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2024-2025学年广西南宁市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某学校高一年级有男生人，女生人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出人，则男生比女生少选( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.已知复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数对任意，都满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6.已知且，函数是减函数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，均为锐角，且，，则( )
A. B. C. D.
8.在平行四边形中，点为的重心，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
10.已知函数的图象的一条对称轴为直线，则( )
A. B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减 D. 在上有个零点
11.若图的关联结点加黑的粗点构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为二部图现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则( )
A. 这两个图都是二部图的概率为
B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为
C. 这两个图不都是二部图的概率为
D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______．
14.已知四边形是圆的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆的面积为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
不透明的袋子中装有个红球，个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出个球，且每次绿球被取出的概率为．
求袋子中绿球的个数；
若进行次取球，求这次取出的球的颜色不同的概率．
16.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
求的解析式；
证明：函数在上单调递增．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知为锐角，且．
求；
若，求的面积；
求．
18.本小题分
为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长单位：小时分成，，，，，六组根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的样本学生比在内的学生少人．
求，的值；
求样本学生运动时长的中位数；
若在，，内的样本学生运动时长的平均数分别为，，，方差分别为，求在内的样本学生运动时长的方差．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为等边三角形，，，分别是棱，的中点．
求四棱锥的体积．
在棱上是否存在点，使得平面平面？若点存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
若是棱的中点，求二面角的正弦值．
参考答案
1.
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14.
15.根据题意，袋子中装有个红球，个绿球，则绿球被取出的概率为．
则有，解得，
故袋子中绿球的个数为．
由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为，
且次取出的球的颜色相互独立．
第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为；
第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为．
故次取出的球的颜色不同的概率．
16.当时，，
所以．
因为是偶函数，
所以当时，．
所以；
证明：由可得，，
任取，，令，
则，
因为，所以，，，则，
所以，即，
所以在上单调递增．
17.因为，且，所以．
又因为，
所以由正弦定理得：．
因为为锐角，所以；
由知，．
由正弦定理，得，
所以；
由余弦定理得：，
整理得：，所以．
因为，所以．
18.由题意，，解得；
因为运动时长在内的样本学生比在内的学生少人，
所以，解得．
因为，，，
所以中位数在组内，设为，
所以，，解得，
所以样本学生运动时长的中位数为小时．
由频率分布直方图可得，在，，的频率分别为，，，
所以在内的样本学生运动时长的平均数为：
，
所以在内的样本学生运动时长的方差为：
．
19.解：连接，
因为四边形是边长为的菱形，且，
所以是边长为的等边三角形，
又是的中点，所以，且，
同理，，且，
又，所以，即，
又，平面，且，所以平面，
故四棱锥的体积为．
存在满足条件的点，此时，理由如下：
连接，记，，连接，，，，则是的中点，
因为，分别是棱，的中点，所以，且，所以，
若平面平面，因为平面平面，平面平面，
所以，所以，
故在棱上存在点，使得平面平面，且．
连接，
在中，由余弦定理得，，
由可知平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
又，平面，且，所以平面，
因为平面，所以，所以，
因为，，且为棱的中点，
所以，
所以，即，
作，垂足为，
由等面积法知，，
所以，
设点到平面的距离为，
在等腰中，，，
所以，
因为，
所以，
即，解得，
设二面角的大小为，则，
故二面角的正弦值为．
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