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广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年下学期九年级数学二模试题
1．（2025·广州模拟）的相反数是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此解题即可.
2．（2025·广州模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B中、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．（2025·广州模拟）下列运算结果错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，该选项正确，不合题意；
B、，该选项正确，不合题意；
C、，该选项错误，符合题意；
D、，该选项正确，不合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；根据完全平方公式，可判断D选项.
4．（2025·广州模拟）小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），
根据题意，得，
故答案为：C．
【分析】直接根据“ 两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒“列出关于x的分式方程.
5．（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵点的坐标分别为，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：B ．
【分析】首先根据两点间的距离公式算出AB的长，然后根据菱形的性质得BC=AB，进而根据点的坐标与图形性质可得点C的坐标.
6．（2025·广州模拟）若反比例函数经过点，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数经过点，
∴，
∴，
∴一次函数为，
∵，
∴一次函数为的图象经过二、三、四象限，一定不经过第一象限，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点（-2，1）代入反比例函数，可求出k的值，然后根据一次函数图象与系数的关系，在y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，并结合题意求解即可.
7．（2025·广州模拟）2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
在中，，，
∴．
故答案为：A ．
【分析】根据题意可知，在中，利用解直角三角形进行计算即可解答．
8．（2025·广州模拟）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　）
A． B．当时，y随x的增大而增大
C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、抛物线开口向下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，故A正确，本选项不符合题意；
B、观察图象，当时，y随x的增大而增大，故B正确，本选项不符合题意；
C、观察图象，二次函数图象与x轴有两个交点，故C正确，本选项不符合题意；
D、观察图象，二次函数的最大值为n，故D错误，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】抛物线开口向下，可得a＜0，抛物线交y轴的正半轴可得c＞0，据此可判断A选项；由于抛物线开口向下，顶点坐标为（-1，n），故当x=-1时，函数有最大值n，当x＜-1时，y随x的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而减小，据此可判断B、CD选项；由于抛物线开口向下，且顶点在第二象限，可判断C选项.
9．（2025·广州模拟）一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
H O C N
H
O
C
N
共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种，
所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为，
故答案为：D．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可.
10．（2025·广州模拟）如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
作于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由矩形的性质得∠D=∠DAB=90°，然后利用勾股定理算出AC的长，根据角的构成及角平分线的定义可推出∠1=∠2；作EG⊥AC于点G，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ED=EG，利用HL判断出Rt△ADE≌Rt△AGE，由全等三角形对应边相等得AG=AD，然后在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程可求出EG的长，进而再在Rt△ADE中，利用勾股定理算出AE的长，从而即可求出两条线段的比值.
11．（2025·广州模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】由于所给的二项式各项具有相同的因式“a”，故利用提取公因式法即可因式分解．
12．（2025·广州模拟）一次函数图象上有两点，，则　 　（填，，）
【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中，，
∴随的增大而增大，
∵一次函数的图象上有两点，，且，
∴，
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此比较两点横坐标的大小即可判断出对应函数值的大小.
13．（2025·广州模拟）为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，9.8，13.9，由此可知　 　种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此只要比较方差大小即可求解．
14．（2025·广州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为　 　．
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系；直角三角形斜边上的中线；求正切值；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用等角的同名三角函数值相等及锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
15．（2025·广州模拟）如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是　 　．
【答案】40cm
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径是，
∴圆锥的底面周长为，半径为，
∴扇形的弧长为，
设扇形的半径为r，
则，
解得：，
∴高为：
故答案为：40cm．
【分析】根据扇形弧长计算公式，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长建立方程求得铁皮的半径，再根据圆锥的高、底面半径及母线长构成直角三角形，从而利用勾股定理计算即可．
16．（2025·广州模拟）如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接AG，
是的中点，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，如图：
当O，G，C三点共线时，CG的值最小，
四边形ABCD是菱形，，，
，，
∴，
∵，，
∴
，
CG的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接AG，根据中点定义和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半推得AF=EF=FG，由等边对等角及三角形的内角和定理推出∠AGE=∠AGD=90°，根据直径所对圆周角是直角的逆用推出点G在以AD为直径的圆上运动；取AD的中点O，根据点与圆的位置关系，当O，G，C三点共线时，CG的值最小；然后根据特殊锐角三角函数值及余弦函数定义可推出∠COD=90°，总而根据勾股定理算出OC，最后用CG=OC-OG即可得出答案.
