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四川省广元市利州区2025年中考第二次学业水平质量监测数学试卷
1．（2025·利州模拟）的倒数是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
，
的倒数是，
故答案为：A．
【分析】先根据有理数的绝对值求出的值，然后根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，直接得到答案.
2．（2025·利州模拟）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的；
A、B、D中的图案不是平移得到的；
故选：C．
【分析】本题考查了平移的性质，图形的平移变换不改变图形的形状、大小和方向；图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
3．（2025·利州模拟）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( )
A．60° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： PD∥OB， PC⊥OB
∠CPD=90°
∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°， ∠OPC＝35°
∠APD=180°-90°-35°=55°
故选B.
【分析】根据平行线的性质得出∠PCO＝∠DPC =90°，然后利用三角形的内角和定理解答即可.
4．（2025·利州模拟）如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据旋转的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质解答即可.
5．（2025·利州模拟）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据两锐角互余求出∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等解答即可．
6．（2025·利州模拟）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、，
∵是圆内接五边形，
∴，
∴，
故选B．
【分析】连接、，正多边形的中心角的计算公式求出∠AOE的度数，然后根据圆周角定理解答即可．
7．（2025·利州模拟）已知a＞0，则下列事件中随机事件的是（　　）
A．a+3＞0 B．2a＞0 C．a-3＞0 D．a2＞0
【答案】C
【知识点】事件的分类；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由a＞0，得a+3＞0+3＞0，是必然事件，不符合题意；
B、由a＞0，得2a＞0，是必然事件，不符合题意；
C、由a＞0，得a-3>0-3>-3，则a-3可能大于0，可能小于0，可能等于0，是随机事件，符合题意；
D、由a＞0，得a2＞0，是必然事件，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质，结合事件的分类：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，即可求解.
8．（2025·利州模拟）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，
A、当t＜-4时，t+4＜0，
∴t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，故A符合题意；
B、C、当-4＜t＜0时，
∴t+4＞0，
∴y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，故B、C不符合题意；
D、当t＞0时，则t+4＞4，
∴t＜t+4，
∴0＜y2＜y1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质可证得在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，由t＜-4可得到t+4＜0，即可推出t＜t+4，由此可得到y1，y2，0的大小关系，可对A作出判断；由-4＜t＜0，可推出t+4＞0，可得到y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，可对B、C作出判断；当t＞0时，则t+4＞4，可得到t＜t+4，由此可推出0＜y2＜y1，可对D作出判断.
9．（2025·利州模拟）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：三角形是等边三角形，边长为1
，
第一段圆弧圆心角：，
第二段圆弧圆心角：，
以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），
以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
所以蚊香的长度为，
故选：B．
【分析】根据每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，利用弧长公式计算解答．
10．（2025·利州模拟）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点，则；
③若，是函数图象上的两点，则；
④若图象上两点，对一切正数n，总有，则.
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵二次函数（a为非零常数，），
∴令，有，
解得：，，，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，即抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，故①正确；
②将代入，得，
∴，
∵，，
∴ ，故②错误；
③∵二次函数（a为非零常数，），
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴ ，
∵，是函数图象上的两点，
∴2025离对称轴近些，
∵，
∴，故③正确；
④若图象上两点，对一切正数n，总有，，
则满足，
解得： ，故④正确；
综上所述，结论正确的为①③④，
故答案为：D．
【分析】①先求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标的值，然后根据二次函数的增减性推出，即抛物线开口向下，即可判断①正确；②将代入抛物线解析式求出，然后结合的取值范围，利用不等式的性质，即可判断②错误；③先求出抛物线的对称轴，然后得2025离对称轴近些，根据抛物线开口向下，点离对称轴的距离越近，则对应的函数值越大，即可判断③正确；④根据二次函数的性质即可求出m的取值范围.
11．（2025·利州模拟）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.47亿=147000000，
∴147000000=1.47×108，
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
12．（2025·利州模拟）若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠-2.
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式 在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠-2，
则x的取值范围是：x≠-2.
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围.
