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2024-2025 学年河南省新乡市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量 = ( , 3)， = (9, 3)，且 // ，则 =( )
A. 3 B. 33 3 C. 9 3 D. 9 3
2.已知集合 = { 3,0,3}， = { | 2 = 2 }，则 ∪ =( )
A. {0} B. { 3,0,2,3} C. { 3,2,3} D. { 3, 2,0,3}
3.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = 2 + 3，则log3[ (0) + ( 3)] =( )
A. 1 + log32 B. 2 + log32 C. 1 D. 2
4.某校学生会随机抽查了本校 100 名学生的身高(单位： )，将得到的数据按[150,160)，[160,170)，
[170,180)，[180,190]分为 4 组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这 100 名学生中身高低于 170
的人数为( )
A. 56 B. 52 C. 48 D. 44
5.从 1 5 这 5 个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于 8 的概率为( )
A. 710 B.
3
10 C.
1
2 D.
2
5
6.小华为测量 ， (视为质点)两地之间的距离，选取 ， (与 ， 在同一水平面上)两点进行测量，已知
在 的正东方向上， = 2 = 40 米， 在 的北偏东 60°方向上， 在 的南偏西 30°方向上， = 30
米，则 ， 两地之间的距离是( )
A. 40 米 B. 10 13米 C. 10 19米 D. 60 米
7.已知半径为 2 的球 与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积
为( )
A. 24 B. 36 C. 18 D. 30
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8.若实数 ， ， 满足 2 = ( 12 )
+ 1 = 2 + 1，则 ， ， 的大小关系不可能是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 1 = (5 3 ), 2 =
4 4
，则( )
A. | 1| > | 2|
B. 1的实部与虚部之和等于 2的实部与虚部之和
C. 1的共轭复数为 3 5
D. 2在复平面内对应的点位于第四象限
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件 表示“第一次硬币正面朝上”，事件 表示“第二次硬币反面朝上”，事
件 表示“两次硬币都正面朝上”，事件 表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与 相互独立 B. 与 相互独立 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
11.在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为线段 ， 1的中点， 为正方形 1 1 内(包含边界)的
动点，则下列说法正确的是( )
A.三棱锥 1 1 的体积为定值
B.不存在点 ，使得平面 1 //平面
C.存在唯一的点 ，使得 1 //平面 1
D.直线 与平面 2 5所成角的正弦值最大为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 1.不等式2 1 > 0 的解集为______，2 1 ≥ 1 的解集为______．
13.在正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 1 = 4， ， 分别是棱 ， 1的中点，若正四棱台
1 1 1 1的侧面积为 12 3，则异面直线 1与 所成角的余弦值是______．
14.赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正
方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形
和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中 ， ， ， ， ， 分别是 ，
， ， ， ， 的中点， 是正六边形 的中心.若 = + ，
则 + =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润.甲分别随机抽测
了 产地和 产地各 6 个玉菇甜瓜的重量(单位： )，将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下：
第一组数据( 产地)： 1194 1200 1201 1202 1210
第二组数据( 产地)：1192 1194 1199 1203 1209
已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第 60 百分位数和第二组数据的中位数相等．
(1)求 ， ；
(2)请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = cos( + )( > 0,0 < < ) 的最小正周期为 ，且 ( )的图象关于点( 8 , 0)对称．
(1)求 ( )的解析式；
(2) 若函数 ( ) = 2 ( ) ( 3 + 1) ( + 8 )，求 ( )的值域和单调区间．
17.(本小题 15 分)
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜 2 局，此人最终获胜，比赛结束；4 局
比赛后，没人累计获胜 2 局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比
1 1 1
赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为2 , 6 , 3，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求比赛 3 局结束的概率；
(2)求甲最终获胜的概率．
18.(本小题 17 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3sin2 + 3sin2 3sin2 + 2 = 0．
(1)求 ．
(2)已知 = 5， = 3．
①若△ 内切圆的圆心为 ，求 ；
②在线段 ， ， 上分别存在点 ， ， ( , , 分别与线段 ， ， 的端点均不重合)，使得 △ =
1△ = 4 △ ，求 △ 的最小值．
19.(本小题 17 分)

