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2024-2025学年福建省福州市福清市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有班，动车有趟，高铁有个车次，则小丁当天出行的方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.计算的值是( )
A. B. C. D.
3.设函数，若，则( )
A. B. C. D.
4.设随机变量，，则( )
A. B. C. D.
5.已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为( )
A. B. C. D.
6.从，，，，中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则( )
A. B. C. D.
7.设函数，，则的最小值和最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.已知，两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球其中盒中有个红球，个白球；盒中有个红球，个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为，盒中的红球个数为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从标号为，，，，，的六个蓝球和标号为，，，的四个红球中随机选出个，则下列说法正确的有( )
A. 若选出的个球全部为蓝球，则不同的选法有种
B. 若选出的个球中蓝球红球各有个，则有种不同的选法
C. 若蓝球的号和红球的号必须在选出的个球内，则有种不同的选法
D. 若蓝球的号和红球的号至少有个在选出的个球内，则有种不同的选法
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B. 的对称中心是
C. 当时，
D. 当时，
11.乒乓球，被称为中国的“国球”某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是( )
A. 打满三局结束比赛的概率为
B. 的常数项为
C. 函数在上单调递增
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在哪吒之魔童闹海、唐探、重启未来及蛟龙行动四部电影中任选一部，则不同的选法有______种
13.某水果店的苹果，来自基地，来自基地，基地苹果的新鲜率为，基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是______．
14.已知函数有两个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16.本小题分
某运动会需要招募一批志愿者，测试合格者录用为志愿者现有备选题道，规定每次测试都从备选题中随机抽出道题进行测试，至少答对道题者视为合格若甲能答对其中的道题，求：
甲测试合格的概率；
甲答对的试题数的分布列．
17.本小题分
中国国际大数据产业博览会简称“数博会”从年在贵阳开办，至今已过年某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且．
估计抽取市民中问卷成绩在分以上的市民人数；
若本次问卷调查得分超过分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知函数
当时，求曲线过原点的切线方程；
讨论的单调性；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
19.本小题分
现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有个红球、个白球玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球．
情况：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分；
情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分．
求玩家甲在游戏中得分的概率；
求玩家乙在游戏中获胜的概率；
设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列．
参考答案
1.
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15.法一：由通项公式，得，
令得，，则．
法二：由二项式定理，得
，则．
法一：因为，
所以令，得，
令，得
则．
法二：由二项式定理，得
因为
所以，，，，，
所以．
16.现有备选题道，规定每次测试都从备选题中随机抽出道题进行测试，
至少答对道题者视为合格．
若甲能答对其中的道题，
设甲测试合格为事件，则．
甲答对的试题数可以为，，，，
，，
，，
所以的分布列为：
17.解：因为随机变量近似服从正态分布，且，
所以，所以，
所以估计抽取市民中问卷成绩在分以上的市民人数为人．
由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为，且，
所以随机变量的分布列为，
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的均值为．
18.当时，函数，那么导函数，
因为，因此原点不在曲线上，
设过原点的直线与相切于点．
那么切线斜率，即，
解得，切点坐标为，
因此切线斜率，因此所求切线为．
的定义域为，导函数，
当时，导函数，可得在上单调递增；
当时，令导函数，解得，
当时，；当时，，
因此在单调递增，在单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当，函数在内单调递增，在内单调递减．
根据第二问得，当时，函数有极小值，
且的极小值即．
令，，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以的取值范围为．
19.根据题意，设事件“玩家甲在游戏中得分”，
事件包括以下两种情况：
甲从袋子中随机摸出个红球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个球同色；
甲从袋子中随机摸出个白球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个白球．
则．
根据题意，设事件“玩家乙在游戏中获胜”，
由的结论，玩家在游戏中得分的概率为，
同理：玩家在游戏中得分的概率为，
玩家在游戏中得分的概率为，
玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况：
甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为；
所以玩家乙在游戏中获胜的概率为．
根据题意，玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，则可取的值为，，，，，
，即甲、乙都得分，则，
，即甲、乙一人得分，一人得分，则，
，即甲、乙都得分，或甲、乙一人得分，一人得分，则，
，即甲、乙一人得分，一人得分，则，
，即甲、乙都得分，则，
所以的分布列为
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