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2024-2025学年海南省海口市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.如图，现要用种不同的颜色对海口市的个区地图进行着色，要求有公共边的个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.某旅游公司规划一日游路线，从骑楼老街、荣山寮、万绿园、电影公社、假日海滩个景点中选出个依次游览，其中骑楼老街、荣山寮这个景点不能连续游览，则不同的游览路线的种数为( )
A. B. C. D.
8.在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数一位同学第一次猜，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜，只有一个数字猜对且在对应的位置上根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. 是偶函数 B. 是减函数
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若服从分布，且，则
D. 从名学生含学生甲中随机选出名学生代表，则学生甲被选中的概率为
11.若对恒成立，则的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，集合，则 ______．
13.的展开式中的系数是______结果用数字作答
14.，的图象与直线，交于两个不同的点，，为坐标原点，当的面积最大时，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆过点，且焦距为．
求椭圆的标准方程；
直线与交于点不与点重合，求的面积．
16.本小题分
已知数列的前项和为，若点都在函数的图象上，且．
求数列，的通项公式；
设，记数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
如图，正方形的边长为，如图，将正方形沿着对角线翻折，为原正方形的中心．
证明：平面；
翻折至四面体的体积最大时．
(ⅰ)求异面直线与所成角的大小；
(ⅱ)求与平面所成的角的正弦值．
18.本小题分
高中数学试题多选题给出的四个选项中有个或个选项符合题目要求全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得部分分答案为个选项每个得分，答案为个选项每个得分．
若一道多选题只有个选项符合题目要求，求随机选择个选项能得分的概率；
假定四个选项中有个或个选项符合题目要求的概率均为．
(ⅰ)求一道多选题随机选择个选项时得分的概率；
(ⅱ)一道多选题在能确定选项错误的前提下随机作答选择至个选项，从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？
19.本小题分
记，，．
求，并证明：；
若，使得成立，求取值范围；
求函数的单调增区间．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为焦距为，
所以，
因为椭圆过点，
所以，
解得，，
则椭圆方程；
因为，，
所以直线方程为，
即，
联立，消去并整理得，
解得或，
所以，
因为到直线的距离为．
所以的面积．
16.根据题意，点都在函数的图象上，
则，易得数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
又，所以，
故，；
证明：根据题意，由的结论，，
因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
因为，函数是增函数，
所以时，最小为，，
又，所以，所以．
17.证明：在图中，连接，，
因为和都是等腰三角形，且是正方形中心，
所以，，，，平面，
所以平面．
在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，点到平面的距离最大，
此时平面平面，
因为，所以平面．
所以，，两两垂直，如图，以为坐标原点，
，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
因为正方形的边长为，
所以，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
因为，所以．
(ⅱ)因为，，，
设平面的一个法向量，
因为，即，
令，则，，得，
设与平面所成角为，
，
即与平面所成的角的正弦值为．
依据条件得到，，然后利用线面垂直判定定理可得；
建立空间直角坐标系，计算，，然后利用空间夹角公式计算即可；计算以及面的一个法向量，然后计算，即可．
本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18.记“随机选择个选项得分”为事件，
从个选项中任选个选项，样本空间共种等可能结果，
其中正确选项种可能，
所以；
记“四个选项中有个选项符合题目要求”为事件，“选择个选项时得分”为事件．
此时，，
，，
，
即选择个选项时得分的概率为．
(ⅱ)一道多选题在能确定选项错误的前提下，
选个选项时，得分的可能取值为，，，
此时，，，
则，
选个选项时，得分的可能取值为，，，
同理得，，，
所以，
选个选项时，得分的可能取值为，，
同理得，，
所以，
因为．
19.由题意，，
所以，
证明：要证，
只需证，
由于，
，
得，
即，
得证．
存在，使得成立，
即的最大值，
由题知，，
令，，，
令，得舍去，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，即的取值范围为
，，
令，，，，
，，，
当时，，
当，，
当，，
又最多只有三个解且，
由三次函数图象，，，，
的单调增区间是，．
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