17．（2025·广州模拟）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出各个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了即可求解。
18．（2025·广州模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a、b的值．
【答案】解：把代入二元一次方程组得：
，
由①得：a=1+b，
把a=1+b代入②，整理得：
b2+b-2=0，
解得：b= -2或b=1，
把b= -2代入①得：a+2=1，
解得：a= -1，
把b=1代入①得：
a-1=1，
解得：a=2，
即或．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】把x，y的值代入二元一次方程组求出a，b的的值即可解题．
19．（2025·广州模拟）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，）
【答案】解：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴该舞狮者“采青”成功．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过作于，结合题意可得：四边形为矩形，再根据正弦定义即可求出答案.
20．（2025·广州模拟）年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，广州某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了名学生进行体重指数调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准，
分类如下：
范围 分类
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
调查结果如表所示：
分类 人数
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
（1）小明身高为，指数为，则小明的体重为__________；
（2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．
（3）学校计划从体重正常的个男生和个女生中，抽取名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）解：超重的人数占比为，
补全统计图如下：
（3）解：根据题意列表：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
由表格可知，共有种等可能情况，其中恰好为一男一女的有种，
∴抽取出来的学生恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵小明身高为，指数为，，
∴小明的体重为，
故答案为：51.2；
【分析】（1）将bmi=20与身高为1.6m代入BMI计算公式求解即可；
（2）先用超重的人数比上调查的总人数求出超重的人数占比，再补全统计图即可；
（3）先利用列表法列举出所有等可能性的结果数，由表格可知，共有12种等可能情况，其中恰好为一男一女的有8种，最后根据概率计算公式求解即可．
（1）解：∵小明身高为，指数为，，
∴小明的体重为，
故答案为：；
（2）解：超重的人数占比为，补全统计图如下：
（3）解：根据题意列表：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1）
（男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2）
（女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
有表格可知，共有种等可能情况，其中恰好为一男一女的有种，
∴抽取出来的学生恰好是一男一女的概率为．
21．（2025·广州模拟）一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为，对边经过x轴上点和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．）
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，过点作轴于，
在中，，，，
，，
．
设反比例函数解析式为，
把代入，得，
反比例函数解析式为．
（2）解：过点作轴于，
，
．
设，在中，，则．
，
．
．
∵在反比例函数的图象上，
，
整理得，解得或（舍去），
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于D，由∠COD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出CD的长，由∠COD的余弦函数及特殊锐角三角函数值可算出OD的长，然后得，再利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）过点B作BE⊥x轴于E，由二直线平行，同位角相等得∠BAE=∠BAE=30°，设AE=a，由∠BAE的正切函数及特殊锐角三角函数值用含a的式子表示出BE，进而根据线段和差用含a的式子表示出OE，根据点的坐标与图形性质可表示出点B的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点B的坐标代入进行计算可求出a的值，从而得到点B的坐标.
（1）解：如图所示，过点作轴于，
在中，，，，
，，
．
设反比例函数解析式为，
把代入，得，
反比例函数解析式为．
（2）解：过点作轴于，
，
．
设，在中，，则．
，
．
．
∵在反比例函数的图象上，
，
整理得，解得或（舍去），
．
22．（2025·广州模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
【答案】（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）连接交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分可求出BC的长，同时可证得AD=2AE，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案．
（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
23．（2025·广州模拟）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结．
（1）若，B为的中点，求的度数．
（2）连结，当时．
①求证：四边形是平行四边形．
②若，求证：．
【答案】（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴；
（2）证明：①如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得，进行等量代换后得，利用三角形内角和定理得，然后根据圆内接四边形对角互补的性质求出的值；
（2）①根据圆周角定理得，进行等量代换得，于是根据平行线的判定证明，然后根据平行线的性质得，进行等量代换得，可推出，最后根据平行四边形的判定即可得证结论；
②过点B作交圆于点P，连结，得，可推出，得，，进行等量代换得，然后根据平行四边形的性质得，根据圆周角定理得，结合，得，
最后可证明，得，即可得证结论.