定义两个多面体 公共1， 2的相似度 = + ，其中 公共是多面体 1， 2重合部分的体积， 1， 2分别1 2 公共
1
是多面体 1， 2的体积.如图，在三棱锥 中， = (0 < < 2 )， ， 分别是棱 ， 的中点，
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直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
(1) 1当 = 4时，求三棱锥 与三棱锥 的相似度 ．
(2)是否存在 ，使得三棱锥 与三棱锥 25的相似度 = 43？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 1 , + ∞) ( 12 2 , 1]
13.56
14.53
15.已知第一组数据( 产地)： 1194 1200 1201 1202 1210，
第二组数据( 产地)：1192 1194 1199 1203 1209，
(1)由题意得 1210 = 1209 1192，得 = 1193．
因为 6 × 60% = 3.6，所以第一组数据的第 60 百分位数为 1201 ，
1199+
又第二组数据的中位数为 2 ，
1199+
所以 2 = 1201，得 = 1203；
(2) 1193+1194+1200+1201+1202+1210第一组数据的平均数为 6 = 1200 ，
72+62+0+12+22+102
方差为 6 =
95
3，
1192+1194+1199+1203+1203+1209
第二组数据的平均数为 6 = 1200 ，
82+62+12+32+32+92 = 100方差为 6 3 ，
95 < 100因为 3 3 ，所以估计 产地的玉菇甜瓜重量更稳定．
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16.(1) 2 根据 ( )的周期 = = ，可得 = 2，

因为 ( )的图象关于点( 8 , 0)对称，所以 2 × 8 + = 2 + ( ∈ )，
结合 0 < < ，解得 = 4，可得 ( ) = cos(2 +

4 )；

(2) ( ) = 2 ( ) ( 3 + 1) ( + 8 ) = 2cos(2 + 4 ) ( 3 + 1)cos(2 + 2 )
2 2
= 2( 2 2 2 2 ) + ( 3 + 1) 2 = 2 + 3 2
= 2( 2 6 + 2

6 ) = 2 (2 + 6 )，
因为 sin(2 + 6 ) ∈ [ 1,1]，所以 ( ) = 2 (2 +

6 ) ∈ [ 2,2]，
由 2 + 2 ≤ 2 + 6 ≤ 2 + 2

， ∈ ，解得 3 + ≤ ≤ 6 + ， ∈ ，

所以 ( )的单调递增区间为[ 3 + , 6 + ]， ∈ ，

同理，由2 + 2 ≤ 2 + 6 ≤
3
2 + 2 ， ∈ ，
2
解得 ( )的单调递减区间为[ 6 + , 3 + ]， ∈ ，
综上所述， ( )的值域为[ 2,2]，
单调递增区间为[ + , 3 6 + ]， ∈
2
，单调递减区间为[ 6 + , 3 + ]， ∈ ．
17.(1)根据题意，设 =“比赛 3 局结束”，
比赛 3 局结束的情况有以下两种：
1 1
第一种情况，甲获胜，即前 2 局比赛中甲获胜 1 局，且第 3 局比赛甲获胜，其概率为( )32 × 2 = 4；
2 1 3 ( 1 )2 × 2 × 2 = 4第二种情况，乙获胜，即前 局比赛中乙获胜 局，且第 局比赛乙获胜，其概率为 3 3 27．
故 ( ) = 14 +
4 = 4327 108；
(2)根据题意，设 =“甲最终获胜”，
甲最终获胜的情况有以下三类：
1 1
第一类情况，比赛三局甲获胜，即甲连胜 2 局，比赛结束，其概率为( 22 ) = 4；
1 1
第二类情况，比赛是局甲获胜，即前 2 局比赛中甲获胜 1 局，且第 3 局比赛甲获胜，其概率为( )32 × 2 = 4；
第三类情况，比赛五局甲获胜，即 4 局比赛后甲最终获胜，包含三种情况：
1 1 1
①甲获胜 1 局，其他 3 局平局，其概率为 1 = ( 2 ) × ( )
3
6 × 4 = 108，
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1 1 1
②前 3 局比赛中甲获胜 1 局，其他 2 局平局，且第 4 局比赛甲获胜，其概率为 2 = ( 2 )
2 × ( )26 × 3 = 48，
③前 3 局比赛中甲获胜 1 局，乙获胜 1 局，其他 1 局平局，且第 4 局比赛甲获胜，
1
其概率为 3 = ( 2 )
2 × 1 1 13 × 6 × 6 = 12，
1 1 1 1 1 265
故甲最终获胜的概率 = 1 + 2 + 3 = 4 + 4 + 108 + 48 + 12 = 432．
18.(1)因为 3sin2 + 3sin2 3sin2 + 2 = 0，
所以由正弦定理得： 2 + 2 2 + 2 33 = 0，
2 2 2
则由余弦定理可得： +
2 +
3
3 = +
3
3 = 0，
所以 = = 3．
2
因为 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2)①如图，
由题意得 = 1 = 15 3△ ．2 4
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 49，得 = 7．
△ = 2 3设 内切圆的半径为 ，则 △ = ， + + 2
因为∠ = 3，所以 ∈ (0, )．
②
如图，设 = > 0， = > 0，则 + = 3，
9 3
因为 + = 3 ≥ 2 ，所以 ≤ 4，当且仅当 = = 2时，等号成立，

