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四川省成都市第七中学初中学校2025年中考三模数学试题
1．（2025·成都模拟）－的绝对值是（　　）
A．－ B． C．－6 D．6
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：﹣的绝对值是.
故答案为：B．
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可得答案.
2．（2025·成都模拟）如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，大正方形内的是两个小正方形．
故答案为：B．
【分析】俯视图就是从几何题的上边所看得到的平面图形.
3．（2025·成都模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故A不符合题意
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用平方差公式，可对B作出判断；再利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后利用完全平方公式可对D作出判断.
4．（2025·成都模拟）已知点与关于原点对称，则a的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与关于原点对称，
∴a=－2，b=－1．
故答案为：C．
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）求解即可.
5．（2025·成都模拟）已知一组数据2，2，3，2，x，1的平均数是2，那么这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：根据题意知：，
解得：，
则这组数据为2，2，3，2，2，1，
将数据重新排列为1、2、2、2、2、3，
所以中位数为，
故答案为：C.
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；即可求解.
6．（2025·成都模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，于点E．若，则边AB的长是（　　）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，，
∴ ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
或者 （舍）
．
故答案为：C．
【分析】利用矩形的性质、垂直的概念及余角的性质可证得∠BAE=∠CBE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性质可推出，同时可求出AC的长，然后求出AB的长即可.
7．（2025·成都模拟）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】根据每人分七两，则剩余四两可得7x=y-4；根据每人分九两，则还差八两可得9x=y+8，联立可得方程组.
8．（2025·成都模拟）如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（　　）
A．18 B． C． D．24
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹得到平分，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，交于点O，如图，
∵，
而，
∴四边形为菱形，
∴，，，
在中，，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，交于点O，先证出四边形为菱形，利用菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出OB的长，最后求出BG的长即可.
9．（2025·成都模拟）因式分解：　 　．
【答案】m（n-3）（n+3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=m（n2-9）
=m（n-3）（n+3）．
故答案为：m（n-3）（n+3）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
10．（2025·成都模拟） 分式方程 的解是　 　
【答案】x=-1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘
∴x=-1
经检验 x=-1是原方程的解
故答案为：x=-1.
【分析】根据求解分式方程的步骤 ①去分母： 在方程两边同时乘最简公分母转化为整式方程； ②解这个整式方程；③检验： 把求得的根代入最简公分母， 使最简公分母≠0的就是原方程的根， 使最简公分母的值为 的就是增根， 应舍去，可得结果.
11．（2025·成都模拟）已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径是，圆心角是，
∴该扇形的弧长是：；
故答案为：．
【分析】根据弧长公式是（n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径），代入即可求出弧长．
12．（2025·成都模拟）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值；概率公式
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】利用概率公式及它是黑棋的概率，可得到关于a、b的方程，解方程用含a的代数式表示出b，然后将b代入代数式进行计算.
13．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为（－2，4），是的中点，是上的一点，当三角形的周长最小时，点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，作点A关于轴的对称点，连接与轴交于点，则此时AE＋DE＝＋DE的值最小，即的周长最小．
∵A（－2，4），
∴（2，4），
∵是的中点，
∴D（－1，0），
设直线表达式是，
代入（2，4），D（－1，0），得，
解得：，
直线表达式是，
点的坐标是，
故答案为：．
【分析】作点A关于轴的对称点，连接与轴交于点，则此时AE＋DE＝＋DE的值最小，即的周长最小，先利用待定系数法求出直线DA'的解析式，再求出点E的坐标即可.
14．（2025·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）原式
．
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值、0指数幂、实数的绝对值和算术平方根的性质化简，再计算即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
15．（2025·成都模拟）某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表
项目 人数
A排球 6
B篮球 m
C毽球 10
D羽毛球 4
E跳绳 18
（1）本次抽样调查的学生有_____人；m的值为_____；
（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为_____；
（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数为_____；
（4）若喜欢跳绳的同学中有两男两女是校绳操队队员，现要从他们四人中随机抽取两人代表学校去参加区级比赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名男生的概率．
【答案】（1）50；12
（2）
（3）648人
（4）解：将2名男生记为A、B，2名女生分别记为C、D，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名男生的结果有：，，共2种，
∴恰好抽到两名男生的概率为．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽样调查的学生有：（人），
，
故答案为：50；12；
（2）解：，
即喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：（人），
答：全校1800名学生中喜欢跳绳活动的有648人；
故答案为：648人.
