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2025-2026学年浙江九年级数学上册第三章《圆的基本性质》常考题题精选
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）与圆心的距离大于半径的点位于（　　）
A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上
【答案】A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，设圆的半径为，圆心为，点到圆心的距离为，当时，点在圆的外部；当时，点在圆上；当时，点在圆的内部，据此进行判断即可．
【详解】解：∵点与圆心的距离大于半径，
∴点位于圆的外部；
故选A．
2．（本题3分）（22-23九年级上·浙江温州·期中）半径为6的圆弧的度数为，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在半径是r的圆中，360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长，即圆心角所对的弧长为．
【详解】解：∵圆弧的半径为6，圆心角的度数为，
∴圆弧的弧长为：；
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式．
3．（本题3分）（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）下列命题正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
【答案】C
【分析】根据等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形的知识进行判断即可．
【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；
D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查了等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形等相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．
4．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，得到，得出，即可得到答案．
【详解】如图，连接，
是的中点，
，
，
，
故选：A．
5．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系．利用圆周角定理求得，推出，由，得到，据此计算求得答案即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
6．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键．
根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可．
【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以这个正多边形是正九边形，
故选：B．
7．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆的直径，半径的中垂线交于点，连结，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接，找中点F，连接和，则，结合等腰三角形的性质得，结合圆的内接四边形得，即可判断A正确；根据题意得，则可得，则，可判定B正确；由，得，则，可判断C正确；由得，利用三角形三边关系得，即可得，故D错误．
【详解】解：连接，找中点F，连接和，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
则，故A正确；
∵的中垂线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故B正确；
∵，
∴，
则，故C正确；
∵，
∴，
在中，，
∴，
则，故D错误；
故选:D．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，涉及内接四边形、同弧所对圆周角相等、等边三角形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉圆的性质和等边三角形的性质．
8．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形内接于，点M为边延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．
由圆周角定理可得，由圆内接四边形的性质可得，再结合邻补角的定义，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
，
，
故选：C．
9．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换，圆周角定理等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，进而垂直平分垂直平分，结合圆周角定理推出，即可求出的度数．
【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，
∵垂直平分垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴的度数为，
故选：B．
10．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，由直角三角形斜边中线可得，得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，再求出两种特殊位置时，，的值，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵正方形的边长为3，
∴，，
∵线段的中点，，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点Q与A重合时，在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∵，
∴，
当与C重合时，同法可得，
∵，
∴，
∴线段的中点M所经过的路线长，
故选：D．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
12．（本题3分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则的度数为
【答案】/45度
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得出旋转角是解题关键．由题意得出，再结合求解即可．
【详解】解：由旋转可知，
∴．
故答案为：．
13．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点，
根据题意得，，
，
，
，
，
锅盖最低点到的距离是，
故答案为：．
14．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质，根据点的坐标，画出图形，利用垂径定理及中点坐标公式求出点的坐标即可．画出图形是解答本题的关键．
【详解】解：如图，的垂直平分线为直线，的垂直平分线为直线，
由垂径定理可知点的横坐标为，纵坐标为，
．
故答案为：．
15．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连结，以点B为圆心为半径画弧交于点D．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，连接，根据弧、弦、圆心角的关系求出，由等腰三角形的判定与性质求出的度数，由勾股定理求出，从而根据弧长公式求出的长即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得到，在中，运用勾股定理列式，再因式分解求一元二次方程即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴，
如图所示，连接，
设的半径为，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∵以为圆心，长为半径作弧交于点，
∴，
∵为的直径，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴的半径长是，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定理的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键．
17．（本题3分）（23-24九年级上·北京西城·期中）矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，证明是解题的关键．
作，，证明，推出，当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作于，于，
∵是的平分线，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴A、D、G、E四点共圆，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长，
∵，，矩形，
∴，，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，则，从而可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
19．（本题7分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知的一条弦和该圆上的一点C，
(1)请按尺规作图的要求作出上的点D，使得．
(2)在（1）的条件下，连结，，若，的半径为1，求扇形的面积．
【答案】(1)图见详解
(2)
【分析】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，记住扇形的面积．
（1）在点C的上方作，连接即可；
（2）求出，利用扇形面积公式求解．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
20．（本题8分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求半径长．
【答案】(1)见解析
(2)半径长
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理；
（1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明；
（2）连接，根据圆周角定理可得，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点，，，均在上，
∴四边形为圆内接四边形，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：如图所示连接，
∵
∴
设的半径为，则中，
解得：（负值舍去）
∴半径长
21．（本题8分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求弧的长和扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2),
【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解；
（2）由等边对等角及三角形外角的性质求出，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
∵为直径，
∴，即，
又∵D是的中点，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．（本题10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、．
(1)证明：；
(2)若，求的度数；
(3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论；
（2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数；
（3）过点G作于H，于P，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
即，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴；
（3）解：过点G作于H，于P，
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∵点E是半圆的中点，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
∴矩形是正方形，
设，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查垂直平分线的判定及性质，圆周角定理，内接四边形的性质，勾股定理，正方形的判定及性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
23．（本题10分）（2025·浙江丽水·二模）如图，内接于，直径交于点，已知．
(1)求证：．
(2)设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）由是的直径可得，再由同角的余角相等可得，根据等边对等角即可得出结论；
（2）由已知可求，再根据同弧所对圆周角相等即可得出；
（3）根据（2）的结论可知求出，即，进而可得是等腰直角三角形，设的半径为，可求，，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
是的直径，
，
，
，
，
；
（2），，，
，
，
，
（3）如图，连接，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
令的半径为，
则，
，
，
，
，
，
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025-2026学年浙江九年级数学上册第三章《圆的基本性质》常考题题精选
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）与圆心的距离大于半径的点位于（　　）
A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上
2．（本题3分）（22-23九年级上·浙江温州·期中）半径为6的圆弧的度数为，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）下列命题正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
4．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
7．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆的直径，半径的中垂线交于点，连结，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形内接于，点M为边延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ．
12．（本题3分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则的度数为
13．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm．
14．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ．
15．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连结，以点B为圆心为半径画弧交于点D．若，则的长为 ．
16．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是 ．
17．（本题3分）（23-24九年级上·北京西城·期中）矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是 ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：．
19．（本题7分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知的一条弦和该圆上的一点C，
(1)请按尺规作图的要求作出上的点D，使得．
(2)在（1）的条件下，连结，，若，的半径为1，求扇形的面积．
20．（本题8分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求半径长．
21．（本题8分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求弧的长和扇形的面积．
22．（本题10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、．
(1)证明：；
(2)若，求的度数；
(3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长．
23．（本题10分）（2025·浙江丽水·二模）如图，内接于，直径交于点，已知．
(1)求证：．
(2)设的度数为，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)若，求的值．
试卷第1页，共3页
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