（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）①如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
则，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
24．（2025·广州模拟）实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；
②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】
（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．
【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①；②；
（2）延长，相交于点，连接．
四边形是矩形，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∴点为中点，
，
∵于点，
∴在中，，
∵在中，，且为定值，
∴当，三点共线时取得最小值，
∵，
∴，此时为等边三角形，
．
（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①，
，
，
②如图，延长交于，令交于，
由①可得，
由旋转的性质可得：，
，
，
，
所在直线较小夹角的度数为，
故答案为：；
（3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，
，，，，为中点，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四点共圆，
，，
在中，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【分析】（1）①根据相似三角形的判定证明，进而根据相似三角形的性质即可求解；
②延长交于，令交于，根据旋转的性质结合三角形内角和定理即可求解；
（2）延长，相交于点，连接．先根据矩形的性质得到，，再根据相似三角形的判定与性质证明得到点为中点，进而根据直角三角形的性质得到，则当，三点共线时取得最小值，再根据等边三角形的判定与性质即可求解；
（3）过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，根据相似三角形的判定与性质证明的，进而根据题意得到四点共圆，根据圆周角定理结合题意得到，，进而解直角三角形得到，则，再根据勾股定理即可求解。
25．（2025·广州模拟）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形为矩形，．点M以每秒1个单位的速度从点C沿向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点H、K，求证：为定值．
【答案】（1）解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
（2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）证明：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线只有一个公共点，
只有一个实数解，
，
即：，
解得：，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把，，得
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，
结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式可得顶点D的坐标；
（2）根据t秒后点M的运动距离为CM=t，则ME=3-t，点N的运动距离为EN=2t；分两种情形，①当△EMN∽△OBC时，②当△EMN∽△OCB时，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程求解可得答案；
（3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，联立抛物线与直线l得解析式，由两线只有一个公共点可得根的判别式△=0，据此建立方程用含k的式子表示出m，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式；联立直线GA与直线l可求出点H的横坐标，联立直线GB与直线l可求出点K的坐标；利用∠AGP的正弦函数可算出GH，利用∠BGP的正弦函数可算出GK，进而求出GH+GK即可得出结论.
（1）解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
（2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）解：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线只有一个公共点，
只有一个实数解，
，
即：，
解得：，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把，，得
，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
1 / 1广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年下学期九年级数学二模试题
1．（2025·广州模拟）的相反数是（　　）
A． B．3 C． D．
2．（2025·广州模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广州模拟）下列运算结果错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·广州模拟）小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
6．（2025·广州模拟）若反比例函数经过点，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·广州模拟）2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
8．（2025·广州模拟）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　）
A． B．当时，y随x的增大而增大
C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n
9．（2025·广州模拟）一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·广州模拟）如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·广州模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·广州模拟）一次函数图象上有两点，，则　 　（填，，）
13．（2025·广州模拟）为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，9.8，13.9，由此可知　 　种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）．
14．（2025·广州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为　 　．
15．（2025·广州模拟）如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是　 　．
16．（2025·广州模拟）如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为　 　．
17．（2025·广州模拟）解不等式组：
18．（2025·广州模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a、b的值．
19．（2025·广州模拟）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，）
20．（2025·广州模拟）年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，广州某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了名学生进行体重指数调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准，
分类如下：
范围 分类
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
调查结果如表所示：
分类 人数
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
（1）小明身高为，指数为，则小明的体重为__________；
（2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．
（3）学校计划从体重正常的个男生和个女生中，抽取名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．
21．（2025·广州模拟）一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为，对边经过x轴上点和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．）
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
22．（2025·广州模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
23．（2025·广州模拟）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结．
（1）若，B为的中点，求的度数．
（2）连结，当时．
①求证：四边形是平行四边形．
②若，求证：．
24．（2025·广州模拟）实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；
②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】
（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．
【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．
25．（2025·广州模拟）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形为矩形，．点M以每秒1个单位的速度从点C沿向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点H、K，求证：为定值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此解题即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B中、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，该选项正确，不合题意；
B、，该选项正确，不合题意；
C、，该选项错误，符合题意；
D、，该选项正确，不合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；根据完全平方公式，可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），
根据题意，得，
故答案为：C．
【分析】直接根据“ 两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒“列出关于x的分式方程.
5．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵点的坐标分别为，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：B ．
【分析】首先根据两点间的距离公式算出AB的长，然后根据菱形的性质得BC=AB，进而根据点的坐标与图形性质可得点C的坐标.
6．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数经过点，
∴，
∴，
∴一次函数为，
∵，
∴一次函数为的图象经过二、三、四象限，一定不经过第一象限，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点（-2，1）代入反比例函数，可求出k的值，然后根据一次函数图象与系数的关系，在y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，并结合题意求解即可.
