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湖南省怀化市2025年初中学业水平考试模拟数学试卷
1．（2025·怀化模拟）下列四个实数中，绝对值最小的是（　　）
A． B．3 C．0.5 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解∶∵，，，，
∴，
∴绝对值最小的是，
故答案为：C.
【分析】根据实数的绝对值，先分别求出各个实数的绝对值，然后再比较绝对值的大小，即可得到答案.
2．（2025·怀化模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.，故选项错误，不符合题意；
B.，故选项错误，不符合题意；
C.，故选项正确，符合题意；
D.，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式运算法则逐项判断解答即可．
3．（2025·怀化模拟）下列古文字中，可看作轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项均未在平面上找到一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故ABC不是轴对称图形，D选项能在平面上找到一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故D是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义：一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此得到答案.
4．（2025·怀化模拟）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火升空，长征二号F遥十八运载火箭总长58.34米，重量约，479700这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
5．（2025·怀化模拟）如图是由正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据俯视图的定义，得该几何体的俯视图如下图：
故答案为：C．
【分析】本题主要考查了三视图的知识，根据俯视图的定义：从上边观察几何体得到相应图形，据此得到答案.
6．（2025·怀化模拟）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C．15 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，直接利用二次根式的乘法运算法则，据此得到答案.
7．（2025·怀化模拟）以下是9个主要的中国传统节日：春节（农历正月初一）；元宵节（农历正月十五）；端午节（农历五月初五）；七夕节（农历七月初七）；中元节（农历七月十五）；中秋节（农历八月十五）；重阳节（农历九月初九）；腊八节（农历腊月初八）；小年（北方腊月二十三/南方腊月二十四），若从这9个节日中选一个节日，则抽到的节日在农历七月的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得9个主要的中国传统节日中，节日在农历七月的有2个，
∴抽到的节日在农历七月的概率为，
故答案为：B．
【分析】先根据题意得到9个主要的中国传统节日中，节日在农历七月的有2个，然后利用概率公式进行求解.
8．（2025·怀化模拟）如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得，，，由平行线的性质得，然后根据相似三角形的判定证明，得 ，从而求出 ，进而求出.
9．（2025·怀化模拟）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，若的半径为6，则图中阴影部分（弓形）的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴，
∵，的半径为6，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点作于点，先根据正多边形的性质以及多边形内角和公式求出的度数，从而根据等腰三角形“等边对等角”以及三角形内角和定理得，进而解直角三角形求出，于是根据垂径定理，结合勾股定理勾股定理得，，然后利用三角形以及扇形面积公式求出的值即可.
10．（2025·怀化模拟）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵记为与的距离，为与的距离，
∴为与的距离，为与的距离，
∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了数字规律，根据与的理解，得为与的距离，为与的距离，然后得的值，从而求出的值，进而由得的值，于是得的值，最后代入求比即可.
11．（2025·怀化模拟）分解因式：x2-16= 　 　.
【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
12．（2025·怀化模拟）关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于的不等式，
∴移项，得，
∴合并同类项，得，
∴系数化为1，得，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据“移项，合并同类项，系数化为1”进行求解即可.
13．（2025·怀化模拟）直线y＝x－2与y轴交点坐标是　 　．
【答案】(0，－2)
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线y＝x－2，
∴令x＝0，有y＝－2，
∴直线y＝x－2与y轴交点坐标是（0．－2），
故答案为：（0，－2）．
【分析】求出当x=0时y的值，据此得到答案.
14．（2025·怀化模拟）甲，乙，丙，丁四名学生进行数学素养能力测试，每人10次测试成绩的平均数及方差如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加全国中学生数学能力测评，应选择　 　．
　 甲 乙 丙 丁
110 98 110 110
1.5 0.5 1.1 0.5
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意，得甲、丙、丁成绩的平均数相等且大于乙的平均数，乙丁成绩的方差相等且最小，
∴选择丁参加比赛，
故答案为：丁．
【分析】根据平均数比较成绩的优劣，结合方差比较数据的稳定程度，据此得到答案.
