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广东省深圳市龙华区2024—2025学年下学期八年级数学期中试题
1．（2025八下·深圳期中）若，则下列不正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·深圳期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·深圳期中）下列分解因式正确的一项是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·深圳期中）一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的，你能求出比大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（　　）
A． B． C． D．不能确定
5．（2025八下·深圳期中）乘坐轨道交通出行绿色低碳、舒适便捷．如图1是我市一个地铁站入口双翼闸机的示意图，它是轴对称图形．如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·深圳期中）若是完全平方式，则m的值是（　　）
A．4 B．8 C． D．
7．（2025八下·深圳期中）多项式分解因式为，其中为整数，则的值不可能是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·深圳期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“流星数”．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
9．（2025八下·深圳期中）分解因式： 　 　
10．（2025八下·深圳期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为　 　．
11．（2025八下·深圳期中）在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点：再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为　 　．
12．（2025八下·深圳期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是　 　．
13．（2025八下·深圳期中）如图，四边形中，，，，，则　 　．
14．（2025八下·深圳期中）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
15．（2025八下·深圳期中）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
16．（2025八下·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、，直线．
（1）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（2）画出关于直线对称的，并写出的坐标；
（3）能否由绕某一点旋转得到，若能，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度．若不能，请说明理由．
17．（2025八下·深圳期中）如图1，在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（1）要证直线AO垂直平分BC，只需证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只需证　 　=　 　，　 　=　 　.
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
18．（2025八下·深圳期中）为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元．
（1）求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？
（2）初二年级计划购买这两种公仔共个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍．请设计最省钱的购买方案，并说明理由．
19．（2025八下·深圳期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
（1）完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
（2）结合你所画的函数图象，写出函数的两条性质：
①　 　；
②　 　
（3）当时，自变量的取值范围是　 　；
（4）一次函数图象与函数的图象只有一个交点，那么的取值范围是　 　．
20．（2025八下·深圳期中）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
（1）初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为　 　，长为　 　．
（2）【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
①的度数为 ▲ ，的度数为 ▲ ；
②求证：点为线段的中点．
（3）【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b
∴a+2＜b+3
∴该选项说法正确，不符合题意；
B、∵a＜b
∴a-2＜b-2
∴该选项说法正确，不符合题意；
C、∵a＜b
∴2a＜2b
∴该选项说法正确，不符合题意；
D、∵a＜b
∴-a＞-b
∴该选项说法错误，符合题意
故答案为：D.
【分析】
本题考查不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题关键.
不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。
不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变 。
根据不等式的基本性质对每个选项进行分析判断。通过观察不等式两边进行的运算（加、减、乘同一个数），对照相应的不等式性质，来确定不等号方向是否正确，由此可判断出答案.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】
本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键.
轴对称图形定义： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；
中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、∵
∴该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】
本题考查因式分解的方法，熟知因式分解的方法是解题关键.根据因式分解的方法：提公因式法和公式法；对于选项A：根据完全平方公式即可作出判断，对于选项B：根据提公因式法先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可作出判断；对于选项C：根据平方差公式分解即可作出判断；根据选项D：先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可作出判断；由此可判断出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】
解：如下图所示：
∵∠3=120°
∴∠4=180°-∠3=60°
∵∠2+∠5+∠4=180°
∴∠2+∠5=120°
∴∠5=120°-∠2
∵∠1+∠5=180°
∴∠1+120°-∠2=180°
∴∠1-∠2=60°
即∠1比∠2大60°
故答案为：B
【分析】
本题考查三角形内角和定理和平角的定义，熟知三角形内角和定理是解题关键.
根据平角的定义可知：∠4=180°-∠3=60°，再根据三角形内角和定理可知：∠2+∠5+∠4=180°，移项得：∠2+∠5=120°，移项得：∠5=120°-∠2；再根据平角的定义可知：∠1+∠5=180°，代入∠5的等式化简得：∠1-∠2=60°，由此可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】
解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如下图所示：
∵AC=64，∠ACP=30°
∴在Rt△AEC中，AE=AC=32cm
∵BD=64，∠BDQ=30°
∴在Rt△BFD中，BF=BD=32cm
∵AB=8cm
∴EF=AE+AB+BF=32+32+8=72cm
故答案为：C
【分析】
本题考查直角三角形的性质，熟知直角三角形的性质是解题关键.过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半可知：在Rt△AEC中，AE=AC=32cm，在Rt△BFD中，BF=BD=32cm；再根据线段的和差运算可知：EF=AE+AB+BF=32+32+8=72cm，由此可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，∴，故D正确.
故选：D.
