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2024-2025学年山西省大同市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知点，，若点在直线上，则实数( )
A. B. C. D.
4.若一组样本数据为，，，，，另一组样本数据，，，，的方差为，则，，，，这组数据的方差为( )
A. B. C. D.
5.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了组投篮，得分分别为，，，，，，，，如果学生甲的平均得分为分，那么这组数据的百分位数为( )
A. B. C. D.
6.如图，在边长为的等边中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是( )
A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米
8.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将颜色分别为红、绿、白、蓝的个小球随机分给甲、乙、丙、丁个人，每人一个，则( )
A. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
C. 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
D. 当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 当时，函数的值域为
B. 当时，函数有最小值没有最大值
C. 当时，函数在区间上单调递增
D. 当时，函数的值域为
11.已知是单位向量、且，若向量满足，则( )
A. 与夹角为 B.
C. 在上的投影向量的模为 D. 在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为；乙同学抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为的样本，则合在一起后的样本平均数为______精确到
13.乒乓球比赛一般是分制，每赢一球得分，当某局打成：平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方：平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束则事件“且甲获胜”的概率为______．
14.如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递减区间；
求函数在区间上的值域．
16.本小题分
统计局就某地居民的月收入单位：元情况调查了人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图如图，每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内．
为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中用分层随机抽样的方法抽出人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？
估计该地居民的月收入的中位数；
假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数．
17.本小题分
已知在中，，．
求；
设，求边上的高．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
求证：；
若平面，求平面与平面的夹角大小；
在的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求：的值；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
对于给定的正整数，记集合，，，，，，，其中元素称为一个维向量．特别地，称为零向量．
设，，，定义加法和数乘：，
对一组向量，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
Ⅰ对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
，；
，，；
，，，．
Ⅱ已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
Ⅲ已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：
(ⅰ)如果存在等式，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零；
(ⅱ)如果两个等式，同时成立，其中，则．
参考答案
1.
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14.
15.解：函数，
函数的最小正周期为．
令，，求得，，
可得函数的减区间为，．
在区间上，，，
即函数在区间上的值域为
16.根据题意可知，，
，
月收入在的频率为，
分层抽样抽出人中月收入在的人数为；
收入在的频率是，
收入在的频率是，
样本数据的中位数在，
且为元；
元，
平均数为元．
17.根据题意可知，，
所以，即，
又，
所以，
所以，所以，
即，所以，
所以；
由于为锐角，所以，
由，
由正弦定理，，可得，
所以，
所以．
18.求证：连接，交于，连接、，
因为四边形是正方形，所以，，
又因为，所以，
因为，所以平面，
因为平面
所以．
解：由知平面，
所以，，
所以是平面与平面所成二面角的平面角，
因数平面，平面，
所以，设，
所以，
因为为锐角，所以，
所以平面与平面的夹角大小为．
解：存在，：：，理由如下：
过作，交于，交于，过作，交于，交于，连接，
所以平面平面，平面，
所以平面，
，
，
所以．
19.Ⅰ解：对于，设，则可得，所以线性相关；
对于，设，则可得，所以，，所以线性相关；
对于，设，则可得，解得，所以线性相关；
Ⅱ解：设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关，
Ⅲ证明：，如果某个，，，，，
则，
因为任意个都线性无关，所以，，，，，都等于，
所以这些系数，，，或者全为零，或者全不为零，
(ⅱ)因为，所以，，，全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，，，
所以．
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