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2024-2025学年广东省潮州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，在复平面内，复数，则对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.某同学做立定投篮训练，共组，每组投篮次数和命中的次数如表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是( )
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数
命中的次数
命中的频率
A. B. C. D.
3.在中，已知，则的外接圆直径为( )
A. B. C. D.
4.平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知圆台的上、下底面半径和高的比为：：，母线长为，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，向量在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
7.如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，已知，，，点为上的点，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为日均值在以下，空气质量为一级；在，空气质量为二级；超过为超标如图是某地月日至日的日均值单位：，则下列说法正确的是( )
A. 这天的日均值逐日增大
B. 这天中日均值的平均值是
C. 从日均值看，前天的日均值的标准差小于后天的日均值的标准差
D. 这天日均值超标的有天
10.如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，的任一点，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 平面平面
D. 平面平面
11.口袋里装有红，白共个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是( )
A. B. 与互为对立事件
C. 与互斥 D. 与相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知是虚数单位，复数满足，请写出一个满足条件的复数 ______．
13.假设事件与相互独立，且，，则 ______．
14.二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则与平面所成的角的正弦值是______．
四、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求与的夹角；
求．
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的名学生，将他们的身高数据单位：按、，，，分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图
求值，并估计这名学生身高的第百分位数；
在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人身高都不低于的概率．
18.本小题分
如图，，，，四点在同一个圆上，，，为钝角，且．
求；
记为，求的值．
19.本小题分
为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为．
求和的值；
求甲、乙两人共答对道题的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.由，
可知，
则，又，
所以；
由，
可得．
16.证明：连接交于，连接，所以是的中位线，
所以，
又面，面，所以平面；
解：正方体中，平面，
所以．
17.在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，组距，
由，即，
解得，
组的频率分别为，，，，，
前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
所以第百分位数落在，设为，
则，解得，
所以这名学生身高的第百分位数为；
身高在的学生有人，
身高在的学生有人，
故身高在的学生共有人，
用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为，，
从身高在的学生中抽取名，记为，，．
从这名学生中随机选取名学生的所有结果为，，，，，，，，，，共种，
记“这人身高都不低于”，
则包含的结果有：，，，共种，
故所求概率．
18.为钝角，，则，
在中，由余弦定理，，则，
圆内接四边形对角互补，于是，又，则，
由题知为钝角，则是锐角，于是，
在中，由余弦定理，，
即，解得负值舍去；
由知，，由余弦定理，，
显然，，则，
．
19.根据题意，每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为．
则，且，
解得，；
根据题意，甲、乙两人共答对道题，有种情况，
甲答对题，乙答对题，概率；
甲答对题，乙答对题，概率；
于是甲、乙两人共答对道题的概率．
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