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
在中，，，
∴．
故答案为：A ．
【分析】根据题意可知，在中，利用解直角三角形进行计算即可解答．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、抛物线开口向下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，故A正确，本选项不符合题意；
B、观察图象，当时，y随x的增大而增大，故B正确，本选项不符合题意；
C、观察图象，二次函数图象与x轴有两个交点，故C正确，本选项不符合题意；
D、观察图象，二次函数的最大值为n，故D错误，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】抛物线开口向下，可得a＜0，抛物线交y轴的正半轴可得c＞0，据此可判断A选项；由于抛物线开口向下，顶点坐标为（-1，n），故当x=-1时，函数有最大值n，当x＜-1时，y随x的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而减小，据此可判断B、CD选项；由于抛物线开口向下，且顶点在第二象限，可判断C选项.
9．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
H O C N
H
O
C
N
共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有种，
所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的概率为，
故答案为：D．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果数，由表格可知：共有12种等可能出现的结果，所标元素能组成“CO”（一氧化碳）的有2种，从而根据概率公式求解即可.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
作于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由矩形的性质得∠D=∠DAB=90°，然后利用勾股定理算出AC的长，根据角的构成及角平分线的定义可推出∠1=∠2；作EG⊥AC于点G，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ED=EG，利用HL判断出Rt△ADE≌Rt△AGE，由全等三角形对应边相等得AG=AD，然后在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程可求出EG的长，进而再在Rt△ADE中，利用勾股定理算出AE的长，从而即可求出两条线段的比值.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】由于所给的二项式各项具有相同的因式“a”，故利用提取公因式法即可因式分解．
12．【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵中，，
∴随的增大而增大，
∵一次函数的图象上有两点，，且，
∴，
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此比较两点横坐标的大小即可判断出对应函数值的大小.
13．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此只要比较方差大小即可求解．
14．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系；直角三角形斜边上的中线；求正切值；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用等角的同名三角函数值相等及锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
15．【答案】40cm
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径是，
∴圆锥的底面周长为，半径为，
∴扇形的弧长为，
设扇形的半径为r，
则，
解得：，
∴高为：
故答案为：40cm．
【分析】根据扇形弧长计算公式，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长建立方程求得铁皮的半径，再根据圆锥的高、底面半径及母线长构成直角三角形，从而利用勾股定理计算即可．
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接AG，
是的中点，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，如图：
当O，G，C三点共线时，CG的值最小，
四边形ABCD是菱形，，，
，，
∴，
∵，，
∴
，
CG的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接AG，根据中点定义和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半推得AF=EF=FG，由等边对等角及三角形的内角和定理推出∠AGE=∠AGD=90°，根据直径所对圆周角是直角的逆用推出点G在以AD为直径的圆上运动；取AD的中点O，根据点与圆的位置关系，当O，G，C三点共线时，CG的值最小；然后根据特殊锐角三角函数值及余弦函数定义可推出∠COD=90°，总而根据勾股定理算出OC，最后用CG=OC-OG即可得出答案.
17．【答案】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出各个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了即可求解。
18．【答案】解：把代入二元一次方程组得：
，
由①得：a=1+b，
把a=1+b代入②，整理得：
b2+b-2=0，
解得：b= -2或b=1，
把b= -2代入①得：a+2=1，
解得：a= -1，
把b=1代入①得：
a-1=1，
解得：a=2，
即或．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】把x，y的值代入二元一次方程组求出a，b的的值即可解题．
19．【答案】解：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴该舞狮者“采青”成功．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过作于，结合题意可得：四边形为矩形，再根据正弦定义即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）解：超重的人数占比为，
补全统计图如下：
（3）解：根据题意列表：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
由表格可知，共有种等可能情况，其中恰好为一男一女的有种，
∴抽取出来的学生恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵小明身高为，指数为，，
∴小明的体重为，
故答案为：51.2；
【分析】（1）将bmi=20与身高为1.6m代入BMI计算公式求解即可；
（2）先用超重的人数比上调查的总人数求出超重的人数占比，再补全统计图即可；
（3）先利用列表法列举出所有等可能性的结果数，由表格可知，共有12种等可能情况，其中恰好为一男一女的有8种，最后根据概率计算公式求解即可．
（1）解：∵小明身高为，指数为，，
∴小明的体重为，
故答案为：；
（2）解：超重的人数占比为，补全统计图如下：
（3）解：根据题意列表：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1）
（男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2）
（女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
有表格可知，共有种等可能情况，其中恰好为一男一女的有种，
∴抽取出来的学生恰好是一男一女的概率为．
21．【答案】（1）解：如图所示，过点作轴于，
在中，，，，
，，
．
设反比例函数解析式为，
把代入，得，
反比例函数解析式为．
（2）解：过点作轴于，
，
．
设，在中，，则．
，
．
．
∵在反比例函数的图象上，
，
整理得，解得或（舍去），
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于D，由∠COD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出CD的长，由∠COD的余弦函数及特殊锐角三角函数值可算出OD的长，然后得，再利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）过点B作BE⊥x轴于E，由二直线平行，同位角相等得∠BAE=∠BAE=30°，设AE=a，由∠BAE的正切函数及特殊锐角三角函数值用含a的式子表示出BE，进而根据线段和差用含a的式子表示出OE，根据点的坐标与图形性质可表示出点B的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点B的坐标代入进行计算可求出a的值，从而得到点B的坐标.
