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贵州省毕节市织金县2025年中考三模数学试题
1．（2025·织金模拟）在0，2，，这四个数中，最小的是（　　）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴在0，2，，这四个数中，最小的数是，
故答案为：D．
【分析】利用有理数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．（2025·织金模拟）将化为最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．（2025·织金模拟）单项式的系数和次数分别为（　　）
A．，5 B．，5 C．，6 D．，6
【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式的系数为、次数为6，
故答案为：C．
【分析】利用单项式的系数的定义（单项式中的数字因数叫作它的系数）和单项式的次数的定义（单项式中所有字母的指数的和叫作它的次数）分析求解即可.
4．（2025·织金模拟）在中，，若，，则的长是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理直接求出BC的长即可.
5．（2025·织金模拟）如图，每个小正方形格子的边长代表．小明从点出发，先向西走，再向南走到达点．如果用表示点的位置，那么表示（　　）
A．点的位置 B．点的位置 C．点的位置 D．点的位置
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵每个小正方形格子的边长代表．用表示点的位置，
∴表示点的位置，
故答案为：D.
【分析】根据点M的表示表示方法，再结合方位图直接求出表示的点即可.
6．（2025·织金模拟）某文具店老板购进一批荧光笔，销量（支）与销售额（元）的关系如下表所示：
销量支 …
销售额元 …
则销售额与销量的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：表格中的数据发现：销售额是销售数量的倍，
∴销售额与销量的函数关系式为
故答案为：A．
【分析】根据表格中的数据可得“ 销售额是销售数量的倍 ”，再直接列出函数解析式.
7．（2025·织金模拟）一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．2
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，
∴，
解得：，经检验是方程的解，
即n的值最可能是．
故答案为：A．
【分析】根据“摸到红球的频率稳定在”列出方程，再求出n的值即可.
8．（2025·织金模拟）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意；
B、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、，是因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
9．（2025·织金模拟）如图，在平行四边形中，，E，F分别是的中点，连接，则（　　）
A．2 B．3 C．8 D．无法确定
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：B．
【分析】先证出是的中位线，再利用平行四边形的性质及中位线的性质可得.
10．（2025·织金模拟）如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：包装盒的容积为，矩形纸板的长为，
根据题意可得：，
故答案为：D．
【分析】利用长方体的体积公式并结合“ 包装盒的容积为 ”列出方程即可.
11．（2025·织金模拟）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限上，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴，即，
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系（①当k>0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而减小；②当k<0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而增大）分析求解即可.
12．（2025·织金模拟）如图，与相交于点O，且．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
设与的相似比为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证出，利用相似三角形的性质可得，设与的相似比为，则，再求出，可得，最后求出即可.
13．（2025·织金模拟）若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：．
【分析】利用正比例函数的定义可得，再求出k的取值范围即可.
14．（2025·织金模拟）已知一组数据4，8，x，6的众数为6，则该组数据的平均数为　 　．
【答案】6
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：数据据4，8，x，6的众数是6，即6的次数最多，
即，
则其平均数为，
故答案为：6．
【分析】先利用众数的定义求出x的值，再利用平均数的定义及计算方法分析求解即可.
15．（2025·织金模拟）用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设　 　．
【答案】
【知识点】反证法；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：“如果，那么”的第一步应假设，
故答案为：．
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，再求解即可.
16．（2025·织金模拟）如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，取的三等分点F，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图①，过点E作交的延长线于点M．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵F是的三等分点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点E作交的延长线于点M，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用“ 点为的三等分点 ”求出，再证出，利用平行线的性质可得，求出，最后求出即可．
17．（2025·织金模拟）（1）计算：
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来
【答案】解：（1）
；
（2），
由①解得，
由②解得，
∴该不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
18．（2025·织金模拟）某校在学生中对预防诺如病毒相关知识知晓情况进行专项调查，采取随机抽样的方式抽取50人进行问卷调查，问卷调查分为A、B、C、D四个选项．每人必选且只选其中一项，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”．调查后的数据整理成不完整的统计表和四个选项所占比的扇形统计图如下：
A B C D
频数 14 21 x y
（1）表中的 ， ；
（2）若该校有1000名学生，根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数；
（3）若王老师和李老师要到选择某一选项的学生中进一步了解情况，试用列表或画树状图的方法求两人选择同一选项的学生了解情况的概率．
【答案】（1）12，3
（2）解：（人）
答：根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为420人.
