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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题四 三角形
第22讲 锐角三角函数
聚焦核心
1.锐角三角函数
图形 锐角三角函数
__________________
2.特殊角的三角函数值
_ _ _ __ _ __
_ __ _ __ _ _
_ __ ___ ____
1
3.直角三角形的边、角关系
图形 边、角关系 ___________________________________ 三边关系
角的关系
边角关系
90
4.解直角三角形的基本类型和方法
图形 已知条件 解法
___________________________ 一边及一锐角
图形 已知条件 解法
___________________________ 两边
续表
5.解直角三角形的应用
基 本 概 念 仰角、 俯角 __________________________________________________
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角
基 本 概 念 坡度、 坡角
续表
基 本 概 念 方向 角
南偏东
续表
第22讲 锐角三角函数
案例分析
考点一 锐角三角函数
名师指导
1.求锐角三角函数值时，必须找到或构造出含该锐角的直角三角形，
才能利用锐角三角函数的定义求解.
2.求锐角三角函数值时，要找准该锐角的对边与邻边.
例1 数学文化 （2024·四川资阳·中考）第14届国际数学教育大会 会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 拼成的大正方形.若，则 的值为( ).
图1
图2
A. B. C. D.
提示：设，则.因为，四边形 为正
方形，所以，.从而得 .由勾股定理，
得.所以 .
图1
图2
【答案】C
思路点拨 观察图形可发现是 的一个锐角，它的对边是
，故求出与的比值，即可得到 的值.
考点专练
1.（2025·四川攀枝花·中考改编）中，，，的对边分别为 ，
，.已知，，，则 的值为( ).
C
A. B. C. D.
图3
2.（2025·湖南邵阳·模拟） 在正方形网格纸中的位置
如图3，则 的值为( ).
D
A. B. C. D.
考点二 解直角三角形
名师指导
1.在一个三角形中，已知角度或锐角的三角函数值求线段的长，通
常考虑利用解直角三角形的知识求解.
2.解题时，如果题目中没有已知的直角三角形，那么常作三角形的
高构造直角三角形.
图4
例2 （2024·浙江·中考）如图4，在 中，，是边上的中线， ，， .
（1）求 的长.
思路点拨
解： ，，， 由勾股定理得
，
.
图4
（2）求 的值.
图4
解： 是边上的中线，
， .
.
思路点拨
考点专练
图5
3.（2024·甘肃临夏·中考）如图5，在 中，
，，则 的长是( ).
B
A.3 B.6 C.8 D.9
4.（2025·广西桂林·模拟改编）在中， ， ，
，则 ____.
16
图6
5.（2025·广西河池·模拟）如图6，在 中，
，为上一点，， ，
.
（1）求 的长.
解：在中， ，，，可设 ，.
由，得.
解得 ，（不合题意，舍去）
， ，
.
图6
（2）求 的值.
解：过点作于点.
在 中，，可设， .
由，得 .
解得，（不合题意，舍去）
.
∴ .
考点三 解直角三角形的实际应用
名师指导
用锐角三角函数知识解决生活中的实际问题，实质上就是解直角三
角形，常见的有方位角问题、坡度（坡比）问题、距离测量问题、高度
测量问题等.解决这类问题要把握好各类图形的特征，构造出直角三角
形，利用锐角三角函数和勾股定理等知识解直角三角形.
图7
例3 跨学科题（2024·安徽·中考）科技社团在学校游
泳池进行一次光的折射实验，如图7，光线自点 处发
出，经水面点折射到池底点处.已知 与水平线的
夹角，点到水面的距离，点
处水深为，点到池壁的水平距离 .
点，， 在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直
平面内.记入射角为 ，折射角为 ，求 的值.
（结果精确到0.1；参考数据：， ，
）
图7
思路点拨 观察图形，可发现 和 都不在直
角三角形中，需要将它们等量代换到直角三角
形中或构造直角三角形.由题意可知，法线与
池壁平行，则 ，可在 中探
究 的值.过点 作池底的垂线，则构造出
含 角的直角三角形，在这个直角三角形中
探究 的值.
图7
解：过点作于点 .
由题意可知，，， ，
，
.
考点专练
图8
6.（2024·吉林长春·中考）2024年5月29日16时12分，长春净
月一号卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.如图8，
当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点
的距离为，仰角为 ，则此时火箭距海平面的高度
为( ).