15．（2025·怀化模拟）如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为　 　．
【答案】2
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的面积为6，，
∴，
解得：，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得，然后根据平行四边形的面积以及点的坐标求出，从而得点坐标，进而将点坐标代入反比例函数解析式即可求出实数的值．
16．（2025·怀化模拟）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则　 　°．
【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据角平分线尺规作图以及等腰三角形“等边对等角”性质可设，则，然后利用三角形内角和定理得关于的方程，解方程求出，最后由三角形外角的性质得的度数.
17．（2025·怀化模拟）鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算；黄金分割
【解析】【解答】解：∵点是的黄金分割点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是的黄金分割点，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】先根据黄金分割点的定义求出的值，从而得的值，进而根据黄金分割点的定义求出的值.
18．（2025·怀化模拟）如图，已知的半径为4，且圆心在边长为4的等边的三边上运动，点的坐标为，轴，当与轴相切时，点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；切线的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点在上时，如图，设与轴相切于点，连接，交点，
∴轴，
∵的半径为4，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②当点在上时，如图，设与轴相切于点，连接，交点，
同理可得，
∵轴，点的坐标为，等边的边长为4，
∴，
∴；
综上所述，当与轴相切时，点的坐标为或，
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论：①当点在上时，设与轴相切于点，连接，交点，根据切线的性质得轴，，从而得，进而结合点坐标得，然后根据等边三角形的性质得，在中，解直角三角形求出，即可得；②当点在上时，设与轴相切于点，连接，交点，同理求出，于是得点的横坐标，即可得.
19．（2025·怀化模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、立方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，最后进行加减运算即可.
20．（2025·怀化模拟） 先化简， 再代入求值： ， 其中 .
【答案】解：原式
将 代入得： 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号内通分，同时后式分子进行因式分解，再约分化简并代入值即可求解.
21．（2025·怀化模拟）某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____．
（3）该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳．
（4）甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率．
【答案】（1）解：根据题意，得抽取的学生总人数为：（人），
∴参加D项活动的学生人数为：（人），
∴补全条形统计图如下：
（2）54°；
（3）解：(名)，
∴估计该校有2400名学生选择跳绳；
（4）解∶ 画树状图如下：
∴共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一类的结果有4种，
∴两人恰好选择同一类的概率为，
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2） 扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：54°.
【分析】（1）用参加C项活动的学生人数除以其所占百分比求出抽取的学生总人数，从而求出参加D项活动的学生人数，进而补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以参加A项活动的学生人数占比即可；
（3）用样本估计总体，将6000乘以参加D项活动的学生人数占比即可；
（4）先画出树状图得到所有的等可能结果数，从而得两人恰好选择同一类的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：总人数有：人，
参加D项活动的人数有：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：
（3）解：(名)
（4）解∶ 由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加四类活动的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为，
22．（2025·怀化模拟）如图，在中，对角线和交于点，点E，F在上，且，连接，，，．
（1）求证：；
（2）当平行四边形是菱形时，判断是四边形的形状．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，从而根据平行线的性质得，进而证出；
（2）根据菱形的性质的性质得，，，于是得，然后推出四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得证结论.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴在四边形中，，，，
即四边形的对角线互相垂直平分，
∴四边形是菱形．
23．（2025·怀化模拟）某企业为制作智能机器人，拟购买A，B两种型号国产芯片，制定方案如下表：
　 A型国产芯片（枚） B型国产芯片（枚） 总费用（万元）
方案一 100 200 300
方案二 200 100 240
（1）求A，B两种型号国产芯片的单价；
（2）若该企业调整方案，计划购买A，B两种型号国产芯片共400枚，且总费用不超过400万元，则至少购买A型号国产芯片多少枚？
【答案】（1）解：设A，B两种型号国产芯片的单价分别为x万元/枚，y万元/枚，
根据题意，得，
解得：，
∴A，B两种型号国产芯片的单价分别为0.6万元/枚，1.2万元/枚；
（2）解：设购买A型号国产芯片m枚，则购买B型号国产芯片（400-m）枚，
根据题意，得，
解得：，
∵m为整数，
∴，
∴至少购买A型号国产芯片134枚．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种型号国产芯片的单价分别为x万元/枚，y万元/枚，根据表格中的数据得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买A型号国产芯片m枚，则购买B型号国产芯片（400-m）枚，根据“总费用不超过400万元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解.