13．（2025·利州模拟）若关于的不等式组有2个整数解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
∴，
故答案为：．
【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解个数可得的取值范围．
14．（2025·利州模拟）如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得：，
∴侧面展开图扇形的圆心角为．
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆周长解答即可．
15．（2025·利州模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点B作，连接．
由网格和勾股定理可求得；
，，，
∴，
∴是直角三角形．
在中，．
∵，
∴
∴
故答案为：．
【分析】过点B作，连接．利用勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，再求出的正弦，然后平行线的性质可证得∠ABE=∠APD，即可得到sin∠APD的值.
16．（2025·利州模拟）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．达到最小值时，求　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：设，
∵将沿折叠得到，
，
，点为的中点，
，
当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
连接，在中， ，
共线时，的值最小，如图，
此时，；
，
，，
∴，
，
解得：，
∴.
故答案为：．
【分析】设，根据折叠的性质求得BN，当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当共线时，的值最小，借助勾股定理求出AB’，再用x表示出AM，利用勾股定理，得出关于x的方程求解，求得BM．
17．（2025·利州模拟）已知，求的值．
【答案】解：∵分式要有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．

【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由分式有意义的条件得到，得到，再将代入化简解答即可．
18．（2025·利州模拟）在矩形中，连接，延长至，使，过点作交延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
在中，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质得，从而判定四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证结论；
（2）先根据矩形性质得到，，，然后用勾股定理得，由菱形的性质得，即可算出的长度，最后利用勾股定理计算的长即可．
（1）证明：由矩形可得：，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：在矩形中，，，，
在中，，
由（1）得：，
∴，
在中，．
19．（2025·利州模拟）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．
请用无刻度尺按要求作图：
（1）作△ABC的高AH；
（2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC；
②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分．
【答案】（1）解：如图，线段AH即为所求；
（2）解：①如图，线段AD即为所求；
②如图，线段AF即为所求.
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）根据三角形的高的定义，利用网格画出1×2以及2×1的对角线交于点H，则线段AH即为所求；
（2）①根据等腰直角三角形的性质，作等腰直角三角形ACD，则线段AD即为所求；
②取格点T连接BT，AT，CT，则BT∥AC ，推出△ACB与△ATC的面积相等，作出△ADT 的中线AF即可（取P，Q，连接PQ交DT于点 F)．
（1）解：如图（1）所示，线段AH即为所求，
（2）①如图所示，线段AD即为所求；
②如图所示，线段AF即为所求；
20．（2025·利州模拟）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究．
已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，）
（1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离．
图1
（2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差．
图2
【答案】（1）解：过点作，垂足为，
图1
．
，
在中，，
，
此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为；
（2）延长交于点，
由题意得：，
，
当时，
，
在中，，
，
当时，
，
在中，，
图2
，
点距离桌面的高度差，
点距离桌面的高度差约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于，先求出，再在中，根据正弦的定义解答即可；
（2）延长交于点，即可得到，然后分别求出和时，利用余弦的定义求出BF长，然后求差即可．
（1）解：过点作，垂足为，
图1
．
，
在中，，
，
此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为；
（2）延长交于点，
由题意得：，
，
当时，
，
在中，，
，
当时，
，
在中，，
图2
，
点距离桌面的高度差，
点距离桌面的高度差约为．
21．（2025·利州模拟）如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围．
【答案】解：（1）将点代入得：，
则反比例函数的解析式为；
当时，，解得，即，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
当时，，即，
，
轴，且，
，，
，
，
，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点的坐标，设点的坐标为，然后根据得到不等式，求出t的取值范围即可．
22．（2025·利州模拟）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设CG为am，DG为(12-a)m，根据矩形面积公式列方程解答即可；
（2）设两块矩形总种植面积为ym2， BC长为xm，根据矩形的面积公式列二次函数，化成顶点式求出最值解答即可 .
