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湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·澧县期末）下列说法不正确的是（　　）
A．买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件
B．连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上
C．从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件
D．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性
【答案】B
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】解：买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件，正确，故A不符合题意；
连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上，是可能发生也可能不发生的，错误，故B符合题意；
从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件，正确，故C不符合题意；
掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能有2，4，6三种结果，掷出的点数是3的倍数的可能性有3，6两种结果，故掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性，正确，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】（1）根据不确定事件的概念求解；
（2）根据抛1次硬币，出现正反面的机会均等求解；
（3）根据摸到每个球的机会相同求解；
（4）分别求得掷出点数是2的倍数与3的倍数的可能性大小，比较后得出结论．
2．（2024七下·澧县期末）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ a＞b，∴，，故A符合题意，C不符合题意；
∵ a＞b，∴，，故B，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质一即可判断A和C，根据不等式的性质二可判断B，根据不等式的性质三即可判断D.
3．（2024七下·澧县期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵阴影部分圆心角为，
∴该顾客获奖的概率为：，
故答案为：D．
【分析】根据概率公式，求出阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值即可．
4．（2024七下·澧县期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在数轴上表示不等式的解集如图，
故答案为：A．
【分析】先分别解两个不等式，再在数轴上表示不等式的解集，即可求得．
5．（2024七下·澧县期末）如图，直线，等边的两个顶点A，分别在直线和上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作，
∵是等边三角形，
∴，
∵直线，，
∴，
∴，
∵直线，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据是等边三角形求得，再根据平行线的性质求得，从而可得，然后根据直线，，可得，再根据两直线平行，内错角相等可得的度数．
6．（2024七下·澧县期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
7．（2024七下·澧县期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　）
A．关于x的方程的解是
B．关于x的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于x，y的方程组的解是
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点，
A．关于的方程，的解是，故A不符合题意；
B．关于的不等式的解集是，故B符合题意；
C．当时，函数的值比函数的值大，故C不符合题意；
D．关于的方程组的解是，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据两个一次函数图象的交点的坐标即为一元一次方程的解，二元一次方程的解，即可判断A和D；根据图象可得，当x＞1时，y=mx在y=kx+b图象的上方，即为mx＞kx+b，当x＜1时，y=mx在y=kx+b图象的下方，即为mx＜kx+b，即可判断B和C.
8．（2024七下·澧县期末）如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是（　　）
A．5 B．4 C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
在与中，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：A．
【分析】先利用正方形的性质，根据证明，再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积．
9．（2024七下·澧县期末）某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，假设某一商品的定价为 ，并列出不等式为 ，那么小鱼告诉妈妈的信息是（　　）
A．买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元
B．买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元
C．买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元
D．买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：A、买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元
所列的方程为：0.3（2x-100）＜1000，故A不符合题意；
B、买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元
所列的方程为：0.3×2x-100＜1000，故B不符合题意；
C、买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元
所列的方程为：0.7（2x-100）＜1000，故C符合题意；
D、买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元
所列的方程为：0.7×2x-100＜1000，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用打折后的售价＜1000，分别列出各选项中的不等式，可得出判断。
10．（2024七下·澧县期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意可得AP是EC的垂直平分线，即∠ADB＝∠ADC＝90°，AE=AC，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∵ AE=AC，
∴ AP 也是∠CAE的角平分线，
∵ ∠C＝2∠CAD，
∴ 3∠CAD＝90°，即 ∠CAD＝30°，
∴ ∠EAD＝30°，
∴=45°-30°=15°．
故答案为：A．
【分析】根据作图可知AP是EC的垂直平分线，可得AE＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，等腰三角形的性质可得∠CAD的度数，根据∠BAE=∠BAD-∠EAD即可求得.
11．（2024七下·澧县期末）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为　 　个．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵共摸了次球，发现次摸到红球，
∴摸到红球的概率约是，
∴这个口袋中红球的个数约为（个），
故答案为：．
【分析】根据多次试验发生的频率稳定值来估计概率，再用总数乘以概率，即可求得红球的个数．
12．（2024七下·澧县期末）如图，直线，，，则的度数为　 　．
【答案】108°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：108°．
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠1=∠DCB=63°，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠2=∠B+∠DCB，从而代值计算可得答案．
13．（2024七下·澧县期末）如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
，
，
，
，
∵ ∠ADB=60°，
∴ ∠CAD=∠ADB-∠C=60°-30°=30°，
，
，
故答案为：6．
【分析】利用等角对等边的性质求得∠B，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求得BD，根据三角形的外角性质求得∠CAD=∠C，推出CD=AD，即可求得.