（3）解：画树状图如图，
共有16种等可能结果，其中王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况，有4种，
∴王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：，.
【分析】（1）利用“C”的百分比乘以50可得答案，再结合表格中的数据求出y的值即可；（2）先求出“B”的百分比，再乘以1000可得答案；（3）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：，
故答案为：，；
（2）解：（人）
答：根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为420人；
（3）解：画树状图如图，
共有16种等可能结果，其中王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况，有4种，
∴王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况的概率为．
19．（2025·织金模拟）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点，，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形
（2）解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，，，，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，BC=2DE；再证明BC=BE=EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，张凯德四边形BCFE是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）连接，交于O，利用菱形的性质可求出OE、BE的长，同时可证得OB=OF，BF⊥CE；再利用勾股定理求出OB的长，可得到BF的长，然后利用菱形的面积公式进行计算.
（1）证明： ∵D、E分别是、的中点，
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，，，，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为．
20．（2025·织金模拟）某工厂计划购买A，B两种工艺品共400件奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同．
（1）A，B两种工艺品的单价各为多少元？
（2）若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，则该工厂共有几种购买方案？
【答案】（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验是分式方程的解，
∴．
答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元．
（2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件．
根据题意，得，
此不等式组无解．
∴该工厂共有0种购买方案．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元，根据“ 用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件，根据“ 该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验是分式方程的解，
∴．
答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元．
（2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件．
根据题意，得，
此不等式组无解．
∴该工厂共有0种购买方案．
21．（2025·织金模拟）某班的同学想测量教学楼的高度，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，从C点向前进30米后，又在D处测得教学楼顶端A的仰角为．
（1）_________；
（2）求点C到的距离；
（3）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）解：如图，延长交延长线于点，则，
在中，，
，
设米，则米，
（米），
又米，
，
解得：，
（米），
点C到的距离为米．
（3）解：由（2）得，米，米，
米，
在中，，
（米），
（米）．
教学楼的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，．
故答案为：．
【分析】（1）利用仰角的定义直接求解即可；（2）延长交延长线于点，设米，则米，利用BC的长求出k的值，再求出CF的长即可；
（3）先利用线段的和差求出DF的长，再利用解直角三角形的方法求出AF的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
（1）解：由题意得，．
故答案为：．
（2）解：如图，延长交延长线于点，则，
在中，，
，
设米，则米，
（米），
又米，
，
解得：，
（米），
点C到的距离为米．
（3）解：由（2）得，米，米，
米，
在中，，
（米），
（米）．
教学楼的高度约为米．
22．（2025·织金模拟）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，．
（1）当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值；
（2）如图，反比例函数（）的图象与，分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数（），
∴．
∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，，
∴，，
∴当，时，k有最大值．
（2）解：∵，，且四边形OABC为矩形，
∴，
∴，．
∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E，
∴，．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）先求出点D、E的坐标，再求出，，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△ODE的面积即可.
（1）解：∵反比例函数（），
∴．
∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，，
∴，，
∴当，时，k有最大值．
（2）∵，，且四边形OABC为矩形，
∴，
∴，．
∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E，
∴，．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
．
23．（2025·织金模拟）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的基础上求的值．
【答案】（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
.
，，
，
．
，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，利用弧的运算及等量代换求出，再利用弧与圆心角的关系可得；
（2）先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出DF的长即可；
（3）先利用勾股定理求出AF的长，再结合OF的长可得，求出EF的长，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
.
，，
，
．
，
，
，
．
24．（2025·织金模拟）为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是50元．超市规定每箱售价不得少于56元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱．
（1）试求出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式；
（2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种水果的每箱售价不得高于65元．如果超市想要每天获得不低于2030元的利润，那么超市每天至少销售这种水果多少箱？
【答案】（1）解：由题意得：.