（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
23．（2025·利州模拟）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有________人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型 应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率．
【答案】（1），；
（2）解：比较了解的人数为(人)，
补全条形统计图如图所示：
（3）解；设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名同学，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种，
∴和两名同学同时被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的学生人数为(人)，
∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为；
估计全校非常了解交通法规的约有(人)，
故答案为：，；
【分析】（1）用的人数除以占比求出抽取的学生人数，用乘以的人数占比可得所对应的扇形圆心角度数；用乘以的占比求出的应用场景 的人数．
（2）用样本总数减去其它组的人数求出B的人数，补全条形统计图即可．
（3）画树状图得到出所有等可能的结果数，找出符合条件的的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：抽取的学生人数为(人)，
∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为；
估计全校非常了解交通法规的约有(人)，
故答案为：，；
（2）解：比较了解的人数为(人)，
补全条形统计图如图所示：
（3）解；设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名同学，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种，
∴和两名同学同时被选中的概率为．
24．（2025·利州模拟）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理、直径随队的圆周角是直角得到，即可证得到结论；
（2）连接，即可得到，然后得到AB=DC，根据正弦计算解答即可．
（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
25．（2025·利州模拟）如图，在中，，以为一边向外作正方形，点为直线上的一点，连接，作交直线于点．
（1）如图，若，点在线段上，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图，若，点在线段上，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若，若，，请直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）解：，证明如下：
如图2，连接，过点作，交延长线于，
由（1）得，
∵ ，
，
，
∴，
，
，
，
、、、四点共圆，
，即，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
线段、、三者之间的关系式：；
（3）解：，，
，
，
，
点在直线上，
点在点的左侧，
过点作，垂足为点，
①当点在线段上时，如图，
、、、四点共圆，
，即，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在点的左侧时，如图，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接，
四边形是正方形，，
，
、、、四点共圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
【分析】（1）根据正方形的性质以及垂直的定义得，然后由“四点共圆”模型得、、、四点共圆，根据圆周角定理得，接下来推出是等腰直角三角形，得，从而得，进而根据等腰三角形的判定得；
（2）连接，过点作，交延长线于，根据正切的定义，结合特殊角的三角函数值求出，，由“四点共圆”模型可得、、、四点共圆，根据圆周角定理得，即，然后利用含30°的直角三角形的性质得，根据圆周角定理可知，则由余弦的定义可求出，最后利用余弦的定义，代入化简可得结论；
（3）根据题意可知，需要分两种情况：①当点在线段上时，过点作，垂足为点，由、、、四点共圆得，解得，再由勾股定理求得，则可求出的值；②当点在点的左侧时，同理可求的值．
（1）解：（1）如图1，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
是以点为直角顶点的等腰直角三形，
；
（2）连接，过点作，垂足为点，如图2，
，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，即，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
；
线段、、三者之间的关系式：；
（3），，
，
，
，
点在直线上，
点在点的左侧，
过点作，垂足为点，
①当点在线段上时，如图，
、、、四点共圆，
，即，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在点的左侧时，如图，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的长为或．
26．（2025·利州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；
（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点，
∴令，有，
整理得：，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点D作于点H，
当时，有抛物线：，
∵抛物线的顶点为，
∴
设，，
∵，
∴，
设直线解析式为，
将代入解析式，得，
解得：，
∴直线解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点E，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作于M，
设，直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴，
由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为，
∵点，都落在抛物线上
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵，
整理得：，
解得：，
∴抛物线与交于定点．
【知识点】三角形的面积；求正切值；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先令，求出抛物线与x轴的交点的坐标，从而得的值；
（2）过点D作于点H，先求出抛物线的解析式，从而得，设，，利用三角形面积公式可求得，然后利用待定系数法求出直线解析式，设直线与抛物线对称轴交于点E，即可得，利用三角形面积公式可求得，于是得关于n的方程，解方程即可得，则可求出的值，最后根据正切的定义进行求解；
（3）过点D作于M，设，先求出直线解析式，可得的值，结合题意得的值以及、的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，建立方程求出抛物线与的交点，即可求解.
（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点，
∴，整理得，解得
∴
则；
（2）当时，抛物线：，
则
设，则，
设直线解析式为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则直线解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点E，则，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，解得，
∴点，
过点D作于点H，则，
则；
（3）设直线解析式为，
则，解得，
那么直线解析式为，
过点D作，如图，
则，
∵，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴
由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为，
∵点，都落在抛物线上
∴
解得，
则抛物线解析式为
∵
整理得，解得，
∴抛物线与交于定点．
1 / 1四川省广元市利州区2025年中考第二次学业水平质量监测数学试卷
1．（2025·利州模拟）的倒数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．（2025·利州模拟）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·利州模拟）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( )
A．60° B．55° C．45° D．35°
4．（2025·利州模拟）如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　
A． B． C． D．
5．（2025·利州模拟）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·利州模拟）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·利州模拟）已知a＞0，则下列事件中随机事件的是（　　）
A．a+3＞0 B．2a＞0 C．a-3＞0 D．a2＞0
8．（2025·利州模拟）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．（2025·利州模拟）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·利州模拟）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点，则；
③若，是函数图象上的两点，则；
④若图象上两点，对一切正数n，总有，则.