【分析】（1）利用“A”的人数除以对定义的百分比可得总人数，再求出m的值即可；（2）先求出“C”的百分比，再乘以360°可得答案；（3）先求出“E”的百分比，再乘以1800可得答案；（4）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：本次抽样调查的学生有：（人），
，
故答案为：50；12；
（2）解：，
即喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：（人），
答：全校1800名学生中喜欢跳绳活动的有648人；
故答案为：648人；
（4）解：将2名男生记为A、B，2名女生分别记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名男生的结果有：，，共2种，
∴恰好抽到两名男生的概率为．
16．（2025·成都模拟）如图，监控摄像头D固定在与构成的支架上，与地面垂直，，若该摄像头的可视角为的平分线，且，点在同一直线上，过点D作为垂足．
（1）求 的度数；
（2）求摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离．（精确到）参考数据：（）
【答案】（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，
，
，
，
∵为的平分线，，
，
，
，
，
．
（2）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
在中，，
，
摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，先求出，再利用角的运算求出∠BDG的度数，最后求出∠GDH的度数即可；
（2）先求出DH的长，再利用角的运算求出∠DGH的度数，再利用解直角三角形的方法求出HG的长，最后利用线段的和差求出AG的长即可.
（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，
，
，
，
∵为的平分线，，
，
，
，
，
．
（2）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
在中，，
，
摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为．
17．（2025·成都模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若AE＝4，．求：
①BE的长；
②的值．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵DH⊥AC，且DH是⊙O的切线，
∴∠ODH＝∠DHA＝90°，
∴OD∥CA，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠C，
∵∠OBD＝∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DC＝DE.
（2）解：①由（1）可知：OD∥AC，
∴∠AEF＝∠ODF，
∵∠AFE＝∠OFD，
∴△AFE∽△OFD，
∴，
∵AE＝4，
∴OD＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴；
∴BE的长为；
②在Rt△AEB中，，
∵∠BDF＝∠BAE，
∴．
【知识点】切线的性质；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OD，先利用切线的性质及DH⊥AC，证出OD∥CA，利用平行线的性质可得∠C＝∠ODB，再利用等边对等角的性质及等量代换可得∠C＝∠DEC，最后利用等角对等边的性质可得DC＝DE；
（2）①先证出△AFE∽△OFD，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出OD的长，再利用勾股定理求出BE的长即可；
②先证出∠BDF＝∠BAE，再利用余弦的定义及计算方法求出即可．
（1）证明：连接OD，
∵DH⊥AC，且DH是⊙O的切线，
∴∠ODH＝∠DHA＝90°，
∴OD∥CA，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠C，
∵∠OBD＝∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DC＝DE；
（2）①由（1）可知：OD∥AC，∴∠AEF＝∠ODF，
又∵∠AFE＝∠OFD，
∴△AFE∽△OFD，
∴，
∵AE＝4，
∴OD＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴；
∴BE的长为；
②在Rt△AEB中，，
∵∠BDF＝∠BAE，
∴．
18．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）．
（1）求a的值及线段的长；
（2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积；
（3）将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值．
【答案】（1）解：将代入直线中，
可得，
解得：，
∴直线的表达式为．
令，则，即，
∴，
∴．
（2）解：如图1所示，
由题意可得，
故的横坐标为的纵坐标为，
又因为两点在双曲线上，
故设．
设直线的表达式为，
则，
解得：，
由待定系数法可得直线的表达式为，
又因为在直线上，
故，解得：，
所以双曲线的表达式为，
的面积
．
（3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，，设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，
代入，得：，解得：，
∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则，
的图象沿着直线翻折后如图所示，
是公共角，
根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况，
当时，有，
，
，
点M在直线上，
∴设，则，
解得：，
，
点关于直线的对称点为，即，
根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，
将代入可得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入求出a的值；再求出点A的坐标，可得OA和OB的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，再将点A的坐标代入求出k的值，再求出点C、D的坐标，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△ABD的面积即可；
（3）利用相似三角形的性质可得，再利用正切的定义可得， 设，则， 求出t的值，可得点M的坐标，再求出其对应点并代入求出k的值即可.