（1）解：如图所示，过点作轴于，
在中，，，，
，，
．
设反比例函数解析式为，
把代入，得，
反比例函数解析式为．
（2）解：过点作轴于，
，
．
设，在中，，则．
，
．
．
∵在反比例函数的图象上，
，
整理得，解得或（舍去），
．
22．【答案】（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）连接交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分可求出BC的长，同时可证得AD=2AE，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案．
（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形
方法一：分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则四边形即为所求；
方法二：作的角平分线，再以B为圆心，的长为半径画弧交的角平分线所在的直线于D，连接，则四边形即为所求；
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
23．【答案】（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴；
（2）证明：①如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得，进行等量代换后得，利用三角形内角和定理得，然后根据圆内接四边形对角互补的性质求出的值；
（2）①根据圆周角定理得，进行等量代换得，于是根据平行线的判定证明，然后根据平行线的性质得，进行等量代换得，可推出，最后根据平行四边形的判定即可得证结论；
②过点B作交圆于点P，连结，得，可推出，得，，进行等量代换得，然后根据平行四边形的性质得，根据圆周角定理得，结合，得，
最后可证明，得，即可得证结论.
（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）①如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
则，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
24．【答案】（1）①；②；
（2）延长，相交于点，连接．
四边形是矩形，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∴点为中点，
，
∵于点，
∴在中，，
∵在中，，且为定值，
∴当，三点共线时取得最小值，
∵，
∴，此时为等边三角形，
．
（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①，
，
，
②如图，延长交于，令交于，
由①可得，
由旋转的性质可得：，
，
，
，
所在直线较小夹角的度数为，
故答案为：；
（3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，
，，，，为中点，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四点共圆，
，，
在中，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【分析】（1）①根据相似三角形的判定证明，进而根据相似三角形的性质即可求解；
②延长交于，令交于，根据旋转的性质结合三角形内角和定理即可求解；
（2）延长，相交于点，连接．先根据矩形的性质得到，，再根据相似三角形的判定与性质证明得到点为中点，进而根据直角三角形的性质得到，则当，三点共线时取得最小值，再根据等边三角形的判定与性质即可求解；
（3）过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，根据相似三角形的判定与性质证明的，进而根据题意得到四点共圆，根据圆周角定理结合题意得到，，进而解直角三角形得到，则，再根据勾股定理即可求解。
25．【答案】（1）解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
（2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）证明：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线只有一个公共点，
只有一个实数解，
，
即：，
解得：，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把，，得
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，
结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式可得顶点D的坐标；
（2）根据t秒后点M的运动距离为CM=t，则ME=3-t，点N的运动距离为EN=2t；分两种情形，①当△EMN∽△OBC时，②当△EMN∽△OCB时，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程求解可得答案；
（3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，联立抛物线与直线l得解析式，由两线只有一个公共点可得根的判别式△=0，据此建立方程用含k的式子表示出m，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式；联立直线GA与直线l可求出点H的横坐标，联立直线GB与直线l可求出点K的坐标；利用∠AGP的正弦函数可算出GH，利用∠BGP的正弦函数可算出GK，进而求出GH+GK即可得出结论.
（1）解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
（2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上所述，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）解：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线只有一个公共点，
只有一个实数解，
，
即：，
解得：，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把，，得
，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
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