14．（2024七下·澧县期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设绳索长为尺，木柱高（x-3）尺，
根据题意得，，
故答案为：．
【分析】设绳索长为尺，则木柱高（x-3）尺，根据勾股定理列出方程即可．
15．（2024七下·澧县期末）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：依题得：有且仅有两个整数解，
则整数解为，，
．
故答案为：．
【分析】先根据口诀“大小小大中间找”得出该不等式组的解集，再根据该不等式组仅有两个整数解为0、1，可得字母a的取值范围.
16．（2024七下·澧县期末）如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：
又轴，
，
，轴
是等腰三角形，且
同理，，，是等腰三角形
当时，
点的坐标为
故答案为：．
【分析】由等边对等角得，由等腰三角形的三线合一得=2，根据平行线的性质同理可推出，……，，然后将x=32代入，算出对应的函数值，即可得到坐标．
17．（2024七下·澧县期末）（1）解不等式：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：
系数化为1得：；
（2），
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．

【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式求出解集即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题．
18．（2024七下·澧县期末）解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，得：，解得：；
把，代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：；

（2）解：，
，得：，解得：；
把，代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2） 利用加减消元法解二元一次方程组即可 .
（1）解：
，得：，解得：；
把，代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：；
（2）解：，
，得：，解得：；
把，代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
19．（2024七下·澧县期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）求出摸出的球是黄球的概率；
（2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？
【答案】（1）解：∵ 袋子中装有5个红球和10个黄球，
∴ 随机摸出一球是黄球的概率为；
（2）解：设红球有x个，则黄球为个，
，
解得，，9-x=2，
答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个．
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）设红球有x个，则黄球为个，根据摸出两种球的概率相同列出方程，解方程即可．
20．（2024七下·澧县期末）中，垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，与的交点恰好在的一边上．
（1）求证：是的中点；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：连接，∵垂直平分线段，
∴．
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）证明：∵，∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；同位角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，即可得到证明结论；
（2）根据等边对等角得到，然后根据三线合一得到，即可得到，再根据同为还哦相等，两直线平行证明结论．
（1）连接，
∵垂直平分线段，
∴．
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
21．（2024七下·澧县期末）某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段，分别表示该工作室每天的成本（单位：元），收入（单位：元）与销售量（单位；）个）之间的函数关系．求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？
【答案】设工作室每天的成本与销售量x之间的函数关系式为∵该函数图象过点，
∴
解得
∴
设工作室每天的收入与销售量x之间的函数关系式为
∵该函数图象过点
∴
解得
∴
当时，
解得
∴由图可知该工作室一天制作工艺品超过15个时开始盈利．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】利用待定系数法求出来年各个函数解析式，根据题意得到，即可得到关于x的方程，求出x的值即可．
22．（2024七下·澧县期末）如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段的两个端点在小方格的格点上（小正方形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段，使且，垂足为点，并证明作图合理的原因．
【答案】如图，取格点C，连接，则线段BC即为所求．取格点M和N，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】取格点C，连接，则线段BC即为所求．取格点M和N，然后根据SAS得到，然后根据全等三角形的性质证明结论即可．
23．（2024七下·澧县期末）近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头盔可有效降低安全隐患．某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等．
（1）求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？
【答案】（1）解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；
（2）解：设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，则，
解得：，
花费的钱数为：，
m越大，费用越高，
∴取时，花费最少，最少为：，
答：商店第二次购进头盔最少花费4410元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，根据“ 甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等 ”列方程组求解即可；
（2）设购只甲种头盔，根据题意列出不等式求出m的取值范围，表示出花费的钱数，然后根据取值范围得到最小值即可．
（1）解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；
（2）解：设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，
则，
解得：，
花费的钱数为：，
m越大，费用越高，
∴取时，花费最少，最少为：，
答：商店第二次购进头盔最少花费4410元．
24．（2024七下·澧县期末）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接．
问题发现：
如图1，当点在边上时，
（1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________．
尝试探究：
（2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长．
【答案】（1），
（2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由如下：
，
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
．
（3），
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：，
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
．
故答案为：，；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用得到，即可得到，．再根据等腰直角三角形的性质得到可得，即可得到，，进而证明结论．
（2）根据等腰直角三角形的性质，利用得到，即可得到，．再根据等腰直角三角形的性质得到可得，即可得到，证明结论．
（3） 根据等腰直角三角形的性质，利用得到，即可得到，．然后推理得到，利用勾股定理求出的长即可解题．
1 / 1湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·澧县期末）下列说法不正确的是（　　）
A．买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件
B．连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上
C．从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件
D．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性
2．（2024七下·澧县期末）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·澧县期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·澧县期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·澧县期末）如图，直线，等边的两个顶点A，分别在直线和上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·澧县期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·澧县期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　）