【分析】由完全平方式公式，可知m是首尾乘积的2倍。
7．【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
解：（x+p）（x+q）=+px+qx+pq=+(p+q)x+pq
∵+ax+6分解因式为（x+p）（x+q）
∴+ax+6=（x+p）（x+q）
∴+ax+6=+(p+q)x+pq
∴pq=6，p+q=a
∴当p=1，q=6时，p+q=1+6=7，即a=7
当p=2，q=3时，p+q=2+3=5，即a=5
当p=-1，q=-6时，p+q=-1+(-6)=-7，即a=-7
当p=-2，q=-3时，p+q=-2+(-3)=-5，即a=-5
综上，a=5
∴a的值不可能是6
故答案为：A
【分析】
本题主要考查多项式乘法与因式分解的关系。通过将因式分解后的式子展开，对比系数，利用整数的因数分解来确定未知系数的值即：pq=6，p+q=a，再根据pq=6，讨论p与q的值，从而确定p+q的值，从而可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】
解：设两个正整数分别为m、n（m＞n），
根据定义可知：“流星数”c==（m+n)(m-n)
∴当m-n=1时，此时m=n+1
c==（m+n)(m-n)=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1
当n=1时，c=3；当n=2时，c=5；当n=3时，c=7，……
此时c是大于1的奇数；
当m-n=2时，此时m=n+2
c==（m+n)(m-n)=(n+2+n)(n+2-n)=2(2n+2)=4(n+1)
当n=1时，c=8；当n=2时，c=12；当n=3时，c=16，……
此时a是大于4的4的倍数；
当m-n=3时，此时m=n+3
c==（m+n)(m-n)=(n+3+n)(n+3-n)=3(3n+2)=9n+6；
当n=1时，c=15；当n=2时，c=24；当n=3时，c=33，……
从小到大列举 “流星数”：
奇数形式的 “流星数”：3，5，7，9，11，13，15，17，19，……；
4的倍数形式的 “流星数”：8，12，16，20，……；
将它们从小到大排列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20 ，……，
∴第13个 “流星数” 是20。
【分析】
本题考点主要涉及平方差公式的应用，根据“流星数”的定义，通过设未知数，根据正整数的性质进行分类讨论，对数字规律的探索与归纳，以及按照特定规则对数列进行排序并确定特定位置的数值。
9．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
10．【答案】（4，3）
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【解答】
解：点A(1，1)向右平移3个单位长度为（4，1）；再向上平移2个单位长度为（4，3）
∴点B的坐标为（4，3）
故答案为：（4，3）.
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，熟知平面直角坐标系中点的平移规律是解题关键.
平面直角坐标系中点的平移规律是：左右平移时，纵坐标不变，向右平移几个单位横坐标加上几个单位，向左平移几个单位横坐标减去几个单位；上下平移时，横坐标不变，向上平移几个单位纵坐标加上几个单位，向下平移几个单位纵坐标减去几个单位；根据点的平移规律，代入数据即可得出答案.
11．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：由题意得：AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD
∵∠B=∠CAD
∴∠B=∠CAD=∠BAD
∴∠BAC=2∠B
∵∠C=90°
∴∠BAC+∠B=90°
2∠B+∠B=90°
∴∠B=30°
∴∠CAD=30°
∴AD=2CD
∵∠B=∠BAD
∴AD=BD
∴BD=2CD
∵BC=6
∴CD+BD=6
∴CD+2CD=6
∴CD=2
∴BD=4
故答案为：4.
【分析】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的性质，角平分线的尺规作图，熟知角平分线的尺规作图和直角三角形的性质是解题关键.
根据角平分线的定义可知：∠CAD=∠BAD，结合∠B=∠CAD，等量代换得：∠BAD=∠D，即：∠BAC=2∠B，根据直角三角形两锐角互余可得：∠BAC+∠B=90°，代入数据可得：∠B=30°，根据直角三角形的性质：直角三角形中30°所对的直角边=斜边的一半可得：AD=2CD，再根据等腰三角形的判定：等边对等角可得：AD=BD，即BD=2CD，再根据线段的和差运算可知：CD+BD=6，代入数据可解得：BD=4，由此可得出答案.
12．【答案】（1，-2）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N
∴∠BMA=∠CNA=90°
∴∠BAM+∠ABM=90°
∵点A（-3，0）点B（-1，4）
∴OA=3；BM=4，OM=1
∴AM=-OA-OM=2
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°
∴∠BAC=90°，AB=AC
∴∠BAM+∠NAC=90°
∴∠ABM=∠NAC
∴在Rt△ABM和Rt△NAC中
∴Rt△ABM≌Rt△NAC（HL）
∴CN=AM=2，AN=BM=4
∴ON=AN-OA=1
∴点C坐标为（1，-2）
故答案为：（1，-2）
【分析】
本题考查坐标与图形变换——旋转，熟知旋转的性质是解题关键.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，
如下图：
∴∠DEA=90°，∠DFC=90°
∵∠ADC=60°
∴AD=2DE
∵AD=2
∴DE=1
∴AE==
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°
∴∠BAC=30°
∴AB=2BC
∵AB=
∴BC=
∴AC==
∵∠AEC=90°
∴CE==
∴AE=CE
∴∠EAC=∠ECA=45°
∴∠FCD=45°
∴∠FDC=90°-∠FCD=45°
∴CF=DF
∵CE=，DE=1
∴CD=CE+DE=1+
∴CF=DF=CD=
∴×BC×DF=××=
故答案为：
【分析】
本题考查勾股定理、直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理是解题关键.过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理可求出：AE==，BC=，AC==，再根据线段的和差运算可求出：CD=CE+DE=1+，CF=DF=CD=
，最后根据三角形面积公式=×底×高，代入数据即可得出答案.
