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2024-2025学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知，且，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.在图示正方体中，为的中点，直线平面，下列说法错误的是( )
A. ，，，四点共面
B. ，，三点共线
C. 平面
D. 与异面
6.已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中如图，白圈为阳数，黑点为阴数若从这个数中任取个数，则这个数中至多有个阴数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8.设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量，则下列说法正确的是( )
A. 是的充分条件 B. 是的必要条件
C. 是的充分条件 D. 是的必要条件
10.随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则正确的是( )
A. B. 与互斥
C. 与相互独立 D.
11.在棱长为的正方体中，点在线段上运动包括端点，则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥的外接球的表面积为
B. 直线和平面所成的角为定值
C. 三棱锥的体积是定值
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高一年级共有男生人，女生人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出人，组建一个合唱团，则男生应该抽取______人
13.已知，则 ______．
14.如图，在平面四边形中，已知，，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，解不等式；
当时，恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递减区间；
求函数在区间上的值域．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
某校对年高一上学期期中数学考试成绩单位：分进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；
为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成且角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为已知在斜坐标系中，，．
证明：；
当时，，求；
当时，若向量，，已知，求函数的最值．
参考答案
1.
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5.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，不等式为，
即，解得或，
所以该不等式的解集为；
由已知，若时，恒成立，
所以相应方程的判别式，
即，解得，
所以的取值范围为．
16.解：函数，
函数的最小正周期为．
令，，求得，，
可得函数的减区间为，．
在区间上，，，
即函数在区间上的值域为
17.因为，，所以，，
又，，所以，
所以．
所以．
因为，
所以为直角三角形，且．
又因为平面，平面，
所以．
又因为，平面，，
所以平面．
因为平面，，平面，
所以，．
所以即为二面角的平面角．
在中，，，，
所以，
所以．
即二面角的正弦值为．
18.解：由，
可得，
数学成绩在：频率，频率，
频率，频率，
频率，频率，
样本均值为：，
可以估计样本数据中数学成绩均值为 分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩 分．
由知样本数据中数学考试成绩在 分以下所占比例为，
在 分以下所占比例为，
因此，分位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的第 百分位数约为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分．
由题意分数段的人数为人，
分数段的人数为人，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，
则需在内抽取人，分别记为，，分数段内抽人，分别记为，，，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间共包含个样本点，
而的对立事件，包含个样本点，
，，
抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率为．
19.证明见解析；
；
，．
第1页，共1页

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