（2）解：，
，，
当时，元，
即当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元.
（3）解：由题意得，
解得：，，
抛物线的开口向下，
当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润，
又，
在中，，
随x的增大而减小，
当时，，
即超市每天至少销售水果210箱．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱 ”列函数解析式即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）将P=2030代入解析式求出x的值，可得当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润，再将x=65代入求解即可.
（1）解：由题意得：；
（2）解：，
，，
当时，元，
即当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元；
（3）解：由题意，得，
解得，，
抛物线的开口向下，
当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润，
又，
在中，，
随x的增大而减小，
当时，，
即超市每天至少销售水果210箱．
25．（2025·织金模拟）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
（1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分；
（3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）．
【答案】（1）解：，
证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；猜想与证明
【解析】【解答】（3）解：连接AE，如图，
由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴
由（1）知
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，最小值，
∴当时，最小，此时的周长最小，
∵，等边，
∴，
由勾股定理，得
∴的周长最小值．
故答案为：．
【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质得，，由等式的性质推出，从而由“”可证，由全等三角形的对应边相等可得；
（2）由旋转的性质可得，，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得，，由等式性质推出，由“”可证，由全等三角形的对应角相等及邻补角定义可得，从而根据角的和差可求得，即可得出结论；
（3）连接AE，由旋转可得，，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由等边三角形的三边相等得；由（1）知，根据三角形周长的计算公式、线段的和差及等量代换可阿静△CDE的周长转化为BC+AD，由于BC长度固定，故当AD最小时，△CDE的周长最小，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD最小，此时△CDE的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解．
（1）解：，
证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：连接，如图，
由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴
由（1）知
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，最小值，
∴当时，最小，此时的周长最小，
∵，等边，
∴，
由勾股定理，得
∴的周长最小值．
故答案为：．
1 / 1贵州省毕节市织金县2025年中考三模数学试题
1．（2025·织金模拟）在0，2，，这四个数中，最小的是（　　）
A．0 B．2 C． D．
2．（2025·织金模拟）将化为最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·织金模拟）单项式的系数和次数分别为（　　）
A．，5 B．，5 C．，6 D．，6
4．（2025·织金模拟）在中，，若，，则的长是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．2
5．（2025·织金模拟）如图，每个小正方形格子的边长代表．小明从点出发，先向西走，再向南走到达点．如果用表示点的位置，那么表示（　　）
A．点的位置 B．点的位置 C．点的位置 D．点的位置
6．（2025·织金模拟）某文具店老板购进一批荧光笔，销量（支）与销售额（元）的关系如下表所示：
销量支 …
销售额元 …
则销售额与销量的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·织金模拟）一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．2
8．（2025·织金模拟）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·织金模拟）如图，在平行四边形中，，E，F分别是的中点，连接，则（　　）
A．2 B．3 C．8 D．无法确定
10．（2025·织金模拟）如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·织金模拟）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·织金模拟）如图，与相交于点O，且．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
13．（2025·织金模拟）若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为　 　．
14．（2025·织金模拟）已知一组数据4，8，x，6的众数为6，则该组数据的平均数为　 　．
15．（2025·织金模拟）用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设　 　．
16．（2025·织金模拟）如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，取的三等分点F，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为　 　．
17．（2025·织金模拟）（1）计算：
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来
18．（2025·织金模拟）某校在学生中对预防诺如病毒相关知识知晓情况进行专项调查，采取随机抽样的方式抽取50人进行问卷调查，问卷调查分为A、B、C、D四个选项．每人必选且只选其中一项，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”．调查后的数据整理成不完整的统计表和四个选项所占比的扇形统计图如下：
A B C D
频数 14 21 x y
（1）表中的 ， ；
（2）若该校有1000名学生，根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数；
（3）若王老师和李老师要到选择某一选项的学生中进一步了解情况，试用列表或画树状图的方法求两人选择同一选项的学生了解情况的概率．
19．（2025·织金模拟）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
20．（2025·织金模拟）某工厂计划购买A，B两种工艺品共400件奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同．
（1）A，B两种工艺品的单价各为多少元？
（2）若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，则该工厂共有几种购买方案？
21．（2025·织金模拟）某班的同学想测量教学楼的高度，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，从C点向前进30米后，又在D处测得教学楼顶端A的仰角为．
（1）_________；
（2）求点C到的距离；
（3）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
22．（2025·织金模拟）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，．
（1）当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值；