14．【答案】解：2（x+2）-6≤1-x
2x+4-6≤1-x
2x+x≤1-4+6
3x≤3
x≤1
其解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式
【解析】【分析】
本题考查一元一次不等式的解法和在数轴上表示解集，熟知一元一次不等式的解法是解题关键.解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出答案.
15．【答案】（1）x＜4
（2）x≥-1
（3）
（4）-1≤x＜4
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解：(1)去括号得：3x-3＜1+2x
移项得：3x-2x＜1+3
合并同类项得：x＜4
故答案为：x＜4
（2）去分母得：x-9≤10x
移项得：x-10x≤9
合并同类项得：-9x≤9
系数化为1得：x≥-1
故答案为：x≥-1
（4）由（1）和（2）可知：该不等式组的解集为：-1≤x＜4
【分析】
本题考查一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解法是解题关键.根据一元一次不等式组的解法：先求出每个一元一次不等式的解集，再根据口诀“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小解不了”，可得出不等式组的解集，由此可得出答案.
16．【答案】（1）解：如下图；由图可知：
点(-2，4)；(-1，5)；点(-1，2)；
（2）解：如下图；
由图可知：点(-4，2)；(-5，1)；点(-2，1)；
（3）解：能，旋转中心坐标为（0，0）；旋转角度为90°
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】
本题考查作图——轴对称变换和旋转变换，熟知关于y轴对称点的特点和关于直线y=-x对称点的特点是解题关键.
（1）关于y轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.根据关于y轴对称点的特点，代入数据即可写出点的坐标，并在平面直角坐标系中画出，顺次连接即可得到；
（2）设点（x，y）关于直线y=-x对称的点为（x'，y')，根据关于直线y=-x对称点的特点，代入数据即可写出点的坐标，并在平面直角坐标系中画出，顺次连接即可得到；
（3）旋转中心和旋转角度的确定方法：通过作对应点连线的垂直平分线找旋转中心，通过对应点与旋转中心连线的夹角确定旋转角度；根据旋转中心和旋转角度的确定方法，并观察图形可知：旋转中心坐标为（0，0）；旋转角度为90°，由此可得出答案.
17．【答案】（1）AB；AC；OB；OC
（2）解： 如下图，
（3）解：连接BD、CE交于点O，直线AO垂直平分CD，理由如下：
如下图所示：
∴在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE
∴∠ACD=∠ADC
∴∠ACD+∠BCD=∠ADE+∠ADC
∴∠BCD=∠CDE
∴在△BCD和△ECDA中
∴△BCD≌△ECD（SAS）
∴∠BDC=∠ECD
∴OC=OD
∴AO垂直平分CD
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
解：（1）要证AO垂直平分BC，只要点A、点O都在BC的垂直平分线上，即AB=AC；OB=OC；
（2） 如图，连接BE、CD交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO为BC的垂直平分线
.
【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题关键.线段垂直平分线的性质定理逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
（1） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：只要AB=AC；OB=OC即可说明AO垂直平分BC；
(2) 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE相交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO垂直平分BC，由此可得出答案；
（3） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE交于点O，则直线AO垂直平分CD，根据题中的已知条件和全等三角形的判定定理SAS可证得△ABC≌△AED，再根据全等三角形的性质定理：对应边相等，对应角相等可知：AC=AD，∠ACB=∠ADE，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠ACD=∠ADC，由等式的性质可知：∠BCD=∠CDE，再结合BC=DE和CD=CD，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△BCD≌△ECD，再根据全等三角形的性质定理：对应角相等可知：∠BDC=∠ECD，再根据等腰三角形的判定：等角对等边可知：OD=OC，由此可知直线AO为CD边的垂直平分线，由此可得出结论.
18．【答案】（1）解：设1个熊猫哪吒的售价为x元，1个白龙敖丙的售价为y元
由题意得：；
解得
答：1个熊猫哪吒的售价为30元，1个白龙敖丙的售价为20元.
（2）解：设初二年级计划购买熊猫哪吒m个，白龙敖丙n个
由题意得：
由①得：n=100-m ③
把③代入②得：m≥3(100-m)
m≥300-3m
4m≥300
m≥75
设购买这两种公仔的总费用为w元
由题意得：w=30m+20(100-m)=30m+2000-20m=10m+2000
∴当m=75时，
此时n=100-75=25（个）
答：初二年级购买熊猫哪吒75个，白龙敖丙25个时，购买最省钱。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式，准确找到题中等量关系并列出方程是解题关键.
（1）设1个熊猫哪吒的售价为x元，1个白龙敖丙的售价为y元，根据 购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元和购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元，可列出关于x与y的二元一次方程组，即：，解得x与y的值，即可得出答案；
（2）设初二年级计划购买熊猫哪吒m个，白龙敖丙n个，根据熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍可得m与n的不等关系，即：m≥3n；再根据计划购买这两种公仔共100个，可得：m+n=100，代入不等关系，解得m的取值范围，再设总费用为w元，根据（1）的结论，列于w与m的一次函数式，再根据一次函数的性质：当m=75时，，即可得出答案.