A．关于x的方程的解是
B．关于x的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于x，y的方程组的解是
8．（2024七下·澧县期末）如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是（　　）
A．5 B．4 C． D．3
9．（2024七下·澧县期末）某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，假设某一商品的定价为 ，并列出不等式为 ，那么小鱼告诉妈妈的信息是（　　）
A．买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元
B．买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元
C．买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元
D．买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元
10．（2024七下·澧县期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·澧县期末）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为　 　个．
12．（2024七下·澧县期末）如图，直线，，，则的度数为　 　．
13．（2024七下·澧县期末）如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为　 　．
14．（2024七下·澧县期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为　 　．
15．（2024七下·澧县期末）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为　 　．
16．（2024七下·澧县期末）如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为　 　．
17．（2024七下·澧县期末）（1）解不等式：；
（2）解不等式组：．
18．（2024七下·澧县期末）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（2024七下·澧县期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）求出摸出的球是黄球的概率；
（2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？
20．（2024七下·澧县期末）中，垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，与的交点恰好在的一边上．
（1）求证：是的中点；
（2）求证：．
21．（2024七下·澧县期末）某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段，分别表示该工作室每天的成本（单位：元），收入（单位：元）与销售量（单位；）个）之间的函数关系．求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？
22．（2024七下·澧县期末）如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段的两个端点在小方格的格点上（小正方形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段，使且，垂足为点，并证明作图合理的原因．
23．（2024七下·澧县期末）近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头盔可有效降低安全隐患．某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等．
（1）求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？
24．（2024七下·澧县期末）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接．
问题发现：
如图1，当点在边上时，
（1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________．
尝试探究：
（2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】解：买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件，正确，故A不符合题意；
连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上，是可能发生也可能不发生的，错误，故B符合题意；
从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件，正确，故C不符合题意；
掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能有2，4，6三种结果，掷出的点数是3的倍数的可能性有3，6两种结果，故掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性，正确，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】（1）根据不确定事件的概念求解；
（2）根据抛1次硬币，出现正反面的机会均等求解；
（3）根据摸到每个球的机会相同求解；
（4）分别求得掷出点数是2的倍数与3的倍数的可能性大小，比较后得出结论．
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ a＞b，∴，，故A符合题意，C不符合题意；
∵ a＞b，∴，，故B，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质一即可判断A和C，根据不等式的性质二可判断B，根据不等式的性质三即可判断D.
3．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵阴影部分圆心角为，
∴该顾客获奖的概率为：，
故答案为：D．
【分析】根据概率公式，求出阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值即可．
4．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在数轴上表示不等式的解集如图，
故答案为：A．
【分析】先分别解两个不等式，再在数轴上表示不等式的解集，即可求得．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作，
∵是等边三角形，
∴，
∵直线，，
∴，
∴，
∵直线，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据是等边三角形求得，再根据平行线的性质求得，从而可得，然后根据直线，，可得，再根据两直线平行，内错角相等可得的度数．
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
7．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点，
A．关于的方程，的解是，故A不符合题意；
B．关于的不等式的解集是，故B符合题意；
C．当时，函数的值比函数的值大，故C不符合题意；
D．关于的方程组的解是，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据两个一次函数图象的交点的坐标即为一元一次方程的解，二元一次方程的解，即可判断A和D；根据图象可得，当x＞1时，y=mx在y=kx+b图象的上方，即为mx＞kx+b，当x＜1时，y=mx在y=kx+b图象的下方，即为mx＜kx+b，即可判断B和C.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
在与中，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：A．
【分析】先利用正方形的性质，根据证明，再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积．
9．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：A、买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元
所列的方程为：0.3（2x-100）＜1000，故A不符合题意；
B、买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元
所列的方程为：0.3×2x-100＜1000，故B不符合题意；
C、买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元
所列的方程为：0.7（2x-100）＜1000，故C符合题意；
D、买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元
所列的方程为：0.7×2x-100＜1000，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用打折后的售价＜1000，分别列出各选项中的不等式，可得出判断。
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意可得AP是EC的垂直平分线，即∠ADB＝∠ADC＝90°，AE=AC，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∵ AE=AC，
∴ AP 也是∠CAE的角平分线，
∵ ∠C＝2∠CAD，
∴ 3∠CAD＝90°，即 ∠CAD＝30°，
∴ ∠EAD＝30°，
∴=45°-30°=15°．
故答案为：A．
【分析】根据作图可知AP是EC的垂直平分线，可得AE＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，等腰三角形的性质可得∠CAD的度数，根据∠BAE=∠BAD-∠EAD即可求得.