A
A. B. C. D.
图9
7.（2025·广东广州·中考模拟）如图9，海中有一座小岛，在
点测得小岛在北偏东 方向上，渔船从 点出发，由西
向东航行到达点，在点测得小岛 恰好在正北
方向上，此时渔船与小岛 的距离为( ).
D
A. B.
C. D.
8.（2024·四川眉山·中考）如图10，斜坡的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子长为，则大树的高为____________ .
图10
提示：如图28，过点作水平地面的平行线，交 的延长线于点，则.在 中， .
设， ，
图28
图28
【答案】
.由此可得，， .
，
.故大树的高度为 .
9.传统文化（2024·四川成都·中考）如图11，我国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图12，产生日影的杆子垂直于地面， 的长为8.在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子 在太阳光线照射下产生的日影为.已知 ，
图11
图12
，求春分和秋分时杆子 的日影长度.（结果精确到0.1；参考数据：
，， ，，， ）
图11
图12
解：在中，， ，
.在中， ， ，
.
故春分和秋分时杆子的日影长度为 .
图11
图12
第22讲 锐角三角函数
靶向锤炼
靶向练
1.（2025·江苏无锡·中考模拟） 的值为( ).
B
A. B. C. D.
图1
2.（2024·云南·中考）如图1，在 中，若
，，，则 的值为( ).
C
A. B. C. D.
图2
3.（2025·广西南宁·模拟）如图2，某水库堤坝横断
面迎水坡的坡角为 ， ，堤坝高
，则迎水坡面 的长度为( ).
B
A. B. C. D.
图3
4.（2025·湖南益阳·中考改编）如图3，在平面直角坐标
系中，有三点，，，则
的值为( ).
C
A. B. C. D.
图4
5.（2024·四川雅安·中考）在数学课外实践活动
中，某小组测量一栋楼房 的高度（如图4），
他们在处仰望楼顶，测得仰角为 ，再往楼
的方向前进至处，测得仰角为 ，那么
这栋楼的高度为( ).（人的身高忽略不计）
A. B. C. D.
提示：由 ， ，得 .从而得 .在R中， ，所以 .
A
6.（2025·湖南长沙·模拟）如图5，在中， ，
，是边的中点，则的长为_________.（用含 的三角函数值表示）
图5
图6
7.（2025·安徽合肥·模拟）如图6，在 中，已知 ， ，，点 在边上，且 ，求 的长.（结果精确到，参考数据： ，， ，，， ）
图6
解：在中， ， ，
，∴ .
在 中，， ，
.
攻坚练
8.（2025·四川眉山·中考模拟）如图7，一艘渔船在海上点处测得灯塔 在它
的北偏东 方向，渔船向正东方向航行到达点 处，测得灯
塔在它的北偏东 方向.若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔
的最短距离是_________ .（结果保留根号）
图7
图7
提示：过点作于点 .根据题意可知，
， .在 中，
.在 中，
， ，即
.解得.故渔船与灯塔 的
最短距离是 .
9.（2024·江西·中考）将图8所示的七巧板拼成图9所示的四边形 ，
连接，则 的值为__.
图8
图9
提示：设与的交点为.由题意可知 ，从而
得.又，所以四边形是平行四边形.由此可得 与
互相平分，即.又，所以.在
中， .
图10
10.（2024·吉林·中考）吉林省广播电视塔又称“吉
塔”.某直升机于空中 处探测到吉塔，此时飞行高度
，如图10.从直升机上看塔尖 的俯角
，看塔底的俯角 ，求吉
塔的高度.（结果精确到 ，参考数据：
，， ）
图41
解：如图41，过点作，垂足为点
，，， .
四边形是矩形.
，
， ，
.
.
在中，，∴
.
答：吉塔的高度约为 .
拔尖练
11.（2024·湖南张家界·中考模拟）阅读下列材料：
在中，,,所对的边分别为,,.求证： .
图11
证明：如图11，过点作于点 ，则
在中， ,
在中， ,
.
根据上面的材料，解决下列问题：
图12
（1）如图12，在中，,, 所对的边分别
为,,.求证： .
图42
证明：如图42，过点作于点.
在 中，.
在 中，
.
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图13，规划中的一片三角形区域需美化，已知 ， ， ，求这片区域的面积.（结果保留根号，参考数据：， ）
图13
图43
解：如图43，过点作于点
， ，∴ .
在中， .
由（1）中结论知，，即， .
∴ .

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