中．直线分别与x轴、y轴交于点A，B，与双曲线在第一象限交于点，以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在x轴正半轴上，顶点D在第三象限内．
（1）求k的值；
（2）求D的坐标，判断点D是否在双曲线的图象上，并说明理由．
【答案】解：（1）∵点在直线上，
∴．
解得．
∴点E的坐标为
∵点E在双曲线上，
∴，解得．
∴的值为6．
（2）在中，
当时，．
当，，解得．
∴点，，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵（轴轴），
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．即．
∴，
∴点的坐标为．
线段CD可以由线段AB向下平移2个单位，向右平移一个单位得到，可得点．
点D在双曲线的图象上，理由如下：
∵在中，
当时，．
∴点D在双曲线的图象上．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）把点E（n，3）代入可得关于n的方程，解方程求得n的值，然后用待定系数法即可求得k的值；
（2）先求得A、B点的坐标，根据矩形的性质，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABO∽△BCO，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得OC的值，然后根据平移的规律求得D的坐标，将D的坐标代入反比例函数解析式计算即可判断求解．
22．（2025·湘桥模拟）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：
（1）如图1，若连接矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则Rt△ADC可由Rt△ABC经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点 、旋转角度是 °；
（2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在EF上的点B'处，这样能得到∠B'GC．求∠B'GC的度数．
（3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI（如图4）．若BH=BI，BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于50，请求出a的最大整数值．
【答案】解：（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC；
（2）如答图1，连接BB'，
由题意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，由翻折可得，
B'C=BC，
∴△BB'C为等边三角形．
∴∠B'CB=60°，
（或由三角函数FC：B'C=1：2求出∠B'CB=60°也可以．）
∴∠B'CG=30°，
∴∠B'GC=60°；
（3）①如答图2，分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，
∵△PBC中，PB=PC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI．
在Rt△BHN中，BH=BI=4a，
BH2=HN2+BN2，HN2=a2，
则DM2=FQ2=HN2=a2，
BD2=BM2+DM2=6a2，BF2=BQ2+FQ2=10a2，
新三角形三边长为4a、a、a．
∵BH2=BD2+BF2
∴新三角形为直角三角形．
（或通过转换得新三角形三边就是BD、DI、BI，即求△GBI的面积或利用△HBI与△HGI相似，求△HBI的面积也可以）．
②其面积为a a=a2．
∵a2＜50，
∴a2＜50
∴a的最大整数值为7．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平移的性质；旋转的性质；四边形的综合；中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据矩形是中心对称图形，可以将Rt△ABC旋转180°得到Rt△ADC可求解；
（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BB'=B'C，由翻折的性质可得B'C=BC，于是可得△BB'C为等边三角形，由等边三角形的每一个角都等于60°可求解；
（3）分别取CE、EG、GI的中点M、Q、N，连接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，由BP=PC，根据平移变换的性质，就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI，由勾股定理就可以求出HN2=a2，用勾股定理可将新三角形三边的长用含a的代数式表示出来，然后根据勾股定理的逆定理可判断求解.
23．（2025·湘桥模拟）如图所示，在中，，，，点M为线段（异于点B、C）上一动点，连接．
（1）求的面积；
（2）如图所示，当时，过点B作于点E，连接并延长交于点F，求的值；
（3）如图所示，当点M运动到何处时，取得最大值？并求此时的面积．
【答案】（1）解：过作于，
，
，
，
，，
；
（2）解：过作交的延长线于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
（3）解：过作于，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，取得最大值，
，，
点运动轨迹是以为直径的弧，如图，
当点运动到点时，有最大值为5，
，，
，
，
，
，
当时 ，取得最大值，
此时，．
【知识点】三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过作于，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，用勾股定理求得BH的值，由线段的和差BC=BH+HC求出BC的值，然后根据三角形的面积公式可求解；
（2）过作交的延长线于，用勾股定理求得AM的值，由等腰三角形的三线合一得求得EM的值，在Rt△BEM中，用勾股定理求得BE的值，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BEM∽△CQM，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出CQ、MQ的值，由线段的和差EQ=EM+MQ求得EQ的值，然后根据锐角三角函数可求解；
（3）过作于，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BEM∽△AHM，根据相似三角形的性质得比例式，当取得最大值时，取得最大值，得到点的运动轨迹是以为直径的圆，如图，当点运动到点时，有最大值5；同理可得△BEM∽△BHA，根据相似三角形的性质得比例式，由比例式求得B吗的值，然后根据三角形的面积公式即可求解.
（1）解：过作于，
，
，
，
，，
；
（2）解：过作交的延长线于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
（3）解：过作于，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，取得最大值，
，，
点运动轨迹是以为直径的弧，如图，
当点运动到点时，有最大值为5，
，，
，
，
，
，
当时 ，取得最大值，
此时，．
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