（1）解：将代入直线中，得，故，
∴直线的表达式为．
令，则，即，
所以，
故．
（2）解：如图1所示，
由题意可得，
故的横坐标为的纵坐标为，
又因为两点在双曲线上，
故设．
设直线的表达式为，
则，解得：，
由待定系数法可得直线的表达式为，
又因为在直线上，
故，解得：，
所以双曲线的表达式为，
的面积
．
（3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，，
设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，
代入，得：，解得：，
∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则，
的图象沿着直线翻折后如图所示，
是公共角，
根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况，
当时，有，
，
，
点M在直线上，
∴设，则，
解得：，
，
点关于直线的对称点为，即，
根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，
将代入可得：．
19．（2025·成都模拟）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　．
【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
20．（2025·成都模拟）如图，相交于点 E，若，若，则　 　°.
【答案】48
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：48．
【分析】先利用全等三角形的性质和三角形的内角和求出，再利用角的运算求出∠B的度数即可.
21．（2025·成都模拟）如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割；几何概率
【解析】【解答】解：由题意得：四边形为正方形，
设，
∵点E是线段的黄金分割点，且，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】设，则，，再求出即可.
22．（2025·成都模拟）若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则　 　；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4，　 　．
【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，
∴其顶点坐标为，
∵是的伴随函数，
∴在一次函数的图象上，
∴，
∴；
设函数与x轴两个交点的横坐标分别为，，则，，
∴，
∵函数与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，，
∴函数为：，
∴其顶点坐标为，
∵是的伴随函数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】设函数与x轴两个交点的横坐标分别为，，则，，根据“函数与x轴两个交点间的距离为4”可得，求出n的值，可得函数解析式，再求出其顶点坐标为，再利用“伴随函数”的定义可得，再求出m的值即可.
23．（2025·成都模拟）如图，在中，，，点E在直线上，，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆的综合题；解直角三角形；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵，，
即，
∴点D在以为直径的圆O上，如图，
取弧的中点点F，连接，
则，，
∵是的直径，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
延长交于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点在上，如图，
取点，连接，
则，
连接，
则，
∴，
即点在以点为圆心，1为半径的上运动，
∴当位于点时，最小，最小值为，
∵，
∴点共线，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】取弧的中点点F，连接，利用垂径定理得出，，根据圆周角得，连接，根据，得出，证明，得出，即可得，，，延长交于点，则，得出，，证明，得出，根据，得出，即可得，同理“定角对定边”，得出点在上，画轨迹，取点，连接，根据内接四边形得，连接，圆周角定理得，得出，即点在以点为圆心，1为半径的上运动，即可得出当位于点时，最小，最小值为，再求解即可.
24．（2025·成都模拟）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元.
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：，
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元，根据“ 购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据“ 商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个 ”列出不等式求出m的取值范围，再设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：，
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
25．（2025·成都模拟）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，
，
解得：，
解析式为：；

（2）解：设直线，代入，，得，
解得：，，
直线．
点在抛物线上，点在上，
设，．
在直线上方，
，
轴，
，关于对称轴对称，
，
，
，即．
①当时，，
解得：，，
在上方，
，
，
；
②当时，，
解得：（舍），，
；
综上：P点坐标为或．
（3）解：平移后的解析式为：，设，
，，，，
，
联立，得，
，，
连接，，过作轴，作于，作于，
根据垂直平分线可得，，，
∵，
∴，
、都是等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
整理，得，
，，
，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）利用待定系数法列出方程求出a、b、c的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式y=x+3，再设，，求出，根据，列出方程，求出m的值，从而可得点P的坐标；
（3）连接，，过作轴，作于，作于，先证出，利用全等三角形的性质可得，再列出方程组，求出，再列出方程，可得，再结合，，求出m的值即可.
（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，
，
解得：，
解析式为：；
（2）解：设直线，代入，，得，
解得：，，
直线．
点在抛物线上，点在上，
设，．
在直线上方，
，
轴，
，关于对称轴对称，
，
，
，即．
①当时，，
解得：，，
在上方，
，
，
；
②当时，，
解得：（舍），，
；
综上：P点坐标为或．
（3）解：平移后的解析式为：，
设，
，，，，
，
联立，得，
，，
连接，，过作轴，作于，作于，
根据垂直平分线可得，，，
∵，
∴，
、都是等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
整理，得，
，，
，
∴．
26．（2025·成都模拟）如图1，菱形中，，边长为8，点E是边上一动点，且，将沿翻折，点B的对应点为．
（1）连接，探究与（点A、C、B'三点不共线）的数量关系， 并证明你的结论；
（2）如图2，若点M为中点，当时，连接，求的值；
（3）如图3，动点P、Q在线段上，且，连接，与的角平分线交于点F，过点F作的垂线，垂足为点H，求的最大值．
【答案】（1）解：，
证明如下：设交于，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵是等边三角形，点M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得；
如图所示，延长交于H，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴.