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
11．（2025·利州模拟）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为　 　.
12．（2025·利州模拟）若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
13．（2025·利州模拟）若关于的不等式组有2个整数解，则的取值范围是　 　．
14．（2025·利州模拟）如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为　 　．
15．（2025·利州模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值是　 　．
16．（2025·利州模拟）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．达到最小值时，求　 　．
17．（2025·利州模拟）已知，求的值．
18．（2025·利州模拟）在矩形中，连接，延长至，使，过点作交延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求线段的长．
19．（2025·利州模拟）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．
请用无刻度尺按要求作图：
（1）作△ABC的高AH；
（2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC；
②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分．
20．（2025·利州模拟）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究．
已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，）
（1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离．
图1
（2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差．
图2
21．（2025·利州模拟）如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围．
22．（2025·利州模拟）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
23．（2025·利州模拟）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有________人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型 应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率．
24．（2025·利州模拟）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
25．（2025·利州模拟）如图，在中，，以为一边向外作正方形，点为直线上的一点，连接，作交直线于点．
（1）如图，若，点在线段上，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图，若，点在线段上，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若，若，，请直接写出的长．
26．（2025·利州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；
（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
，
的倒数是，
故答案为：A．
【分析】先根据有理数的绝对值求出的值，然后根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，直接得到答案.
2．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的；
A、B、D中的图案不是平移得到的；
故选：C．
【分析】本题考查了平移的性质，图形的平移变换不改变图形的形状、大小和方向；图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： PD∥OB， PC⊥OB
∠CPD=90°
∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°， ∠OPC＝35°
∠APD=180°-90°-35°=55°
故选B.
【分析】根据平行线的性质得出∠PCO＝∠DPC =90°，然后利用三角形的内角和定理解答即可.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据旋转的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质解答即可.
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据两锐角互余求出∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等解答即可．
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、，
∵是圆内接五边形，
∴，
∴，
故选B．
【分析】连接、，正多边形的中心角的计算公式求出∠AOE的度数，然后根据圆周角定理解答即可．
7．【答案】C
【知识点】事件的分类；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由a＞0，得a+3＞0+3＞0，是必然事件，不符合题意；
B、由a＞0，得2a＞0，是必然事件，不符合题意；
C、由a＞0，得a-3>0-3>-3，则a-3可能大于0，可能小于0，可能等于0，是随机事件，符合题意；
D、由a＞0，得a2＞0，是必然事件，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质，结合事件的分类：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，
A、当t＜-4时，t+4＜0，
∴t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，故A符合题意；
B、C、当-4＜t＜0时，
∴t+4＞0，
∴y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，故B、C不符合题意；
D、当t＞0时，则t+4＞4，
∴t＜t+4，
∴0＜y2＜y1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质可证得在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，由t＜-4可得到t+4＜0，即可推出t＜t+4，由此可得到y1，y2，0的大小关系，可对A作出判断；由-4＜t＜0，可推出t+4＞0，可得到y1＜0，y2＞0即y1＜0＜y2，可对B、C作出判断；当t＞0时，则t+4＞4，可得到t＜t+4，由此可推出0＜y2＜y1，可对D作出判断.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：三角形是等边三角形，边长为1
，
第一段圆弧圆心角：，
第二段圆弧圆心角：，
以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），
以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
所以蚊香的长度为，
故选：B．
【分析】根据每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，利用弧长公式计算解答．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵二次函数（a为非零常数，），
∴令，有，
解得：，，，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，即抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，故①正确；
②将代入，得，
∴，
∵，，
∴ ，故②错误；
③∵二次函数（a为非零常数，），
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴ ，
∵，是函数图象上的两点，
∴2025离对称轴近些，
∵，
∴，故③正确；
④若图象上两点，对一切正数n，总有，，
则满足，
解得： ，故④正确；
综上所述，结论正确的为①③④，
故答案为：D．
【分析】①先求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标的值，然后根据二次函数的增减性推出，即抛物线开口向下，即可判断①正确；②将代入抛物线解析式求出，然后结合的取值范围，利用不等式的性质，即可判断②错误；③先求出抛物线的对称轴，然后得2025离对称轴近些，根据抛物线开口向下，点离对称轴的距离越近，则对应的函数值越大，即可判断③正确；④根据二次函数的性质即可求出m的取值范围.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.47亿=147000000，
∴147000000=1.47×108，
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
12．【答案】x≠-2.