（2）如图，反比例函数（）的图象与，分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积．
23．（2025·织金模拟）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的基础上求的值．
24．（2025·织金模拟）为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是50元．超市规定每箱售价不得少于56元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱56元时，每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱．
（1）试求出每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式；
（2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种水果的每箱售价不得高于65元．如果超市想要每天获得不低于2030元的利润，那么超市每天至少销售这种水果多少箱？
25．（2025·织金模拟）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
（1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分；
（3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴在0，2，，这四个数中，最小的数是，
故答案为：D．
【分析】利用有理数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式的系数为、次数为6，
故答案为：C．
【分析】利用单项式的系数的定义（单项式中的数字因数叫作它的系数）和单项式的次数的定义（单项式中所有字母的指数的和叫作它的次数）分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理直接求出BC的长即可.
5．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵每个小正方形格子的边长代表．用表示点的位置，
∴表示点的位置，
故答案为：D.
【分析】根据点M的表示表示方法，再结合方位图直接求出表示的点即可.
6．【答案】A
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：表格中的数据发现：销售额是销售数量的倍，
∴销售额与销量的函数关系式为
故答案为：A．
【分析】根据表格中的数据可得“ 销售额是销售数量的倍 ”，再直接列出函数解析式.
7．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，
∴，
解得：，经检验是方程的解，
即n的值最可能是．
故答案为：A．
【分析】根据“摸到红球的频率稳定在”列出方程，再求出n的值即可.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意；
B、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、，是因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：B．
【分析】先证出是的中位线，再利用平行四边形的性质及中位线的性质可得.
10．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：包装盒的容积为，矩形纸板的长为，
根据题意可得：，
故答案为：D．
【分析】利用长方体的体积公式并结合“ 包装盒的容积为 ”列出方程即可.
11．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限上，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴，即，
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系（①当k>0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而减小；②当k<0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而增大）分析求解即可.
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
设与的相似比为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证出，利用相似三角形的性质可得，设与的相似比为，则，再求出，可得，最后求出即可.
13．【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：．
【分析】利用正比例函数的定义可得，再求出k的取值范围即可.
14．【答案】6
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：数据据4，8，x，6的众数是6，即6的次数最多，
即，
则其平均数为，
故答案为：6．
【分析】先利用众数的定义求出x的值，再利用平均数的定义及计算方法分析求解即可.
15．【答案】
【知识点】反证法；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：“如果，那么”的第一步应假设，
故答案为：．
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，再求解即可.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图①，过点E作交的延长线于点M．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵F是的三等分点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点E作交的延长线于点M，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用“ 点为的三等分点 ”求出，再证出，利用平行线的性质可得，求出，最后求出即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2），
由①解得，
由②解得，
∴该不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
18．【答案】（1）12，3
（2）解：（人）
答：根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为420人.
（3）解：画树状图如图，
共有16种等可能结果，其中王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况，有4种，
∴王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：，.
【分析】（1）利用“C”的百分比乘以50可得答案，再结合表格中的数据求出y的值即可；（2）先求出“B”的百分比，再乘以1000可得答案；（3）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：，
故答案为：，；
（2）解：（人）
答：根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为420人；
（3）解：画树状图如图，
共有16种等可能结果，其中王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况，有4种，
∴王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况的概率为．
19．【答案】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点，，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形
（2）解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，，，，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，BC=2DE；再证明BC=BE=EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，张凯德四边形BCFE是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）连接，交于O，利用菱形的性质可求出OE、BE的长，同时可证得OB=OF，BF⊥CE；再利用勾股定理求出OB的长，可得到BF的长，然后利用菱形的面积公式进行计算.
