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2024-2025学年度下学期期末教学质量监测
高一数学试题
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. 2 C. D. 4
2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
3. 下列选项正确的是（ ）
A 空间三点确定一个平面
B. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
D. 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（ ）
A. 210石 B. 220石 C. 230石 D. 240石
5. 若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
6. 在中，，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ）
A. B. 5 C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，则（ ）
A. 不垂直
B. ，使得共线
C. 当时，
D. 当时，在方向上的投影向量为
10. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则是等边三角形
C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为
D. 若是锐角三角形，则的取值范围是
11. 如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（ ）
A. 平面PAD B. 平面平面
C. Q到平面的距离为2 D. 当时，三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次．这5人投中次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是_________．
13. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是_________．
14. 祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面的距离为，则平面截半球所得的较小部分的几何体的体积等于___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）估计这500名中国AI大模型用户年龄平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）；
（3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数.
16. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
17. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，底面，E是棱PB的中点．
（1）证明：平面平面．
（2）求PB与平面PCD所成角的余弦值．
（3）记过点E且与平面PAD平行平面为α，求α截四棱锥所得截面的面积．
19. 记斜内角的对边分别为，已知，且．
（1）求角；
（2）为边的中点，若，求的面积；
（3）如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
2024-2025学年度下学期期末教学质量监测
高一数学试题
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】9.5
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）．
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）

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