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式 在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠-2，
则x的取值范围是：x≠-2.
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
∴，
故答案为：．
【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解个数可得的取值范围．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得：，
∴侧面展开图扇形的圆心角为．
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆周长解答即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点B作，连接．
由网格和勾股定理可求得；
，，，
∴，
∴是直角三角形．
在中，．
∵，
∴
∴
故答案为：．
【分析】过点B作，连接．利用勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，再求出的正弦，然后平行线的性质可证得∠ABE=∠APD，即可得到sin∠APD的值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：设，
∵将沿折叠得到，
，
，点为的中点，
，
当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
连接，在中， ，
共线时，的值最小，如图，
此时，；
，
，，
∴，
，
解得：，
∴.
故答案为：．
【分析】设，根据折叠的性质求得BN，当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当共线时，的值最小，借助勾股定理求出AB’，再用x表示出AM，利用勾股定理，得出关于x的方程求解，求得BM．
17．【答案】解：∵分式要有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．

【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由分式有意义的条件得到，得到，再将代入化简解答即可．
18．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
在中，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质得，从而判定四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证结论；
（2）先根据矩形性质得到，，，然后用勾股定理得，由菱形的性质得，即可算出的长度，最后利用勾股定理计算的长即可．
（1）证明：由矩形可得：，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：在矩形中，，，，
在中，，
由（1）得：，
∴，
在中，．
19．【答案】（1）解：如图，线段AH即为所求；
（2）解：①如图，线段AD即为所求；
②如图，线段AF即为所求.
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）根据三角形的高的定义，利用网格画出1×2以及2×1的对角线交于点H，则线段AH即为所求；
（2）①根据等腰直角三角形的性质，作等腰直角三角形ACD，则线段AD即为所求；
②取格点T连接BT，AT，CT，则BT∥AC ，推出△ACB与△ATC的面积相等，作出△ADT 的中线AF即可（取P，Q，连接PQ交DT于点 F)．
（1）解：如图（1）所示，线段AH即为所求，
（2）①如图所示，线段AD即为所求；
②如图所示，线段AF即为所求；
20．【答案】（1）解：过点作，垂足为，
图1
．
，
在中，，
，
此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为；
（2）延长交于点，
由题意得：，
，
当时，
，
在中，，
，
当时，
，
在中，，
图2
，
点距离桌面的高度差，
点距离桌面的高度差约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于，先求出，再在中，根据正弦的定义解答即可；
（2）延长交于点，即可得到，然后分别求出和时，利用余弦的定义求出BF长，然后求差即可．
（1）解：过点作，垂足为，
图1
．
，
在中，，
，
此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为；
（2）延长交于点，
由题意得：，
，
当时，
，
在中，，
，
当时，
，
在中，，
图2
，
点距离桌面的高度差，
点距离桌面的高度差约为．
21．【答案】解：（1）将点代入得：，
则反比例函数的解析式为；
当时，，解得，即，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
当时，，即，
，
轴，且，
，，
，
，
，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点的坐标，设点的坐标为，然后根据得到不等式，求出t的取值范围即可．
22．【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设CG为am，DG为(12-a)m，根据矩形面积公式列方程解答即可；
（2）设两块矩形总种植面积为ym2， BC长为xm，根据矩形的面积公式列二次函数，化成顶点式求出最值解答即可 .