（1）解：设A，B两种型号国产芯片的单价分别为每枚万元，万元，
由题意得：，
解得：，
∴A，B两种型号国产芯片的单价分别为每枚0.6万元，1.2万元；
（2）解：设至少购买型号国产芯片枚，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴，
∴至少购买型号国产芯片134枚．
24．（2025·怀化模拟）如图，神龙塔的旅游观景层的高度米．在神龙塔前方有一斜坡长6米，，斜坡上有一座炎帝像．某旅行者在旅游观景层测得炎帝像顶端的俯角，底端的俯角．
（1）求炎帝像到神龙塔的距离；
（2）求炎帝像的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，延长直线与射线交于点，与射线交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴炎帝像到神龙塔的距离为米；
（2）解：由（1）得，
∵在中，，
∴，
∴，
∴炎帝像的高度为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长直线与射线交于点，与射线交于点，先推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，然后求出，利用含30°的直角三角形的性质得，从而得，进而在中，解直角三角形求出的值即可；
（2）由（1）得，在中，解直角三角形得的值，最后求的值即可.
（1）解：延长直线与射线交于点，与射线交于点，
由题意得，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，斜坡长6米，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即炎帝像到神龙塔的距离为；
（2）解：在中，，
∴，
∴，
答：炎帝像的高度为．
25．（2025·怀化模拟）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，．
（1）观察猜想：将图1中的三角尺绕逆时针的方向旋转至如图2的位置，使得，交于点，则的度数为_____；
（2）操作探究：如图2所示，在（1）的条件下，已知，，求此时线段的长度；
（3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点逆时针的方向旋转至如图3的位置（），线段与交于点，点在线段上，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先求出，然后根据平行线的性质可得，进而可得的度数 ；
（2）过点作于点，解直角三角形得，结合（1）中的结论得，根据等腰三角形的判定得，于是得，然后设，则，根据的长度得关于的方程，解方程求得的值，最后求的值即可；
（3）过点作于，先推出，根据等腰三角形”三线合一“性质得，由直角三角形斜边上的中线性质得，然后设，得，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，于是得出，最后代入求比即可.
（1）解：∵，
∴
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（2）解：如图，过点作于点，
∵，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
（3）解：如图，过点作，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，，
∴，，是等腰直角三角形，
设
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
26．（2025·怀化模拟）在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”．
（1）抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____；
（2）如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵抛物线与的顶点分别为点 ，，，
∴，，
∵抛物线与的交点分别为，
∴联立方程组，
解得或，
∴，，
∴点关于原点对称，点关于原点对称，
∴四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过点作轴于，过点作于，连接，过点作于，
∴，
由题意知，抛物线和抛物线关于原点对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，，
∵，，
∴，，，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；求正弦值；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）由”旋转抛物线“的定义，得抛物线的“旋转抛物线”的表达式为，
故答案为：.
【分析】（1）直接根据“旋转抛物线”的定义进行求解；
（2）先分别求出点的坐标，从而得点关于原点对称，点关于原点对称，进而得四边形的对角线互相平分，最后根据平行四边形的判定得证结论；
（3）过点作轴于，过点作于，连接，过点作于，先求出，设，根据相似三角形的判定证明，得，从而得，进而得，于是得关于的方程，解方程即得，，然后利用坐标系中两点距离公式求出的值以及推出轴，利用三角形面积公式可得，最后根据正弦的定义计算即可求解．
（1）解：由题意得，抛物线的“旋转抛物线”的表达式为，
故答案为：；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
由，解得或，
∴，，
∵点关于原点对称，点关于原点对称，
∴四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：由题意知，抛物线和抛物线关于原点对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
过点作轴于，过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（不合，舍去）或，
∴，，
连接，作于，
∵，，
∴，，，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
1 / 1湖南省怀化市2025年初中学业水平考试模拟数学试卷
1．（2025·怀化模拟）下列四个实数中，绝对值最小的是（　　）
A． B．3 C．0.5 D．
2．（2025·怀化模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·怀化模拟）下列古文字中，可看作轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·怀化模拟）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火升空，长征二号F遥十八运载火箭总长58.34米，重量约，479700这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·怀化模拟）如图是由正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·怀化模拟）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C．15 D．
7．（2025·怀化模拟）以下是9个主要的中国传统节日：春节（农历正月初一）；元宵节（农历正月十五）；端午节（农历五月初五）；七夕节（农历七月初七）；中元节（农历七月十五）；中秋节（农历八月十五）；重阳节（农历九月初九）；腊八节（农历腊月初八）；小年（北方腊月二十三/南方腊月二十四），若从这9个节日中选一个节日，则抽到的节日在农历七月的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·怀化模拟）如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
9．（2025·怀化模拟）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，若的半径为6，则图中阴影部分（弓形）的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·怀化模拟）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·怀化模拟）分解因式：x2-16= 　 　.