19．【答案】（1）解：6；2；图像如下：
（2）当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大；；当1＜x＜3时，y=2
（3）-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
（4）k＜2或
【知识点】函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1） 当x=-1时，y=；
当x=3时，y=；
当x≤1时，y==1-x+3-x=-2x+4；
当1＜x＜3时，y==x-1+3-x=2；
当x≥3时，y==x-1+x-3=2x-4；
即，
由此可画出图像如下图所示：
故答案为：6；2；
（2）由（1）图像可知：
①当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大；②当1＜x＜3时，y=2；
（3）当4＜＜7时，即4＜y＜7
由（1）图像可知：当y=4时，x=0或x=4；当y=7时，x=-1.5或x=5.5
∴当4＜＜7时，x的取值范围是：-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
故答案为：-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
（4） 由（1）知：
一次函数y=kx+1必过点（0，1）
∵一次函数y=kx+1与y=的图像只有一个交点
∴k＜2
当1＜x＜3时，一次函数y=kx+1与y=的图像只有一个交点，此时一次函数y=kx+1必过点（3，2）
∴将点（3，2）代入y=kx+1得：2=3k+1
∴k=
综上：k的取值范围是：k＜2或k=
故答案为：k＜2或k=
【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，分段函数的图象，熟知一次函数的性质是解题关键.
（1） 根据函数解析式，将x=-1和x=3分别代入函数解析式即可算出所对应的函数值，并再平面直角坐标系中描点、连线、画图即可得出答案；
（2） 根据（1）中的图像，写出两条性质即可；
（3） 观察函数图象可知：当y=4时，x=0或x=4；当y=7时，x=-1.5或x=5.5；根据图像即可得出x的取值范围；
（4）根据一次函数y=kx+1必过点（0，1），再根据两函数图象的交点即可求出k的取值范围；由此可得出答案.
20．【答案】（1）2；4
（2）解：①15°|15°；
证明 ：②延长CF、AD相交于点H，如下图所示：
∵AD∥BC
∴∠H=∠BCF=15°
∵∠DEF=15°
∴∠H=∠DEF
∴HD=DE
∵DE=BC
∴HD=BC
∴在△HDF和△CBF中
∴△HDF≌△CBF（AAS）
∴DF=BF
∴点F为线段BD的中点
（3）BE=2或BE=6或BE=
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】
解：（1）如下图
∵∠ACB=90°，∠B=30°
∴∠BAC=180°-∠B-∠BCA=60°
∵△ADE绕点A旋转，点E落在边AB上
∴AC=AE
∴△ACE为等边三角形
∴AC=CE=AE=2
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2
∴AB=2AC=4
∵AE=2
∴BE=AB-AE=2
∵∠AED=90°，∠ADE=30°，AE=2
∴AD=2AE=4
∴DE==
∵∠AED=90°
∴∠AEB=90°
∴BD==4
故答案为：2；4
（2）①∵AD∥BC
∴∠DAB=∠ABC=30°
∵∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴∠DAE=90°-∠EDA=60°
∴∠BAE=∠DAE-∠BAD=30°
∴∠CAE=∠CAB-∠BAE=30°
∵AE=AC
∴∠AEC=∠ACE=75°
∴∠BAF=∠BCA-∠ACE=15°，∠DEF=180°-∠AEC-∠DEA=15°
故答案为：15°；15°；
（3） 由图（2）可知：BE=2
当△ADE绕点A旋转过程中，点E恰好落在BA边延长线上时，连接CD、BD，如下图所示：
∵∠AED=90°，AB=4，AE=2
∴BE=AB+AE=6
当△ADE绕点A逆时针旋转60°，AD落在边AC的延长线上时，连接BE，BD，如下图所示：
∵AB=AD，∠BAD=60°
∴∠ABD=∠ADB=60°
∴BD=AB=4
∵∠ADE=30°
∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°
∵DE=2
∴BE==
综上所述：BE=2或BE=6或BE=
【分析】
本题考查直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，熟知直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质和旋转的性质是解题关键.
（1）根据直角三角形的性质：30°所对的直角边时斜边的一半可知：AB=2AC=4，AD=2AE=4
根据旋转的性质：旋转前后对应边相等可知：AE=AC，再根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可知：△ACE是等边三角形，即AE=AC=CE=2；再根据勾股定理可得：DE==；最后再根据勾股定理：在Rt△BDE中，BD==4，由此可得出答案；
（2） ①根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DAB=∠ABC=30°，再根据角的和差运算可得：∠CAE=∠CAB-∠BAE=30°，再根据等腰三角形底角的计算方法可得：∠AEC=∠ACE=75°，最后由角的和差运算可得：∠BAF=∠BCA-∠ACE=15°，∠DEF=180°-∠AEC-∠DEA=15°，由此可得出答案；
②延长CF、AD相交于点H，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠H=∠BCF=15°，等量代换得：∠H=∠DEF，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：HD=DE；等量代换得：HD=BC，根据全等三角形的判定定理AAS，结合∠DFH=∠BFC可证得：△HDF≌△CBF，由全等三角形的性质：对应边相等可知：DF=BF，由此可得出结论；
（3）分三种情况，由图（2）可知：BE=2；当△AED绕点A旋转过程中，当点E恰好落在BA边延长线上时，根据线段的和差运算可知：BE=AB+AE=6；当△AED绕点A逆时针旋转60°时，AD落在边AC的延长线上时，根据等边三角形的判定定理可知：△ABD为等边三角形，再根据角的和差运算可知：∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°，利用勾股定理：在Rt△BDE中，BE==，由此可得出答案.
