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2024-2025学年河北省衡水市、廊坊市等2地NT20名校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.某校高一年级有名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为的样本，其中身高在以下的学生人数为，则该校高一年级身高在以下的学生人数为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为( )
A. B. C. D.
5.已知随机事件和相互独立，且，，则( )
A. B. C. D.
6.已知的内角，，的对边分别为，若有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.用抽签法抽取的一个容量为的样本，，，的平均数为，方差为，用随机数表法抽取的一个容量为的样本，，，的平均数为，方差为，则样本，，，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
8.已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于非零向量的说法正确的是( )
A. 若共线，则 B. 若，则共线
C. 若，则的夹角为锐角 D. 若的夹角为锐角，则
10.已知事件，，两两互斥，若，则( )
A. B.
C. D.
11.已知正方体的棱长为，则下列说法正确的有( )
A.
B. 直线到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 平面与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是______．
13.若圆锥的母线长为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______．
14.在中，角，，的对边分别是，，，记的面积为，若，，，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，其中，．
若，求的值；
若是关于的方程的一个根，求的值．
16.本小题分
如图，直三棱柱中，为线段的中点．
证明：平面；
平面将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，向量，，且．
求；
若的外接圆的面积为，求周长的取值范围．
18.本小题分
这么近，那么美，周末到河北“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分满分分，将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题．
根据频率分布直方图，求的值；
估计这名游客对景区满意度评分的中位数；
若工作人员从这名游客中随机抽取了名，其中评分在内的有人，评分在内的有人现从这人中随机抽取人进行个别交流，求选取的人评分均在内的概率．
19.本小题分
如图，在直角梯形中，已知，，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图．
求证：；
求与平面所成的角的正弦值；
求二面角的平面角的余弦值．
参考答案
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14.
15.复数，其中，，
，
，，
解得，，
．
是关于的方程的一个根，
，即．
，解得或．
故或．
16.证明：如图：
连接交于点，连接，
则为的中点，又为线段的中点，则，
因为平面，平面，
因此直线平面．
，因此，
因此三棱柱的体积．
三棱锥的体积，
因此多面体的体积．
因此．
17.因为根据题意可知，，所以，
即，
由正弦定理可知，所以，
根据余弦定理，，
又，所以；
因为的外接圆的面积为，所以半径，
由正弦定理可知，所以，
由，知，
即，
解得，即，当且仅当时等号成立，
又，所以，
所以，即周长的取值范围为．
18.根据题意可知，，可得，
由，，
所以中位数在之间，设中位数为，那么，
解得，所以中位数为；
设在中抽取的人分别为，；在中抽取的人分别为，，；
从这人中随机抽取人，则样本空间为：
，，，，，，，，，，共有个基本事件，
设选取的人评分均在内为事件，
则中包含，，个基本事件，所以．
19.证明；因为，
则，
可得，则．
又因为平面平面，且平面平面，平面，
可得平面，
且平面，
所以．
过点作，交于点．
因为，则为的中点，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
连接，则为与平面所成的角．
由知，
因为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值．
由知平面，平面，所以．
过作交于点，连接，
因为，，平面，所以平面，
且平面，所以，
可知为二面角的平面角．
在中，，则，
可得，
所以二面角的平面角的余弦值为．
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