（3）解：如图所示，过点E作交直线于T，
设点M为的中点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
由（2）可得，
∴（平行线间间距相等），
∵，
∴；
∵与的角平分线交于点F，且，
∴由角平分线的性质可得点F到的距离都等于的长，
∵，
∴，
∴，
∴要使的值最大，那么的值要最小，
∵，
，
∴当最小时，能同时取得最小值，
∵，
∴点E在线段上运动，
∴当点E与点M重合时，此时点A与点T重合，则此时有最小值，最小值为0，
又∵当点P与点A重合时，有最小值，最小值为0，
∴当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值，
∴，，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）设交于，先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，可得；
（2）延长交于H，先证出，再利用相似三角形的性质可得，即，求出HE的长，再证出HE是的中位线，利用中位线的性质可得，最后求出即可；
（3）过点E作交直线于T，设点M为的中点，连接，先证出点E在线段上运动，可得当点E与点M重合时，此时点A与点T重合，则此时有最小值，最小值为0，再证出当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值，最后求出答案即可.
（1）解：，证明如下：
设交于，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，点M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得；
如图所示，延长交于H，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点E作交直线于T，设点M为的中点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
由（2）可得，
∴（平行线间间距相等），
∵，
∴；
∵与的角平分线交于点F，且，
∴由角平分线的性质可得点F到的距离都等于的长，
∵，
∴，
∴，
∴要使的值最大，那么的值要最小，
∵，
，
∴当最小时，能同时取得最小值，
∵，
∴点E在线段上运动，
∴当点E与点M重合时，此时点A与点T重合，则此时有最小值，最小值为0，
又∵当点P与点A重合时，有最小值，最小值为0，
∴当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值，
∴，，
∴，
∴．
1 / 1四川省成都市第七中学初中学校2025年中考三模数学试题
1．（2025·成都模拟）－的绝对值是（　　）
A．－ B． C．－6 D．6
2．（2025·成都模拟）如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·成都模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·成都模拟）已知点与关于原点对称，则a的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
5．（2025·成都模拟）已知一组数据2，2，3，2，x，1的平均数是2，那么这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
6．（2025·成都模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，于点E．若，则边AB的长是（　　）
A． B． C．4 D．6
7．（2025·成都模拟）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·成都模拟）如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（　　）
A．18 B． C． D．24
9．（2025·成都模拟）因式分解：　 　．
10．（2025·成都模拟） 分式方程 的解是　 　
11．（2025·成都模拟）已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为　 　．
12．（2025·成都模拟）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　．
13．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为（－2，4），是的中点，是上的一点，当三角形的周长最小时，点的坐标是　 　．
14．（2025·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（2025·成都模拟）某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表
项目 人数
A排球 6
B篮球 m
C毽球 10
D羽毛球 4
E跳绳 18
（1）本次抽样调查的学生有_____人；m的值为_____；
（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为_____；
（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数为_____；
（4）若喜欢跳绳的同学中有两男两女是校绳操队队员，现要从他们四人中随机抽取两人代表学校去参加区级比赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名男生的概率．
16．（2025·成都模拟）如图，监控摄像头D固定在与构成的支架上，与地面垂直，，若该摄像头的可视角为的平分线，且，点在同一直线上，过点D作为垂足．
（1）求 的度数；
（2）求摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离．（精确到）参考数据：（）
17．（2025·成都模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若AE＝4，．求：
①BE的长；
②的值．
18．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）．
（1）求a的值及线段的长；
（2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积；
（3）将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值．
19．（2025·成都模拟）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　．
20．（2025·成都模拟）如图，相交于点 E，若，若，则　 　°.
21．（2025·成都模拟）如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则　 　．
22．（2025·成都模拟）若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则　 　；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4，　 　．
23．（2025·成都模拟）如图，在中，，，点E在直线上，，，则的最小值为　 　．
24．（2025·成都模拟）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B 种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？
25．（2025·成都模拟）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
26．（2025·成都模拟）如图1，菱形中，，边长为8，点E是边上一动点，且，将沿翻折，点B的对应点为．
（1）连接，探究与（点A、C、B'三点不共线）的数量关系， 并证明你的结论；
（2）如图2，若点M为中点，当时，连接，求的值；
（3）如图3，动点P、Q在线段上，且，连接，与的角平分线交于点F，过点F作的垂线，垂足为点H，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：﹣的绝对值是.