由正弦定理 = =

，得 =

=
3 3，
14
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= 1 = 1由 △ 2 4 △ =
1
4 ×
1
2 × 3 × 5 ，
15
得 = 4，所以 =
15
4 ．
1 1
由 △ = 2 = 4 =
1 1
△ 4 × 2 × 3 × 7 ，
21 21
得 = =4，所以 4 ．
因为 = 1 1 15 21 3 3△ 2 = 2 (5 4 ) × (7 4 ) × 14
15 3 3 3 15 3 3 3 9
= 4 (1 4 ) × (1 4 ) = 4 (1 4 4 + 16 )
15 3 3( + ) 9 15 3 9 9
= 4 [1 4 + 16 ] = 4 (1 4 + 16 )
= 15 34 (1
27
16 )．
因为 △ = △ △
1
△ △ = 2 △ △ ，
= 15 3 15 3 27所以 △ 8 4 (1 16 )
≥ 15 3 15 3 (1 27 × 4 ) = 15 3，8 4 16 9 16
所以 15 3△ 的最小值为 ．16
19.(1)设△ 的面积为 ，点 到平面 的距离为 ，
1
则三棱锥 的体积 1 = 3 ，
如图，
取棱 的中点 ，连接 ，
因为 ， 分别是棱 ， 的中点，
1
所以 // , = 2 ，则△ ∽△
1
， △ = 4 △ ，
因为 = 14，所以 是线段 的中点，
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1 1
则 △ = 2 △ = 8 △ ，
因为 是线段 的中点，
所以点 到平面 的距离 是点 到平面 的距离 的 2 倍，
则三棱锥 = 1 1 1 1 1 1的体积 3 △ = 3 × 8 △ × 2 = 48 △ = 48 ，
又三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
5
所以三棱锥 与三棱锥 的重合部分的体积 公共 = 1 = 16 ，
1 1
因为 // ，且 = 3，所以 = = 3，
即 = 3 2，所以 = 3，
同理可得： = 12 ， //
1
，且 = 3，
= 所以 ，即 = 3
2
，所以 = 3，

所以 =
则 // ，则△ ∽△ ， 9△ = 4 △ ，
1 3
因为 = 4，所以点 到平面 的距离为4 ，
则三棱锥 1 3 1 9 3 9的体积 2 = 3 △ × 4 = 3 × 4 △ × 4 = 16 ，
5
故三棱锥 与三棱锥 15的相似度 = 161 + 9 5
= ；
3 16 16
28
(2)因为 = |
| = 2 |
|
，所以 ，
| | |
= ，
|
= 2 = 所以 △ △ 2 △ ，
因为 是线段 的中点，
所以点 到平面 的距离 是点 到平面 的距离 的 2 倍，
所以三棱锥 1 1的体积 ′ = 3 △ = 3 ×

2
1
△ × 2 = 12 △ = 12 ，
4
则三棱锥 与三棱锥 的重合部分的体积 公共 = 1 ′ = 12 ，

2 // = = = 1 2 因为 ，且 2 2 ，

所以 = ，即 =
2 2 1
1 2 = 1 2 ，
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1 2
所以 = 1 ，
= 1同理可得： 2 ， //
1 2
，且 = 2 2 ，
2 2 1
所以 = ，即 = 1 2 = 1 2 ，
1 2
所以 = 1 ，

所以 = ，则 / / ，△ ∽△ ，
(1 )2
所以 △ = (1 2 )2 △ ．
| |
因为点 到平面 的距离为 ，
|
=
|
所以点 到平面 的距离为(1 ) ，
则三棱锥 = 1的体积 2 3 △ × (1 )
= 1 (1 )
2 3
3 × (1 2 )2 △ × (1 ) =
(1 )
3(1 2 )2 ，
4
故三棱锥 与三棱锥 的相似度 = 12
1 + (1 )
3
3
4
3(1 2 )2 12
= 4
3+20 2 17 +4
8 2 11 +4 ．
4 3+20 2 17 +4 25
假设存在满足条件的 ，则 8 2 11 +4 = 43，
所以 43 3 165 2 + 114 18 = 0，
( 3)(43 2 36 + 6) = 0 = 18+ 66 = 18 66所以 ，解得 43 或 43 或 = 3，
1 18 66
因为 0 < < 2，所以 = 43 ，
18 66 25
即存在 = 43 ，使得三棱锥 与三棱锥 的相似度 = 43．
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