（1）证明： ∵D、E分别是、的中点，
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，，，，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为．
20．【答案】（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验是分式方程的解，
∴．
答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元．
（2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件．
根据题意，得，
此不等式组无解．
∴该工厂共有0种购买方案．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元，根据“ 用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件，根据“ 该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验是分式方程的解，
∴．
答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元．
（2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件．
根据题意，得，
此不等式组无解．
∴该工厂共有0种购买方案．
21．【答案】（1）
（2）解：如图，延长交延长线于点，则，
在中，，
，
设米，则米，
（米），
又米，
，
解得：，
（米），
点C到的距离为米．
（3）解：由（2）得，米，米，
米，
在中，，
（米），
（米）．
教学楼的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，．
故答案为：．
【分析】（1）利用仰角的定义直接求解即可；（2）延长交延长线于点，设米，则米，利用BC的长求出k的值，再求出CF的长即可；
（3）先利用线段的和差求出DF的长，再利用解直角三角形的方法求出AF的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
（1）解：由题意得，．
故答案为：．
（2）解：如图，延长交延长线于点，则，
在中，，
，
设米，则米，
（米），
又米，
，
解得：，
（米），
点C到的距离为米．
（3）解：由（2）得，米，米，
米，
在中，，
（米），
（米）．
教学楼的高度约为米．
22．【答案】（1）解：∵反比例函数（），
∴．
∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，，
∴，，
∴当，时，k有最大值．
（2）解：∵，，且四边形OABC为矩形，
∴，
∴，．
∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E，
∴，．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）先求出点D、E的坐标，再求出，，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△ODE的面积即可.
（1）解：∵反比例函数（），
∴．
∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，，
∴，，
∴当，时，k有最大值．
（2）∵，，且四边形OABC为矩形，
∴，
∴，．
∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E，
∴，．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
．
23．【答案】（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
.
，，
，
．
，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，利用弧的运算及等量代换求出，再利用弧与圆心角的关系可得；
（2）先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出DF的长即可；
（3）先利用勾股定理求出AF的长，再结合OF的长可得，求出EF的长，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
.
，，
，
．
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：由题意得：.
（2）解：，
，，
当时，元，
即当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元.
（3）解：由题意得，
解得：，，
抛物线的开口向下，
当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润，
又，
在中，，
随x的增大而减小，
当时，，
即超市每天至少销售水果210箱．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 每天可以卖出300箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出10箱 ”列函数解析式即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）将P=2030代入解析式求出x的值，可得当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润，再将x=65代入求解即可.
（1）解：由题意得：；
（2）解：，
，，
当时，元，
即当每箱售价定为68元时，每天销售的利润元最大，最大利润是3240元；
（3）解：由题意，得，
解得，，
抛物线的开口向下，
当时，每天销售水果的利润不低于2030元的利润，
又，
在中，，
随x的增大而减小，
当时，，
即超市每天至少销售水果210箱．
25．【答案】（1）解：，
证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；猜想与证明
【解析】【解答】（3）解：连接AE，如图，
由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴
由（1）知
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，最小值，
∴当时，最小，此时的周长最小，
∵，等边，
∴，
由勾股定理，得
∴的周长最小值．
故答案为：．
【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质得，，由等式的性质推出，从而由“”可证，由全等三角形的对应边相等可得；
（2）由旋转的性质可得，，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得，，由等式性质推出，由“”可证，由全等三角形的对应角相等及邻补角定义可得，从而根据角的和差可求得，即可得出结论；
（3）连接AE，由旋转可得，，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由等边三角形的三边相等得；由（1）知，根据三角形周长的计算公式、线段的和差及等量代换可阿静△CDE的周长转化为BC+AD，由于BC长度固定，故当AD最小时，△CDE的周长最小，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD最小，此时△CDE的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解．
（1）解：，
证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：连接，如图，
由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴
由（1）知
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，最小值，
∴当时，最小，此时的周长最小，
∵，等边，
∴，
由勾股定理，得
∴的周长最小值．
故答案为：．
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