故答案为：B．
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看，大正方形内的是两个小正方形．
故答案为：B．
【分析】俯视图就是从几何题的上边所看得到的平面图形.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故A不符合题意
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用平方差公式，可对B作出判断；再利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后利用完全平方公式可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与关于原点对称，
∴a=－2，b=－1．
故答案为：C．
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：根据题意知：，
解得：，
则这组数据为2，2，3，2，2，1，
将数据重新排列为1、2、2、2、2、3，
所以中位数为，
故答案为：C.
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；即可求解.
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，，
∴ ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
或者 （舍）
．
故答案为：C．
【分析】利用矩形的性质、垂直的概念及余角的性质可证得∠BAE=∠CBE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性质可推出，同时可求出AC的长，然后求出AB的长即可.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】根据每人分七两，则剩余四两可得7x=y-4；根据每人分九两，则还差八两可得9x=y+8，联立可得方程组.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹得到平分，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，交于点O，如图，
∵，
而，
∴四边形为菱形，
∴，，，
在中，，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，交于点O，先证出四边形为菱形，利用菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出OB的长，最后求出BG的长即可.
9．【答案】m（n-3）（n+3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=m（n2-9）
=m（n-3）（n+3）．
故答案为：m（n-3）（n+3）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
10．【答案】x=-1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘
∴x=-1
经检验 x=-1是原方程的解
故答案为：x=-1.
【分析】根据求解分式方程的步骤 ①去分母： 在方程两边同时乘最简公分母转化为整式方程； ②解这个整式方程；③检验： 把求得的根代入最简公分母， 使最简公分母≠0的就是原方程的根， 使最简公分母的值为 的就是增根， 应舍去，可得结果.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径是，圆心角是，
∴该扇形的弧长是：；
故答案为：．
【分析】根据弧长公式是（n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径），代入即可求出弧长．
12．【答案】
【知识点】分式的值；概率公式
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】利用概率公式及它是黑棋的概率，可得到关于a、b的方程，解方程用含a的代数式表示出b，然后将b代入代数式进行计算.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，作点A关于轴的对称点，连接与轴交于点，则此时AE＋DE＝＋DE的值最小，即的周长最小．
∵A（－2，4），
∴（2，4），
∵是的中点，
∴D（－1，0），
设直线表达式是，
代入（2，4），D（－1，0），得，
解得：，
直线表达式是，
点的坐标是，
故答案为：．
【分析】作点A关于轴的对称点，连接与轴交于点，则此时AE＋DE＝＋DE的值最小，即的周长最小，先利用待定系数法求出直线DA'的解析式，再求出点E的坐标即可.
14．【答案】解：（1）原式
．
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值、0指数幂、实数的绝对值和算术平方根的性质化简，再计算即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
15．【答案】（1）50；12
（2）
（3）648人
（4）解：将2名男生记为A、B，2名女生分别记为C、D，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名男生的结果有：，，共2种，
∴恰好抽到两名男生的概率为．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽样调查的学生有：（人），
，
故答案为：50；12；
（2）解：，
即喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：（人），
答：全校1800名学生中喜欢跳绳活动的有648人；
故答案为：648人.
【分析】（1）利用“A”的人数除以对定义的百分比可得总人数，再求出m的值即可；（2）先求出“C”的百分比，再乘以360°可得答案；（3）先求出“E”的百分比，再乘以1800可得答案；（4）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：本次抽样调查的学生有：（人），
，
故答案为：50；12；
（2）解：，
即喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：（人），
答：全校1800名学生中喜欢跳绳活动的有648人；
故答案为：648人；
（4）解：将2名男生记为A、B，2名女生分别记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名男生的结果有：，，共2种，
∴恰好抽到两名男生的概率为．
16．【答案】（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，
，
，
，
∵为的平分线，，
，
，
，
，
．
（2）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
在中，，
，
摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，先求出，再利用角的运算求出∠BDG的度数，最后求出∠GDH的度数即可；
（2）先求出DH的长，再利用角的运算求出∠DGH的度数，再利用解直角三角形的方法求出HG的长，最后利用线段的和差求出AG的长即可.