1 / 1广东省深圳市龙华区2024—2025学年下学期八年级数学期中试题
1．（2025八下·深圳期中）若，则下列不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b
∴a+2＜b+3
∴该选项说法正确，不符合题意；
B、∵a＜b
∴a-2＜b-2
∴该选项说法正确，不符合题意；
C、∵a＜b
∴2a＜2b
∴该选项说法正确，不符合题意；
D、∵a＜b
∴-a＞-b
∴该选项说法错误，符合题意
故答案为：D.
【分析】
本题考查不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题关键.
不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。
不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变 。
根据不等式的基本性质对每个选项进行分析判断。通过观察不等式两边进行的运算（加、减、乘同一个数），对照相应的不等式性质，来确定不等号方向是否正确，由此可判断出答案.
2．（2025八下·深圳期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】
本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键.
轴对称图形定义： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；
中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断出答案.
3．（2025八下·深圳期中）下列分解因式正确的一项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、∵
∴该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】
本题考查因式分解的方法，熟知因式分解的方法是解题关键.根据因式分解的方法：提公因式法和公式法；对于选项A：根据完全平方公式即可作出判断，对于选项B：根据提公因式法先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可作出判断；对于选项C：根据平方差公式分解即可作出判断；根据选项D：先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可作出判断；由此可判断出答案.
4．（2025八下·深圳期中）一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的，你能求出比大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】
解：如下图所示：
∵∠3=120°
∴∠4=180°-∠3=60°
∵∠2+∠5+∠4=180°
∴∠2+∠5=120°
∴∠5=120°-∠2
∵∠1+∠5=180°
∴∠1+120°-∠2=180°
∴∠1-∠2=60°
即∠1比∠2大60°
故答案为：B
【分析】
本题考查三角形内角和定理和平角的定义，熟知三角形内角和定理是解题关键.
根据平角的定义可知：∠4=180°-∠3=60°，再根据三角形内角和定理可知：∠2+∠5+∠4=180°，移项得：∠2+∠5=120°，移项得：∠5=120°-∠2；再根据平角的定义可知：∠1+∠5=180°，代入∠5的等式化简得：∠1-∠2=60°，由此可得出答案.
5．（2025八下·深圳期中）乘坐轨道交通出行绿色低碳、舒适便捷．如图1是我市一个地铁站入口双翼闸机的示意图，它是轴对称图形．如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】
解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如下图所示：
∵AC=64，∠ACP=30°
∴在Rt△AEC中，AE=AC=32cm
∵BD=64，∠BDQ=30°
∴在Rt△BFD中，BF=BD=32cm
∵AB=8cm
∴EF=AE+AB+BF=32+32+8=72cm
故答案为：C
【分析】
本题考查直角三角形的性质，熟知直角三角形的性质是解题关键.过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半可知：在Rt△AEC中，AE=AC=32cm，在Rt△BFD中，BF=BD=32cm；再根据线段的和差运算可知：EF=AE+AB+BF=32+32+8=72cm，由此可得出答案.
6．（2025八下·深圳期中）若是完全平方式，则m的值是（　　）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，∴，故D正确.
故选：D.
【分析】由完全平方式公式，可知m是首尾乘积的2倍。
7．（2025八下·深圳期中）多项式分解因式为，其中为整数，则的值不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
解：（x+p）（x+q）=+px+qx+pq=+(p+q)x+pq
∵+ax+6分解因式为（x+p）（x+q）
∴+ax+6=（x+p）（x+q）
∴+ax+6=+(p+q)x+pq
∴pq=6，p+q=a
∴当p=1，q=6时，p+q=1+6=7，即a=7
当p=2，q=3时，p+q=2+3=5，即a=5
当p=-1，q=-6时，p+q=-1+(-6)=-7，即a=-7
当p=-2，q=-3时，p+q=-2+(-3)=-5，即a=-5
综上，a=5
∴a的值不可能是6
故答案为：A
【分析】
本题主要考查多项式乘法与因式分解的关系。通过将因式分解后的式子展开，对比系数，利用整数的因数分解来确定未知系数的值即：pq=6，p+q=a，再根据pq=6，讨论p与q的值，从而确定p+q的值，从而可得出答案.
8．（2025八下·深圳期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“流星数”．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】
解：设两个正整数分别为m、n（m＞n），
根据定义可知：“流星数”c==（m+n)(m-n)
∴当m-n=1时，此时m=n+1
c==（m+n)(m-n)=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1
当n=1时，c=3；当n=2时，c=5；当n=3时，c=7，……
此时c是大于1的奇数；
当m-n=2时，此时m=n+2
c==（m+n)(m-n)=(n+2+n)(n+2-n)=2(2n+2)=4(n+1)
当n=1时，c=8；当n=2时，c=12；当n=3时，c=16，……
此时a是大于4的4的倍数；
当m-n=3时，此时m=n+3
c==（m+n)(m-n)=(n+3+n)(n+3-n)=3(3n+2)=9n+6；
当n=1时，c=15；当n=2时，c=24；当n=3时，c=33，……
从小到大列举 “流星数”：
奇数形式的 “流星数”：3，5，7，9，11，13，15，17，19，……；
4的倍数形式的 “流星数”：8，12，16，20，……；
将它们从小到大排列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20 ，……，
∴第13个 “流星数” 是20。
【分析】
本题考点主要涉及平方差公式的应用，根据“流星数”的定义，通过设未知数，根据正整数的性质进行分类讨论，对数字规律的探索与归纳，以及按照特定规则对数列进行排序并确定特定位置的数值。
9．（2025八下·深圳期中）分解因式： 　 　
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
10．（2025八下·深圳期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为　 　．
【答案】（4，3）
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【解答】
解：点A(1，1)向右平移3个单位长度为（4，1）；再向上平移2个单位长度为（4，3）
∴点B的坐标为（4，3）
故答案为：（4，3）.
