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复习讲义
第一篇 吃透考点
专题三 函数
微专题（四） 与反比例函数有关的综合题
类型一 反比例函数与一次函数的综合问题
方法解读 1.反比例函数与一次函数的综合问题主要有两种类型：（1）
与交点有关，常通过联立方程组，转化为一元二次方程，利用一元二次
方程的知识求解；（2）与图形性质有关，常过交点向坐标轴作垂线，
构造全等、相似图形，或利用几何条件（线段、角度等）、坐标关系，
获得等量关系求解.
图1
2.如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点
，，求 的面积有三种思路：
（1） ；
（2） ；
（3） .
3.有关反比例函数与一次函数的不等式问题：如图2，一次函数
与反比例函数的图象交于， 两点.由
直线，和 轴将坐标平面分成四个区域.在Ⅰ，Ⅲ区域内，即
当或 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，即
；在Ⅱ，Ⅳ区域内，即当或 时，一次函数图
象在反比例函数图象的上方，即 .
图2
方法应用
1.（2024·山东威海·中考）如图3，在平面直角坐标系中，直线
与双曲线交于点， .
则满足的 的取值范围__________________.
或
图3
2.（2025·广东珠海·模拟）如图4，一次函数 的图象与
反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点 和
点，过点作轴的垂线，垂足为点，且 的面积为2.
图4
（1）求， 的值.
解：因为点在反比例函数 的图象上，所以 .
，所以，所以.
图4
将点，分别代入，得， .
又反比例函数 的图象 经过第一、三象限，所以.
故反比例函数的解析式为 .
（2）结合图象直接写出关于的不等式 的解集.
图4
解：由（1）知，，结合图象可知 的解集为或 .
（3）在轴上取一点，当取得最大值时，求点 的坐标.
图4
解：如图10，作点关于 轴的对称点，连接交轴于点，连接 ，由对称的性质，得.
此时 取得最大值，最大值为 .
设直线 ′对应的函数解析式为 ，将点 ，代入，得
图10
图10
解得
所以直线 对应的函数解析式为.
令，得.
所以.
故当 取得最大值时，点的坐标为 .
类型二 反比例函数与几何图形的综合问题
方法解读 解反比例函数与几何图形的综合题，可以从以下四个方面进
行综合分析：
1.几何图形的性质，关键点、关键线段的特征.
2.关键点在平面直角坐标系中的位置，将其代数化、符号化，可得
到点的坐标.
3.函数图象上点的坐标特征，即函数图象上点的坐标满足对应的函
数解析式.
4.反比例函数中反比例系数 的几何意义.
方法应用
图5
3.（2023·广西南宁·模拟）如图5，在平面直角坐标
系中，点在反比例函数 的图象上，点
，在轴上，且，垂足为点，交 轴
于点，，的面积是2，则 的
值是( ).
A.1 B. C. D.2
图11
提示：如图11，连接，过点作 ，垂足
为点D.在中， ，
，所以 ，
.所以 为等边三角形.由此可
得，.由 的几何意义，得
【答案】A
.又反比例的图象在第一象限，所以 .
图6
4.（2025·武汉·模拟）如图6，在平面直角坐标系中，
矩形的一个顶点在坐标原点处，点 的坐标为
，反比例函数的图象经过点和点 ，则
的值是_____．
小锦囊过点作轴于点，过点作 轴于
点，设点的坐标为，可证，根据点 的坐标，
可推出 .由矩形对边平行且相等的性质，利用平移点的坐标规律
表示出点的坐标，再将点, 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求
出 的值．
图12
提示：如图12，过点作轴于点，过点 作
轴于点，则 ，所以
.由矩形的性质，得.
所以 .所以 .所以
.又点的坐标为 ，所以
.设点的坐标为，则 ，
，所以.因为，，所以可通过 平移
得到，点平移到点，点平移到点.所以 因为点
，在反比例函数的图象上，所以 .解得
，.所以.所以 ．
5.如图7，在平面直角坐标系中，反比例函数 在第一象限的
图象经过点，已知点，将线段绕点顺时针旋转 ，点 的
对应点恰好落在轴的点处，过点作轴于点，作
轴于点 ．
图7
图7
（1）求证：四边形 为正方形.
证明：轴于点，轴于点， .
四边形 为矩形. .
， ，即 .
由旋转的性质，得.
，，，
四边形 为正方形.
图7
（2）求这个反比例函数的解析式．
解：设正方形的边长为
，， ，
，
，即 .
将代入，得 .
解得 这个反比例函数的解析式为 ．
微专题练习（四）与反比例函数有关的综合题
类型一 反比例函数与一次函数的综合题
图1
1.（2022·广西桂林·模拟）如图1，在平面直角坐标系中，
点为坐标原点，直线与轴、 轴、反比例
函数的图象分别交于点，， .若
，则 的值为___.
提示：对于，令，则；令 ，
则.所以，.所以 ，
. 如图6，过点作轴于点.因为
图6
，所以，.由，得， . 所以，.所以 .因为反比例函数的图象经过点 ，所以.所以或 （舍去）．
图2
2.（2024·四川成都·中考节选）如图2，在平面直角坐
标系中，直线与直线 相交于点
，与轴交于点，点 在反比例函数
的图象上.
（1）求，， 的值.
解：将代入，得 .
所以.将代入，得 .
解得.所以.
将代入 ，得.解得 .
（2）当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点 的坐标
和 的值.
图2
解：设，由（1）知，， .
以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形有两种情况：①当 为对角线时，根据题意，得
解得
所以 ，.
图2
.
综上所述，满足条件的点的坐标为 或， .
类型二 反比例函数与几何图形的综合题
图3
3.（2023·福建·中考）如图3，正方形四个顶点分别位于
两个反比例函数和 的图象的四个分支上，则
实数 的值为( ).
A. B. C. D.3
图7
提示：连接正方形的2条对角线，由反比例函数图象的对称性和正方形的性质，可知这2条对角线相交于原点 ，如图7，过点A，B分别作 轴的垂线，垂足分别为点C，D.由正方形的性质，得 ， .所以 .所以
【答案】A
.所以，即 .
解得.又因为点A在第二象限，所以 .
图4
4.（2025·贵州安顺·中考模拟）如图4，在平面直角坐标
系中，菱形的顶点在轴上，， 两点的坐
标分别为， ，直线
与反比例函数
的图象交于， 两点．
（1）求该反比例函数的解析式及 的值.
图4
解：将代入，得.解得 .
所以反比例函数的解析式为.
因为 在反比例函数的图象上，所以 .
（2）判断点 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
图4
图8
解：点在反比例函数 的图象上.
理由：如图8，连接，，相交于点.
因为四边形 是菱形，所以 与 互相垂直平分.
因为 ，，所以，轴.
又点在 轴 上，所以.所以，即 .
在在中，令，得.所以点在反比例函数 的图象上．

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