11．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵共摸了次球，发现次摸到红球，
∴摸到红球的概率约是，
∴这个口袋中红球的个数约为（个），
故答案为：．
【分析】根据多次试验发生的频率稳定值来估计概率，再用总数乘以概率，即可求得红球的个数．
12．【答案】108°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：108°．
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠1=∠DCB=63°，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠2=∠B+∠DCB，从而代值计算可得答案．
13．【答案】6
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
，
，
，
，
∵ ∠ADB=60°，
∴ ∠CAD=∠ADB-∠C=60°-30°=30°，
，
，
故答案为：6．
【分析】利用等角对等边的性质求得∠B，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求得BD，根据三角形的外角性质求得∠CAD=∠C，推出CD=AD，即可求得.
14．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设绳索长为尺，木柱高（x-3）尺，
根据题意得，，
故答案为：．
【分析】设绳索长为尺，则木柱高（x-3）尺，根据勾股定理列出方程即可．
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：依题得：有且仅有两个整数解，
则整数解为，，
．
故答案为：．
【分析】先根据口诀“大小小大中间找”得出该不等式组的解集，再根据该不等式组仅有两个整数解为0、1，可得字母a的取值范围.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：
又轴，
，
，轴
是等腰三角形，且
同理，，，是等腰三角形
当时，
点的坐标为
故答案为：．
【分析】由等边对等角得，由等腰三角形的三线合一得=2，根据平行线的性质同理可推出，……，，然后将x=32代入，算出对应的函数值，即可得到坐标．
17．【答案】解：（1）
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：
系数化为1得：；
（2），
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．

【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式求出解集即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题．
18．【答案】（1）解：
，得：，解得：；
把，代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：；

（2）解：，
，得：，解得：；
把，代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2） 利用加减消元法解二元一次方程组即可 .
（1）解：
，得：，解得：；
把，代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：；
（2）解：，
，得：，解得：；
把，代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
19．【答案】（1）解：∵ 袋子中装有5个红球和10个黄球，
∴ 随机摸出一球是黄球的概率为；
（2）解：设红球有x个，则黄球为个，
，
解得，，9-x=2，
答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个．
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）设红球有x个，则黄球为个，根据摸出两种球的概率相同列出方程，解方程即可．
20．【答案】（1）证明：连接，∵垂直平分线段，
∴．
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）证明：∵，∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；同位角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，即可得到证明结论；
（2）根据等边对等角得到，然后根据三线合一得到，即可得到，再根据同为还哦相等，两直线平行证明结论．
（1）连接，
∵垂直平分线段，
∴．
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
21．【答案】设工作室每天的成本与销售量x之间的函数关系式为∵该函数图象过点，
∴
解得
∴
设工作室每天的收入与销售量x之间的函数关系式为
∵该函数图象过点
∴
解得
∴
当时，
解得
∴由图可知该工作室一天制作工艺品超过15个时开始盈利．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】利用待定系数法求出来年各个函数解析式，根据题意得到，即可得到关于x的方程，求出x的值即可．
22．【答案】如图，取格点C，连接，则线段BC即为所求．取格点M和N，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】取格点C，连接，则线段BC即为所求．取格点M和N，然后根据SAS得到，然后根据全等三角形的性质证明结论即可．
23．【答案】（1）解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；
（2）解：设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，则，
解得：，
花费的钱数为：，
m越大，费用越高，
∴取时，花费最少，最少为：，
答：商店第二次购进头盔最少花费4410元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，根据“ 甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等 ”列方程组求解即可；
（2）设购只甲种头盔，根据题意列出不等式求出m的取值范围，表示出花费的钱数，然后根据取值范围得到最小值即可．
（1）解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；
（2）解：设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，
则，
解得：，
花费的钱数为：，
m越大，费用越高，
∴取时，花费最少，最少为：，
答：商店第二次购进头盔最少花费4410元．
24．【答案】（1），
（2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由如下：
，
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
．
（3），
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：，
，
即，
又，，
，
，，
中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
．
故答案为：，；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用得到，即可得到，．再根据等腰直角三角形的性质得到可得，即可得到，，进而证明结论．
（2）根据等腰直角三角形的性质，利用得到，即可得到，．再根据等腰直角三角形的性质得到可得，即可得到，证明结论．
（3） 根据等腰直角三角形的性质，利用得到，即可得到，．然后推理得到，利用勾股定理求出的长即可解题．
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