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，熟知平面直角坐标系中点的平移规律是解题关键.
平面直角坐标系中点的平移规律是：左右平移时，纵坐标不变，向右平移几个单位横坐标加上几个单位，向左平移几个单位横坐标减去几个单位；上下平移时，横坐标不变，向上平移几个单位纵坐标加上几个单位，向下平移几个单位纵坐标减去几个单位；根据点的平移规律，代入数据即可得出答案.
11．（2025八下·深圳期中）在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点：再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：由题意得：AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD
∵∠B=∠CAD
∴∠B=∠CAD=∠BAD
∴∠BAC=2∠B
∵∠C=90°
∴∠BAC+∠B=90°
2∠B+∠B=90°
∴∠B=30°
∴∠CAD=30°
∴AD=2CD
∵∠B=∠BAD
∴AD=BD
∴BD=2CD
∵BC=6
∴CD+BD=6
∴CD+2CD=6
∴CD=2
∴BD=4
故答案为：4.
【分析】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的性质，角平分线的尺规作图，熟知角平分线的尺规作图和直角三角形的性质是解题关键.
根据角平分线的定义可知：∠CAD=∠BAD，结合∠B=∠CAD，等量代换得：∠BAD=∠D，即：∠BAC=2∠B，根据直角三角形两锐角互余可得：∠BAC+∠B=90°，代入数据可得：∠B=30°，根据直角三角形的性质：直角三角形中30°所对的直角边=斜边的一半可得：AD=2CD，再根据等腰三角形的判定：等边对等角可得：AD=BD，即BD=2CD，再根据线段的和差运算可知：CD+BD=6，代入数据可解得：BD=4，由此可得出答案.
12．（2025八下·深圳期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是　 　．
【答案】（1，-2）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N
∴∠BMA=∠CNA=90°
∴∠BAM+∠ABM=90°
∵点A（-3，0）点B（-1，4）
∴OA=3；BM=4，OM=1
∴AM=-OA-OM=2
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°
∴∠BAC=90°，AB=AC
∴∠BAM+∠NAC=90°
∴∠ABM=∠NAC
∴在Rt△ABM和Rt△NAC中
∴Rt△ABM≌Rt△NAC（HL）
∴CN=AM=2，AN=BM=4
∴ON=AN-OA=1
∴点C坐标为（1，-2）
故答案为：（1，-2）
【分析】
本题考查坐标与图形变换——旋转，熟知旋转的性质是解题关键.
13．（2025八下·深圳期中）如图，四边形中，，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，
如下图：
∴∠DEA=90°，∠DFC=90°
∵∠ADC=60°
∴AD=2DE
∵AD=2
∴DE=1
∴AE==
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°
∴∠BAC=30°
∴AB=2BC
∵AB=
∴BC=
∴AC==
∵∠AEC=90°
∴CE==
∴AE=CE
∴∠EAC=∠ECA=45°
∴∠FCD=45°
∴∠FDC=90°-∠FCD=45°
∴CF=DF
∵CE=，DE=1
∴CD=CE+DE=1+
∴CF=DF=CD=
∴×BC×DF=××=
故答案为：
【分析】
本题考查勾股定理、直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理是解题关键.过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理可求出：AE==，BC=，AC==，再根据线段的和差运算可求出：CD=CE+DE=1+，CF=DF=CD=
，最后根据三角形面积公式=×底×高，代入数据即可得出答案.
14．（2025八下·深圳期中）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：2（x+2）-6≤1-x
2x+4-6≤1-x
2x+x≤1-4+6
3x≤3
x≤1
其解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式
【解析】【分析】
本题考查一元一次不等式的解法和在数轴上表示解集，熟知一元一次不等式的解法是解题关键.解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出答案.
15．（2025八下·深圳期中）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
【答案】（1）x＜4
（2）x≥-1
（3）
（4）-1≤x＜4
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解：(1)去括号得：3x-3＜1+2x
移项得：3x-2x＜1+3
合并同类项得：x＜4
故答案为：x＜4
（2）去分母得：x-9≤10x
移项得：x-10x≤9
合并同类项得：-9x≤9
系数化为1得：x≥-1
故答案为：x≥-1
（4）由（1）和（2）可知：该不等式组的解集为：-1≤x＜4
【分析】
本题考查一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解法是解题关键.根据一元一次不等式组的解法：先求出每个一元一次不等式的解集，再根据口诀“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小解不了”，可得出不等式组的解集，由此可得出答案.
