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2024-2025学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量的方差为，则( )
A. B. C. D.
2.已知两个等差数列，，，，及，，，，，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数求导正确的是( )
A. ， B.
C. ， D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.用数字，，，，可以组成没有重复数字的五位偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.为了解性别变量与体育锻炼变量是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示单位：人，根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附：，，下列结论不正确的是( )
锻炼 合计
不经常 经常
女生
男生
合计
A.
B. 若从这人中随机抽取人，则经常锻炼的概率为
C. 变量与变量独立，此推断犯错误的概率不超过
D. 变量与变量不独立，此推断犯错误的概率不超过
7.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点处出发，每隔秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，则质点位于的位置的概率为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若，且满足，则( )
A. B.
C. D. ，的大小关系不能确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，和的分布密度曲线如图所示则下列正确的是( )
参考数据：，，
A.
B.
C.
D. 为了保证的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留分钟时间
10.已知函数，下列正确的是( )
A. 当时，的图象关于点对称
B. 当时，，恒成立
C. 若函数在上有两个不同的极值点，则
D. 若函数在上有两个零点，则
11.我国南宋数学家杨辉在年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的以下关于杨辉三角的说法正确的是( )
A. 第行从左到右第个数是
B. 第行的第个数最大
C. 在杨辉三角中共出现了次
D. 记第行的第个数为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ______．
13.记为等比数列的前项和，若，则公比 ______．
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的两个人第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，请写出与关系式______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台．
若每次从中随机抽取台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率；
若从中随机抽取台，求这台电脑中品牌台数的分布列和期望．
16.本小题分
已知数列的首项为，且满足．
求数列的通项公式；
若，求满足条件的最大整数．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，证明：．
18.本小题分
为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取家超市作为样本，得到其广告支出单位：万元与销售额单位：万元数据如下：
超市
广告支出
销售额
当时，根据表中样本数据，计算相关系数，并推断它们的相关程度保留两位小数；
根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额关于广告支出的回归直线方程为，销售额的方差为，求的值，并计算广告支出为万元时销售额的残差；
收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设直接写出结果．
附：相关系数，回归系数，参考数据：．
19.本小题分
牛顿法是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是函数的零点，即选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为，若，则直线与轴的交点的横坐标记为，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点的横坐标记为，重复以上过程，得的近似值序列：，，，，也称为牛顿数列，根据已有精确度，当时，则为近似解．
设，当时，试用牛顿法求方程满足精确度的近似解保留两位小数；
设的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，，求数列通项公式；
设，若，函数的最小值为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.由题意得，设事件：第一次抽到品牌，设事件：第二次抽到品牌，
，，
每次不放回抽取，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率；
设挑选台电脑中品牌的台数为，则的可能取值为，，，
，
的分布列：
．
16.因为数列的首项为，且．
当时，，，，，，
累加可得，
，，
当时，也符合上式．．
，
，
，
，
，，
，的最大值为．
17.，
因为恒成立，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令，得，
时，，
时，，
所以在单调递减，在单调递增；
综上所述，当时，在单调递减，
当时，在单调递减，在单调递增；
由可得，当时，，
即证，即证，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
所以，即，
所以．
18.，
，
，
，
相关系数，
接近于，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强；
因为销售额的方差，
即，
因此，
化为，
解得，舍去，
因此，
因为回归直线方程为经过样本中心点，
把代入得，
销售量关于广告支出的回归直线方程为，
当时，代入得预测值，
而观测值，因此广告支出为万元时销售额度的残差：万元；
由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的的假设，
不满足一元线性回归模型的的假设．
19.因为函数，
因此，
因此函数在处切线的斜率为，
因为，即切点为，
因此函数在处的切线方程为，即，
由得，且，
函数在处切线的斜率为，
因为，即切点为
因此函数在处的切线方程为，即，
由得，且，
故用牛顿法求方程满足精度的近似解为；
因为，则，
可得，
过点作曲线的切线：，
令，得，
则，
又因为，是函数的两个零点，
因此，且
因此，
因此
，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
因此；
证明：因为函数，
且
因此函数在上单调递增，
由
得，
因此，且，
设，
因此函数在处切线为，
当时，，
因此，
因此，
求导得，
令，
则，
因此函数在上单调递增，
由代入得，
因此当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数最小值为，
令，，
求导得，
令，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，
因此当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，
故．
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