12．（2025·怀化模拟）关于的不等式的解集是　 　．
13．（2025·怀化模拟）直线y＝x－2与y轴交点坐标是　 　．
14．（2025·怀化模拟）甲，乙，丙，丁四名学生进行数学素养能力测试，每人10次测试成绩的平均数及方差如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加全国中学生数学能力测评，应选择　 　．
　 甲 乙 丙 丁
110 98 110 110
1.5 0.5 1.1 0.5
15．（2025·怀化模拟）如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为　 　．
16．（2025·怀化模拟）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则　 　°．
17．（2025·怀化模拟）鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则　 　．
18．（2025·怀化模拟）如图，已知的半径为4，且圆心在边长为4的等边的三边上运动，点的坐标为，轴，当与轴相切时，点的坐标为　 　．
19．（2025·怀化模拟）计算：．
20．（2025·怀化模拟） 先化简， 再代入求值： ， 其中 .
21．（2025·怀化模拟）某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____．
（3）该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳．
（4）甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率．
22．（2025·怀化模拟）如图，在中，对角线和交于点，点E，F在上，且，连接，，，．
（1）求证：；
（2）当平行四边形是菱形时，判断是四边形的形状．
23．（2025·怀化模拟）某企业为制作智能机器人，拟购买A，B两种型号国产芯片，制定方案如下表：
　 A型国产芯片（枚） B型国产芯片（枚） 总费用（万元）
方案一 100 200 300
方案二 200 100 240
（1）求A，B两种型号国产芯片的单价；
（2）若该企业调整方案，计划购买A，B两种型号国产芯片共400枚，且总费用不超过400万元，则至少购买A型号国产芯片多少枚？
24．（2025·怀化模拟）如图，神龙塔的旅游观景层的高度米．在神龙塔前方有一斜坡长6米，，斜坡上有一座炎帝像．某旅行者在旅游观景层测得炎帝像顶端的俯角，底端的俯角．
（1）求炎帝像到神龙塔的距离；
（2）求炎帝像的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
25．（2025·怀化模拟）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，．
（1）观察猜想：将图1中的三角尺绕逆时针的方向旋转至如图2的位置，使得，交于点，则的度数为_____；
（2）操作探究：如图2所示，在（1）的条件下，已知，，求此时线段的长度；
（3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点逆时针的方向旋转至如图3的位置（），线段与交于点，点在线段上，求的值．
26．（2025·怀化模拟）在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”．
（1）抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____；
（2）如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解∶∵，，，，
∴，
∴绝对值最小的是，
故答案为：C.
【分析】根据实数的绝对值，先分别求出各个实数的绝对值，然后再比较绝对值的大小，即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.，故选项错误，不符合题意；
B.，故选项错误，不符合题意；
C.，故选项正确，符合题意；
D.，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式运算法则逐项判断解答即可．
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项均未在平面上找到一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故ABC不是轴对称图形，D选项能在平面上找到一条直线可以折叠，使直线两旁的部分能够相互重合，故D是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义：一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此得到答案.