16．（2025八下·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、，直线．
（1）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（2）画出关于直线对称的，并写出的坐标；
（3）能否由绕某一点旋转得到，若能，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度．若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如下图；由图可知：
点(-2，4)；(-1，5)；点(-1，2)；
（2）解：如下图；
由图可知：点(-4，2)；(-5，1)；点(-2，1)；
（3）解：能，旋转中心坐标为（0，0）；旋转角度为90°
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】
本题考查作图——轴对称变换和旋转变换，熟知关于y轴对称点的特点和关于直线y=-x对称点的特点是解题关键.
（1）关于y轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.根据关于y轴对称点的特点，代入数据即可写出点的坐标，并在平面直角坐标系中画出，顺次连接即可得到；
（2）设点（x，y）关于直线y=-x对称的点为（x'，y')，根据关于直线y=-x对称点的特点，代入数据即可写出点的坐标，并在平面直角坐标系中画出，顺次连接即可得到；
（3）旋转中心和旋转角度的确定方法：通过作对应点连线的垂直平分线找旋转中心，通过对应点与旋转中心连线的夹角确定旋转角度；根据旋转中心和旋转角度的确定方法，并观察图形可知：旋转中心坐标为（0，0）；旋转角度为90°，由此可得出答案.
17．（2025八下·深圳期中）如图1，在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（1）要证直线AO垂直平分BC，只需证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只需证　 　=　 　，　 　=　 　.
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
【答案】（1）AB；AC；OB；OC
（2）解： 如下图，
（3）解：连接BD、CE交于点O，直线AO垂直平分CD，理由如下：
如下图所示：
∴在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE
∴∠ACD=∠ADC
∴∠ACD+∠BCD=∠ADE+∠ADC
∴∠BCD=∠CDE
∴在△BCD和△ECDA中
∴△BCD≌△ECD（SAS）
∴∠BDC=∠ECD
∴OC=OD
∴AO垂直平分CD
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
解：（1）要证AO垂直平分BC，只要点A、点O都在BC的垂直平分线上，即AB=AC；OB=OC；
（2） 如图，连接BE、CD交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO为BC的垂直平分线
.
【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题关键.线段垂直平分线的性质定理逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
（1） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：只要AB=AC；OB=OC即可说明AO垂直平分BC；
(2) 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE相交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO垂直平分BC，由此可得出答案；
（3） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE交于点O，则直线AO垂直平分CD，根据题中的已知条件和全等三角形的判定定理SAS可证得△ABC≌△AED，再根据全等三角形的性质定理：对应边相等，对应角相等可知：AC=AD，∠ACB=∠ADE，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠ACD=∠ADC，由等式的性质可知：∠BCD=∠CDE，再结合BC=DE和CD=CD，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△BCD≌△ECD，再根据全等三角形的性质定理：对应角相等可知：∠BDC=∠ECD，再根据等腰三角形的判定：等角对等边可知：OD=OC，由此可知直线AO为CD边的垂直平分线，由此可得出结论.
18．（2025八下·深圳期中）为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元．
（1）求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？
（2）初二年级计划购买这两种公仔共个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍．请设计最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）解：设1个熊猫哪吒的售价为x元，1个白龙敖丙的售价为y元
由题意得：；
解得
答：1个熊猫哪吒的售价为30元，1个白龙敖丙的售价为20元.
（2）解：设初二年级计划购买熊猫哪吒m个，白龙敖丙n个
由题意得：
由①得：n=100-m ③
把③代入②得：m≥3(100-m)
m≥300-3m
4m≥300
m≥75
设购买这两种公仔的总费用为w元
由题意得：w=30m+20(100-m)=30m+2000-20m=10m+2000
∴当m=75时，
此时n=100-75=25（个）
答：初二年级购买熊猫哪吒75个，白龙敖丙25个时，购买最省钱。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式，准确找到题中等量关系并列出方程是解题关键.
（1）设1个熊猫哪吒的售价为x元，1个白龙敖丙的售价为y元，根据 购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元和购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元，可列出关于x与y的二元一次方程组，即：，解得x与y的值，即可得出答案；
（2）设初二年级计划购买熊猫哪吒m个，白龙敖丙n个，根据熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍可得m与n的不等关系，即：m≥3n；再根据计划购买这两种公仔共100个，可得：m+n=100，代入不等关系，解得m的取值范围，再设总费用为w元，根据（1）的结论，列于w与m的一次函数式，再根据一次函数的性质：当m=75时，，即可得出答案.
19．（2025八下·深圳期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
（1）完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
（2）结合你所画的函数图象，写出函数的两条性质：
①　 　；
②　 　
（3）当时，自变量的取值范围是　 　；
（4）一次函数图象与函数的图象只有一个交点，那么的取值范围是　 　．
【答案】（1）解：6；2；图像如下：
（2）当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大；；当1＜x＜3时，y=2
（3）-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
（4）k＜2或
【知识点】函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1） 当x=-1时，y=；
当x=3时，y=；
当x≤1时，y==1-x+3-x=-2x+4；
当1＜x＜3时，y==x-1+3-x=2；
当x≥3时，y==x-1+x-3=2x-4；
即，
由此可画出图像如下图所示：
故答案为：6；2；
（2）由（1）图像可知：
①当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大；②当1＜x＜3时，y=2；
（3）当4＜＜7时，即4＜y＜7
由（1）图像可知：当y=4时，x=0或x=4；当y=7时，x=-1.5或x=5.5
∴当4＜＜7时，x的取值范围是：-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
故答案为：-1.5＜x＜0或4＜x＜5.5
（4） 由（1）知：
一次函数y=kx+1必过点（0，1）
∵一次函数y=kx+1与y=的图像只有一个交点
∴k＜2
当1＜x＜3时，一次函数y=kx+1与y=的图像只有一个交点，此时一次函数y=kx+1必过点（3，2）
∴将点（3，2）代入y=kx+1得：2=3k+1
∴k=
综上：k的取值范围是：k＜2或k=
故答案为：k＜2或k=
【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，分段函数的图象，熟知一次函数的性质是解题关键.