（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，
，
，
，
∵为的平分线，，
，
，
，
，
．
（2）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
在中，，
，
摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为．
17．【答案】（1）证明：连接OD，
∵DH⊥AC，且DH是⊙O的切线，
∴∠ODH＝∠DHA＝90°，
∴OD∥CA，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠C，
∵∠OBD＝∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DC＝DE.
（2）解：①由（1）可知：OD∥AC，
∴∠AEF＝∠ODF，
∵∠AFE＝∠OFD，
∴△AFE∽△OFD，
∴，
∵AE＝4，
∴OD＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴；
∴BE的长为；
②在Rt△AEB中，，
∵∠BDF＝∠BAE，
∴．
【知识点】切线的性质；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OD，先利用切线的性质及DH⊥AC，证出OD∥CA，利用平行线的性质可得∠C＝∠ODB，再利用等边对等角的性质及等量代换可得∠C＝∠DEC，最后利用等角对等边的性质可得DC＝DE；
（2）①先证出△AFE∽△OFD，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出OD的长，再利用勾股定理求出BE的长即可；
②先证出∠BDF＝∠BAE，再利用余弦的定义及计算方法求出即可．
（1）证明：连接OD，
∵DH⊥AC，且DH是⊙O的切线，
∴∠ODH＝∠DHA＝90°，
∴OD∥CA，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠C，
∵∠OBD＝∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DC＝DE；
（2）①由（1）可知：OD∥AC，∴∠AEF＝∠ODF，
又∵∠AFE＝∠OFD，
∴△AFE∽△OFD，
∴，
∵AE＝4，
∴OD＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴；
∴BE的长为；
②在Rt△AEB中，，
∵∠BDF＝∠BAE，
∴．
18．【答案】（1）解：将代入直线中，
可得，
解得：，
∴直线的表达式为．
令，则，即，
∴，
∴．
（2）解：如图1所示，
由题意可得，
故的横坐标为的纵坐标为，
又因为两点在双曲线上，
故设．
设直线的表达式为，
则，
解得：，
由待定系数法可得直线的表达式为，
又因为在直线上，
故，解得：，
所以双曲线的表达式为，
的面积
．
（3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，，设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，
代入，得：，解得：，
∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则，
的图象沿着直线翻折后如图所示，
是公共角，
根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况，
当时，有，
，
，
点M在直线上，
∴设，则，
解得：，
，
点关于直线的对称点为，即，
根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，
将代入可得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入求出a的值；再求出点A的坐标，可得OA和OB的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，再将点A的坐标代入求出k的值，再求出点C、D的坐标，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△ABD的面积即可；
（3）利用相似三角形的性质可得，再利用正切的定义可得， 设，则， 求出t的值，可得点M的坐标，再求出其对应点并代入求出k的值即可.
（1）解：将代入直线中，得，故，
∴直线的表达式为．
令，则，即，
所以，
故．
（2）解：如图1所示，
由题意可得，
故的横坐标为的纵坐标为，
又因为两点在双曲线上，
故设．
设直线的表达式为，
则，解得：，
由待定系数法可得直线的表达式为，
又因为在直线上，
故，解得：，
所以双曲线的表达式为，
的面积
．
（3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，，
设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，
代入，得：，解得：，
∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则，
的图象沿着直线翻折后如图所示，
是公共角，
根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况，
当时，有，
，
，
点M在直线上，
∴设，则，
解得：，
，
点关于直线的对称点为，即，
根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，
将代入可得：．
19．【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
20．【答案】48
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：48．
【分析】先利用全等三角形的性质和三角形的内角和求出，再利用角的运算求出∠B的度数即可.
21．【答案】
【知识点】黄金分割；几何概率
【解析】【解答】解：由题意得：四边形为正方形，
设，
∵点E是线段的黄金分割点，且，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】设，则，，再求出即可.
22．【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，
∴其顶点坐标为，
∵是的伴随函数，
∴在一次函数的图象上，
∴，
∴；
设函数与x轴两个交点的横坐标分别为，，则，，
∴，
∵函数与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，，
∴函数为：，
∴其顶点坐标为，
∵是的伴随函数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】设函数与x轴两个交点的横坐标分别为，，则，，根据“函数与x轴两个交点间的距离为4”可得，求出n的值，可得函数解析式，再求出其顶点坐标为，再利用“伴随函数”的定义可得，再求出m的值即可.
