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2024-2025学年广东省汕头市潮南区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.从长度为，，，，的条线段中任取条，这三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的正切值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去天苹果的日销售量单位：绘制了频率分布直方图同一组数据用区间中点值作代表，则下列选项正确的有( )
A. 直方图中的
B. 过去天苹果日销售量的平均数估计值为
C. 过去天苹果日销售量的众数估计值为
D. 过去天苹果日销售量的中位数估计值为
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的一个对称中心为
C. 在区间上单调递增
D. 的图像向右平移个单位后，解析式为
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为
D. 若是棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.圆锥的底面半径扩大到原来的倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的______倍
12.一台机床生产一种零件，天中生产的次品数为：，，，，，，，，，，则这天生产次品数的方差是______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知向量，满足，．
若向量与的夹角为，求的值；
若，求的值；
若，求向量，的夹角．
15.本小题分
一个箱子里有个大小颜色相同的小球，编号为，，，，，，从中有放回地抽取次每次取个球设事件：“第一次取出的球的号码大于”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”．
求事件的概率；
判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．
16.本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．
求证：平面；
若，求三棱锥的体积．
17.本小题分
如图，四棱锥中，，，，侧面底面，为的中点．
求证：平面；
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
为锐角三角形，内角，，的对边分别为，，已知为的外心，为上一点，且，．
求角；
若，求面积的取值范围；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.；
；
．
15.由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，
；，，，，，表示次取得小球号码，
则，，，，，；，，，，，共有个样本点，
，，，，，，，，共有个样本点，
所以；
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，共有个样本点，
，，，，，
，，，共有个样本点，
所以，，
所以，
所以事件与事件相互独立．
16.解：证明：如图，取的中点，连接，，
又，分别为，的中点，
，，又，
且，
又平面，平面，
且平面，平面，
平面，平面，
又，且，平面，
平面平面，又平面，
平面；
如图，取的中点为，连接，
又三棱柱为正三棱柱，
易得平面，
又根据题意可知，的面积为，
三棱锥的体积为：
．
17.证明：取中点，连接，，
因为为中点，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，交线，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，为中点，所以，
又，、平面，所以平面，
所以平面；
解：取中点，在平面内过作交延长线于，连接，，
因为，所以，
又平面平面，交线为，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
设，则，，，，
所以二面角的余弦值为．
18.由正弦定理及，得，
因为，
所以，
又，所以，
因为，所以．
由题意知，，
由正弦定理得，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以，
所以，
故面积的取值范围为
设为外接圆的半径，
由正弦定理得，即，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
同理可得，，
所以，
所以
，
由正弦定理得，，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，
所以，即，
故的取值范围为．
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