（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
23．【答案】（1），；
（2）解：比较了解的人数为(人)，
补全条形统计图如图所示：
（3）解；设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名同学，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种，
∴和两名同学同时被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的学生人数为(人)，
∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为；
估计全校非常了解交通法规的约有(人)，
故答案为：，；
【分析】（1）用的人数除以占比求出抽取的学生人数，用乘以的人数占比可得所对应的扇形圆心角度数；用乘以的占比求出的应用场景 的人数．
（2）用样本总数减去其它组的人数求出B的人数，补全条形统计图即可．
（3）画树状图得到出所有等可能的结果数，找出符合条件的的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：抽取的学生人数为(人)，
∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为；
估计全校非常了解交通法规的约有(人)，
故答案为：，；
（2）解：比较了解的人数为(人)，
补全条形统计图如图所示：
（3）解；设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名同学，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种，
∴和两名同学同时被选中的概率为．
24．【答案】（1）证明：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理、直径随队的圆周角是直角得到，即可证得到结论；
（2）连接，即可得到，然后得到AB=DC，根据正弦计算解答即可．
（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
25．【答案】（1）；
（2）解：，证明如下：
如图2，连接，过点作，交延长线于，
由（1）得，
∵ ，
，
，
∴，
，
，
，
、、、四点共圆，
，即，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
线段、、三者之间的关系式：；
（3）解：，，
，
，
，
点在直线上，
点在点的左侧，
过点作，垂足为点，
①当点在线段上时，如图，
、、、四点共圆，
，即，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在点的左侧时，如图，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接，
四边形是正方形，，
，
、、、四点共圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
【分析】（1）根据正方形的性质以及垂直的定义得，然后由“四点共圆”模型得、、、四点共圆，根据圆周角定理得，接下来推出是等腰直角三角形，得，从而得，进而根据等腰三角形的判定得；
（2）连接，过点作，交延长线于，根据正切的定义，结合特殊角的三角函数值求出，，由“四点共圆”模型可得、、、四点共圆，根据圆周角定理得，即，然后利用含30°的直角三角形的性质得，根据圆周角定理可知，则由余弦的定义可求出，最后利用余弦的定义，代入化简可得结论；
（3）根据题意可知，需要分两种情况：①当点在线段上时，过点作，垂足为点，由、、、四点共圆得，解得，再由勾股定理求得，则可求出的值；②当点在点的左侧时，同理可求的值．
（1）解：（1）如图1，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
是以点为直角顶点的等腰直角三形，
；
（2）连接，过点作，垂足为点，如图2，
，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，即，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
；
线段、、三者之间的关系式：；
（3），，
，
，
，
点在直线上，
点在点的左侧，
过点作，垂足为点，
①当点在线段上时，如图，
、、、四点共圆，
，即，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在点的左侧时，如图，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的长为或．
26．【答案】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点，
∴令，有，
整理得：，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点D作于点H，
当时，有抛物线：，
∵抛物线的顶点为，
∴
设，，
∵，
∴，
设直线解析式为，
将代入解析式，得，
解得：，
∴直线解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点E，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作于M，
设，直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴，
由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为，
∵点，都落在抛物线上
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵，
整理得：，
解得：，
∴抛物线与交于定点．
【知识点】三角形的面积；求正切值；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先令，求出抛物线与x轴的交点的坐标，从而得的值；
（2）过点D作于点H，先求出抛物线的解析式，从而得，设，，利用三角形面积公式可求得，然后利用待定系数法求出直线解析式，设直线与抛物线对称轴交于点E，即可得，利用三角形面积公式可求得，于是得关于n的方程，解方程即可得，则可求出的值，最后根据正切的定义进行求解；
（3）过点D作于M，设，先求出直线解析式，可得的值，结合题意得的值以及、的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，建立方程求出抛物线与的交点，即可求解.
（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点，
∴，整理得，解得
∴
则；
（2）当时，抛物线：，
则
设，则，
设直线解析式为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则直线解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点E，则，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，解得，
∴点，
过点D作于点H，则，
则；
（3）设直线解析式为，
则，解得，
那么直线解析式为，
过点D作，如图，
则，
∵，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴
由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为，
∵点，都落在抛物线上
∴
解得，
则抛物线解析式为
∵
整理得，解得，
∴抛物线与交于定点．
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