23．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆的综合题；解直角三角形；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵，，
即，
∴点D在以为直径的圆O上，如图，
取弧的中点点F，连接，
则，，
∵是的直径，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
延长交于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点在上，如图，
取点，连接，
则，
连接，
则，
∴，
即点在以点为圆心，1为半径的上运动，
∴当位于点时，最小，最小值为，
∵，
∴点共线，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】取弧的中点点F，连接，利用垂径定理得出，，根据圆周角得，连接，根据，得出，证明，得出，即可得，，，延长交于点，则，得出，，证明，得出，根据，得出，即可得，同理“定角对定边”，得出点在上，画轨迹，取点，连接，根据内接四边形得，连接，圆周角定理得，得出，即点在以点为圆心，1为半径的上运动，即可得出当位于点时，最小，最小值为，再求解即可.
24．【答案】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元.
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：，
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元，根据“ 购进500元A种娃娃和购进400元B种娃娃数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据“ 商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个 ”列出不等式求出m的取值范围，再设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：，
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
25．【答案】（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，
，
解得：，
解析式为：；

（2）解：设直线，代入，，得，
解得：，，
直线．
点在抛物线上，点在上，
设，．
在直线上方，
，
轴，
，关于对称轴对称，
，
，
，即．
①当时，，
解得：，，
在上方，
，
，
；
②当时，，
解得：（舍），，
；
综上：P点坐标为或．
（3）解：平移后的解析式为：，设，
，，，，
，
联立，得，
，，
连接，，过作轴，作于，作于，
根据垂直平分线可得，，，
∵，
∴，
、都是等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
整理，得，
，，
，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）利用待定系数法列出方程求出a、b、c的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式y=x+3，再设，，求出，根据，列出方程，求出m的值，从而可得点P的坐标；
（3）连接，，过作轴，作于，作于，先证出，利用全等三角形的性质可得，再列出方程组，求出，再列出方程，可得，再结合，，求出m的值即可.
（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，
，
解得：，
解析式为：；
（2）解：设直线，代入，，得，
解得：，，
直线．
点在抛物线上，点在上，
设，．
在直线上方，
，
轴，
，关于对称轴对称，
，
，
，即．
①当时，，
解得：，，
在上方，
，
，
；
②当时，，
解得：（舍），，
；
综上：P点坐标为或．
（3）解：平移后的解析式为：，
设，
，，，，
，
联立，得，
，，
连接，，过作轴，作于，作于，
根据垂直平分线可得，，，
∵，
∴，
、都是等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
整理，得，
，，
，
∴．
26．【答案】（1）解：，
证明如下：设交于，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵是等边三角形，点M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得；
如图所示，延长交于H，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴.
（3）解：如图所示，过点E作交直线于T，
设点M为的中点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
由（2）可得，
∴（平行线间间距相等），
∵，
∴；
∵与的角平分线交于点F，且，
∴由角平分线的性质可得点F到的距离都等于的长，
∵，
∴，
∴，
∴要使的值最大，那么的值要最小，
∵，
，
∴当最小时，能同时取得最小值，
∵，
∴点E在线段上运动，
∴当点E与点M重合时，此时点A与点T重合，则此时有最小值，最小值为0，
又∵当点P与点A重合时，有最小值，最小值为0，
∴当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值，
∴，，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）设交于，先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，可得；
（2）延长交于H，先证出，再利用相似三角形的性质可得，即，求出HE的长，再证出HE是的中位线，利用中位线的性质可得，最后求出即可；
（3）过点E作交直线于T，设点M为的中点，连接，先证出点E在线段上运动，可得当点E与点M重合时，此时点A与点T重合，则此时有最小值，最小值为0，再证出当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值，最后求出答案即可.
（1）解：，证明如下：
设交于，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，点M为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得；
如图所示，延长交于H，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点E作交直线于T，设点M为的中点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
由（2）可得，
∴（平行线间间距相等），
∵，
∴；
∵与的角平分线交于点F，且，
∴由角平分线的性质可得点F到的距离都等于的长，
∵，
∴，
∴，
∴要使的值最大，那么的值要最小，
∵，
，
∴当最小时，能同时取得最小值，
∵，
∴点E在线段上运动，
∴当点E与点M重合时，此时点A与点T重合，则此时有最小值，最小值为0，
又∵当点P与点A重合时，有最小值，最小值为0，
∴当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值，
∴，，
∴，
∴．
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