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第二章 特殊三角形 练习
一、选择题
1． 我国新能源汽车产业发展迅猛，取得了举世瞩目的成就，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3． 下列命题的逆命题正确的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．全等三角形的周长相等
C．两个锐角互余的三角形是直角三角形
D．如果，那么
4．如图，在中，，，且，．则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A． B． C． D．或
6．如图，在中，，，，则的长为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
7．如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（　　）
A． B． C． D．
8．在中，，，斜边上的高，则（　　）
A． B．6 C． D．9
9． 若三边长分别为，，，则的面积为（　　）
A．2 B．4 C． D．
10．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
11．已知命题“若，则”，其逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
12．在△ABC中，AB=AC。若∠A=40°，则∠C的大小为　 　.
13．如图，测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为　 　．
14． 如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，。若，则CE的长度为　 　。
15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　 　．
16．如图，中，，，，平分，动点M从点A出发，以每秒的速度沿边匀速运动，连接，当是以为腰的等腰三角形时，点M的运动时间为　 　秒．
三、解答题
17．如图，在正方形网格中点A，B， C均为格点，接要求作图(保留作图痕迹，不写作法)：
（1）作出 ABC关于直线1的对称图形 A'BC'：
（2）求 ABC的面积；
（3）在直线1上找一点D， 使AD+CD最小.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，且AD=AE。请判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由。
19．已知a，b，c为的三条边，
（1）若，，的周长是小于17的奇数，求c的长．
（2）若为等腰三角形，且a，b满足，求的周长．
20．如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米．
（1）求小路的长；
（2）求小路的长．
21． 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为点 E.
（1）若CD=1cm，求AC 的长.
（2）求证：AB=AC+CD.
22．定义：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a2+ab=c2，则称△ABC为“类直角三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由；
（2）如图2，等腰三角形△ABC为“类直角三角形”，其中AC=BC，AB>AC，请
求出∠B的大小。
23． 综合与实践
【问题情境】
如图1，有两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB=AC，AE=AF，∠BAC+∠EAF=180°.△AEF绕着A顺时针旋转，旋转角为（），点M为BF的中点.
【特例感知】
（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是　 　；
（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．D
5．C
6．B
7．D
8．B
9．A
10．D
11．假
12．70°
13．3
14．1
15．3
16．或4或6
17．（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解： 的面积
（3）解：如图所示，点D即为所求.
18．解：猜想 ：BD=CE
解法一：
过点A作AH⊥BC交BC于点H
∵AB=AC，AH⊥BC，
　 ∴BH=CH。 ∵AD=AE，AH⊥BC， ∴DH=EH， ∴BH－DH=CH－EH， 　 　
∴BD=EC。
解法二： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，∴180°－∠ADE=180°－∠AED，
即∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE。
19．（1）解：∵a，b，c为的三条边，
∴，
∵，，
∴，
∵的周长是小于17的奇数，
∴，
∴，
∴，
∴且c是偶数，
∴或；
（2）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
综上所述，该三角形的周长为7或8．
20．（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AB=13，BD=5，
∴根据勾股定理，得，
∴小路AD的长为12米；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
由（1）得AD=12，
∵CD=9，
∴根据勾股定理，得，
∵DE⊥AC，
∴，
∴，
∴小路DE的长为7.2米.
21．（1）解：∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=CD=1，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴，
∴
（2）证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴△ACD≌△AED(HL)，
∴AC=AE.
由(1)得CD=DE=BE，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+CD
22．（1）解：等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下：
设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则a=b=c
∴a2+ab=c2+c2=2c2+c2，
∴等边三角形不是“类直角三角形”.
（2）解：等腰三角形是“类直角三角形”，，，
，且.
.
是直角三角形，且.
又，
是等腰直角三角形.
的度数为.
23．（1）AM=CE
（2）解：AM=CE
∵∠BAC+∠EAF=180°
∴∠CAE+∠BAF=180°
∵∠CAE=90°
∴∠CAE=∠BAF=90°
在△BAF和△CAE中
∴△BAF≌△CAE(SAS)
∴BF=CE
在Rt△BAF中
∵M为BF的中点
∴AM=BF
∴AM=CE
（3）解：成立
证明：延长BA到G，使得AG=AB
∴∠BAF+∠GAF=180°
∵∠BAC+∠EAF=180°
∴∠BAF+∠CAE=180°
∴∠GAF=∠CAE
∵AB=AC
∴AG=AC
在△GAF和△CAE中
∴△GAF≌△CAE(SAS)
∴GF=CE
∵M是BF的中点，AG=AB
∴AM=GF
∴AM=CE
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