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
5．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据俯视图的定义，得该几何体的俯视图如下图：
故答案为：C．
【分析】本题主要考查了三视图的知识，根据俯视图的定义：从上边观察几何体得到相应图形，据此得到答案.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，直接利用二次根式的乘法运算法则，据此得到答案.
7．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得9个主要的中国传统节日中，节日在农历七月的有2个，
∴抽到的节日在农历七月的概率为，
故答案为：B．
【分析】先根据题意得到9个主要的中国传统节日中，节日在农历七月的有2个，然后利用概率公式进行求解.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得，，，由平行线的性质得，然后根据相似三角形的判定证明，得 ，从而求出 ，进而求出.
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴，
∵，的半径为6，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点作于点，先根据正多边形的性质以及多边形内角和公式求出的度数，从而根据等腰三角形“等边对等角”以及三角形内角和定理得，进而解直角三角形求出，于是根据垂径定理，结合勾股定理勾股定理得，，然后利用三角形以及扇形面积公式求出的值即可.
10．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵记为与的距离，为与的距离，
∴为与的距离，为与的距离，
∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了数字规律，根据与的理解，得为与的距离，为与的距离，然后得的值，从而求出的值，进而由得的值，于是得的值，最后代入求比即可.
11．【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于的不等式，
∴移项，得，
∴合并同类项，得，
∴系数化为1，得，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据“移项，合并同类项，系数化为1”进行求解即可.
13．【答案】(0，－2)
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线y＝x－2，
∴令x＝0，有y＝－2，
∴直线y＝x－2与y轴交点坐标是（0．－2），
故答案为：（0，－2）．
【分析】求出当x=0时y的值，据此得到答案.
14．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意，得甲、丙、丁成绩的平均数相等且大于乙的平均数，乙丁成绩的方差相等且最小，
∴选择丁参加比赛，
故答案为：丁．
【分析】根据平均数比较成绩的优劣，结合方差比较数据的稳定程度，据此得到答案.
15．【答案】2
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的面积为6，，
∴，
解得：，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得，然后根据平行四边形的面积以及点的坐标求出，从而得点坐标，进而将点坐标代入反比例函数解析式即可求出实数的值．
16．【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：36．
【分析】根据角平分线尺规作图以及等腰三角形“等边对等角”性质可设，则，然后利用三角形内角和定理得关于的方程，解方程求出，最后由三角形外角的性质得的度数.
17．【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算；黄金分割
【解析】【解答】解：∵点是的黄金分割点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是的黄金分割点，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】先根据黄金分割点的定义求出的值，从而得的值，进而根据黄金分割点的定义求出的值.
18．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；切线的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点在上时，如图，设与轴相切于点，连接，交点，
∴轴，
∵的半径为4，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②当点在上时，如图，设与轴相切于点，连接，交点，
同理可得，
∵轴，点的坐标为，等边的边长为4，
∴，
∴；
综上所述，当与轴相切时，点的坐标为或，
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论：①当点在上时，设与轴相切于点，连接，交点，根据切线的性质得轴，，从而得，进而结合点坐标得，然后根据等边三角形的性质得，在中，解直角三角形求出，即可得；②当点在上时，设与轴相切于点，连接，交点，同理求出，于是得点的横坐标，即可得.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、立方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，最后进行加减运算即可.
20．【答案】解：原式
将 代入得： 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号内通分，同时后式分子进行因式分解，再约分化简并代入值即可求解.
21．【答案】（1）解：根据题意，得抽取的学生总人数为：（人），
∴参加D项活动的学生人数为：（人），
∴补全条形统计图如下：
（2）54°；
（3）解：(名)，
∴估计该校有2400名学生选择跳绳；
（4）解∶ 画树状图如下：
∴共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一类的结果有4种，
∴两人恰好选择同一类的概率为，
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2） 扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：54°.