（1） 根据函数解析式，将x=-1和x=3分别代入函数解析式即可算出所对应的函数值，并再平面直角坐标系中描点、连线、画图即可得出答案；
（2） 根据（1）中的图像，写出两条性质即可；
（3） 观察函数图象可知：当y=4时，x=0或x=4；当y=7时，x=-1.5或x=5.5；根据图像即可得出x的取值范围；
（4）根据一次函数y=kx+1必过点（0，1），再根据两函数图象的交点即可求出k的取值范围；由此可得出答案.
20．（2025八下·深圳期中）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
（1）初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为　 　，长为　 　．
（2）【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
①的度数为 ▲ ，的度数为 ▲ ；
②求证：点为线段的中点．
（3）【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2；4
（2）解：①15°|15°；
证明 ：②延长CF、AD相交于点H，如下图所示：
∵AD∥BC
∴∠H=∠BCF=15°
∵∠DEF=15°
∴∠H=∠DEF
∴HD=DE
∵DE=BC
∴HD=BC
∴在△HDF和△CBF中
∴△HDF≌△CBF（AAS）
∴DF=BF
∴点F为线段BD的中点
（3）BE=2或BE=6或BE=
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】
解：（1）如下图
∵∠ACB=90°，∠B=30°
∴∠BAC=180°-∠B-∠BCA=60°
∵△ADE绕点A旋转，点E落在边AB上
∴AC=AE
∴△ACE为等边三角形
∴AC=CE=AE=2
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2
∴AB=2AC=4
∵AE=2
∴BE=AB-AE=2
∵∠AED=90°，∠ADE=30°，AE=2
∴AD=2AE=4
∴DE==
∵∠AED=90°
∴∠AEB=90°
∴BD==4
故答案为：2；4
（2）①∵AD∥BC
∴∠DAB=∠ABC=30°
∵∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴∠DAE=90°-∠EDA=60°
∴∠BAE=∠DAE-∠BAD=30°
∴∠CAE=∠CAB-∠BAE=30°
∵AE=AC
∴∠AEC=∠ACE=75°
∴∠BAF=∠BCA-∠ACE=15°，∠DEF=180°-∠AEC-∠DEA=15°
故答案为：15°；15°；
（3） 由图（2）可知：BE=2
当△ADE绕点A旋转过程中，点E恰好落在BA边延长线上时，连接CD、BD，如下图所示：
∵∠AED=90°，AB=4，AE=2
∴BE=AB+AE=6
当△ADE绕点A逆时针旋转60°，AD落在边AC的延长线上时，连接BE，BD，如下图所示：
∵AB=AD，∠BAD=60°
∴∠ABD=∠ADB=60°
∴BD=AB=4
∵∠ADE=30°
∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°
∵DE=2
∴BE==
综上所述：BE=2或BE=6或BE=
【分析】
本题考查直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，熟知直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质和旋转的性质是解题关键.
（1）根据直角三角形的性质：30°所对的直角边时斜边的一半可知：AB=2AC=4，AD=2AE=4
根据旋转的性质：旋转前后对应边相等可知：AE=AC，再根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可知：△ACE是等边三角形，即AE=AC=CE=2；再根据勾股定理可得：DE==；最后再根据勾股定理：在Rt△BDE中，BD==4，由此可得出答案；
（2） ①根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DAB=∠ABC=30°，再根据角的和差运算可得：∠CAE=∠CAB-∠BAE=30°，再根据等腰三角形底角的计算方法可得：∠AEC=∠ACE=75°，最后由角的和差运算可得：∠BAF=∠BCA-∠ACE=15°，∠DEF=180°-∠AEC-∠DEA=15°，由此可得出答案；
②延长CF、AD相交于点H，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠H=∠BCF=15°，等量代换得：∠H=∠DEF，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：HD=DE；等量代换得：HD=BC，根据全等三角形的判定定理AAS，结合∠DFH=∠BFC可证得：△HDF≌△CBF，由全等三角形的性质：对应边相等可知：DF=BF，由此可得出结论；
（3）分三种情况，由图（2）可知：BE=2；当△AED绕点A旋转过程中，当点E恰好落在BA边延长线上时，根据线段的和差运算可知：BE=AB+AE=6；当△AED绕点A逆时针旋转60°时，AD落在边AC的延长线上时，根据等边三角形的判定定理可知：△ABD为等边三角形，再根据角的和差运算可知：∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°，利用勾股定理：在Rt△BDE中，BE==，由此可得出答案.
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