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2024-2025学年福建省泉州市四校联盟高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.的虚部为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.“为等比数列”是“为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.某机构对年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于万元，且小于万元，销售价格分为五组：，，，，单位：万元统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的分位数为( )
A. B. C. D.
7.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率曲线在点处的曲率为( )
A. B. C. D.
8.已知球的半径为，圆锥内接于球，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，则( )
A.
B. 曲线的一条对称轴为直线
C. 的单调递减区间为
D. 将余弦曲线向右平移个单位长度可得到曲线
10.已知，则( )
A.
B.
C. 的展开式的二项式系数之和为
D.
11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则( )
A. 点为图象的一个对称中心 B.
C. 的一个周期为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则 ______．
13.已知函数在上单调递增，则的取值范围是______．
14.已知抛物线：的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为，则 ______，该抛物线上一点非顶点处的切线与圆：相切，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，．
求；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知正方形，沿将折起到的位置如图，为的重心．
在边上找一点，使得平面，并求出的值．
在的条件下，设．
证明：平面平面．
求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为．
求椭圆的方程；
直线与椭圆交于，两点，连接，交椭圆于点，若的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券例如：消费元，则赠送元的代金券；方案二，消费每满元可进行一次抽奖例如：消费元可进行三次抽奖，每次抽奖抽到元代金券的概率为，抽到元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响每人只能选择一种方案．
若甲的消费金额为元，他选择方案二且抽到元代金券的概率为，求；
若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求；
若，请你根据顾客消费金额消费金额大于的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案．
19.本小题分
已知函数，．
判断的单调性；
若恒成立，求的取值范围；
若方程有两个不同的根，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意，，
所以，
又满足上式，所以；
因为，
所以
即．
16.解：当平面时，．
证明如下：取的中点，连接，，，
因为为的重心，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
证明：取的中点，连接，，，则，，
因为，，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
由知，直线，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设正方形的边长为，
则，，，，，，
连接，，可得，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
17.过点且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，
，
椭圆的离心率，
又，
故可列方程组为，
解得，，
故椭圆的方程为．
由题意知，直线不垂直于轴，直线经过，
设直线的方程为，，，
联立，
得，
由韦达定理得，，，
．
点坐标原点到直线的距离，
且是线段的中点，所以点到直线的距离为，
．
由，
令，
则，
上式变为，
解得或，
即或舍去，
，
故直线的方程为或．
18.甲的消费金额为元，选择方案二可进行两次抽奖，
则抽到元代金券的概率为解得或；
设抽奖次数为，抽到元代金券的次数为，
则，得，，
因为，
所以，
，
，
当时，取得最大值，所以；
当消费金额单位：元在内时，不能参与方案二，只能选择方案一，
由可得，当时，，
设消费金额为，方案一的代金券的数学期望为；
当消费金额单位：元在或或或或内时，，选择方案二；
当消费金额单位：元为或或或时，，选择方案一、方案二都可以；
当消费金额单位：元在或或或内时，，选择方案一；
综上，当消费金额单位：元在或或或或内时，选择方案一；
当消费金额单位：元在或或或或内时，选择方案二；
当消费金额单位：元为或或或时，选择方案一、方案二都可以．
19.由已知，，，
当时，，所以在和上单调递减；
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在和上单调递减；
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在和上单调递减；
综上所述，当时，在和上单调递减，
当时，在上单调递增，在和上单调递减，
当时，在上单调递增，在和上单调递减；
因为恒成立，
所以恒成立，
令，则令，则在上单调递增，
因为，所以，即，
由，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
证明：设，由得，，
当时，，此时，
因为，
，当时，，
所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且，
由得，，
因为函数在上单调递增，且，所以，
所以，故，
又，
所以，
令，则，
要证，只要证，即证，
即证，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以，即成立，故．
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