【分析】（1）用参加C项活动的学生人数除以其所占百分比求出抽取的学生总人数，从而求出参加D项活动的学生人数，进而补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以参加A项活动的学生人数占比即可；
（3）用样本估计总体，将6000乘以参加D项活动的学生人数占比即可；
（4）先画出树状图得到所有的等可能结果数，从而得两人恰好选择同一类的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：总人数有：人，
参加D项活动的人数有：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：
（3）解：(名)
（4）解∶ 由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加四类活动的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为，
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，从而根据平行线的性质得，进而证出；
（2）根据菱形的性质的性质得，，，于是得，然后推出四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得证结论.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴在四边形中，，，，
即四边形的对角线互相垂直平分，
∴四边形是菱形．
23．【答案】（1）解：设A，B两种型号国产芯片的单价分别为x万元/枚，y万元/枚，
根据题意，得，
解得：，
∴A，B两种型号国产芯片的单价分别为0.6万元/枚，1.2万元/枚；
（2）解：设购买A型号国产芯片m枚，则购买B型号国产芯片（400-m）枚，
根据题意，得，
解得：，
∵m为整数，
∴，
∴至少购买A型号国产芯片134枚．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种型号国产芯片的单价分别为x万元/枚，y万元/枚，根据表格中的数据得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买A型号国产芯片m枚，则购买B型号国产芯片（400-m）枚，根据“总费用不超过400万元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解.
（1）解：设A，B两种型号国产芯片的单价分别为每枚万元，万元，
由题意得：，
解得：，
∴A，B两种型号国产芯片的单价分别为每枚0.6万元，1.2万元；
（2）解：设至少购买型号国产芯片枚，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴，
∴至少购买型号国产芯片134枚．
24．【答案】（1）解：如图，延长直线与射线交于点，与射线交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴炎帝像到神龙塔的距离为米；
（2）解：由（1）得，
∵在中，，
∴，
∴，
∴炎帝像的高度为米．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长直线与射线交于点，与射线交于点，先推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，然后求出，利用含30°的直角三角形的性质得，从而得，进而在中，解直角三角形求出的值即可；
（2）由（1）得，在中，解直角三角形得的值，最后求的值即可.
（1）解：延长直线与射线交于点，与射线交于点，
由题意得，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，斜坡长6米，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即炎帝像到神龙塔的距离为；
（2）解：在中，，
∴，
∴，
答：炎帝像的高度为．
25．【答案】（1）；
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先求出，然后根据平行线的性质可得，进而可得的度数 ；
（2）过点作于点，解直角三角形得，结合（1）中的结论得，根据等腰三角形的判定得，于是得，然后设，则，根据的长度得关于的方程，解方程求得的值，最后求的值即可；
（3）过点作于，先推出，根据等腰三角形”三线合一“性质得，由直角三角形斜边上的中线性质得，然后设，得，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，于是得出，最后代入求比即可.
（1）解：∵，
∴
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（2）解：如图，过点作于点，
∵，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
（3）解：如图，过点作，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，，
∴，，是等腰直角三角形，
设
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
26．【答案】（1）；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵抛物线与的顶点分别为点 ，，，
∴，，
∵抛物线与的交点分别为，
∴联立方程组，
解得或，
∴，，
∴点关于原点对称，点关于原点对称，
∴四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过点作轴于，过点作于，连接，过点作于，
∴，
由题意知，抛物线和抛物线关于原点对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，，
∵，，
∴，，，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；求正弦值；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）由”旋转抛物线“的定义，得抛物线的“旋转抛物线”的表达式为，
故答案为：.
【分析】（1）直接根据“旋转抛物线”的定义进行求解；
（2）先分别求出点的坐标，从而得点关于原点对称，点关于原点对称，进而得四边形的对角线互相平分，最后根据平行四边形的判定得证结论；
（3）过点作轴于，过点作于，连接，过点作于，先求出，设，根据相似三角形的判定证明，得，从而得，进而得，于是得关于的方程，解方程即得，，然后利用坐标系中两点距离公式求出的值以及推出轴，利用三角形面积公式可得，最后根据正弦的定义计算即可求解．
（1）解：由题意得，抛物线的“旋转抛物线”的表达式为，
故答案为：；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
由，解得或，
∴，，
∵点关于原点对称，点关于原点对称，
∴四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：由题意知，抛物线和抛物线关于原点对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
过点作轴于，过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（不合，舍去）或，
∴，，
连接，作于，
∵，，
∴，，，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
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