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广东省湛江市雷州市2025年中考五校第二次模拟预测数学试题
1．（2025·雷州模拟）同学们，我们是2025届学生，2025这个数字的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025这个数字的相反数是，
故选：C
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2025·雷州模拟）中国北斗卫星导航系统是由地球静止轨道、倾斜地球同步轨道和中圆地球轨道三种卫星组成，其中属于高轨卫星，高度大约是．数据35800000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2378万，
，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同据.
3．（2025·雷州模拟）从下列四个食品标识图中，随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：上图中第2和4两个图形是轴对称图形，
∴随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为，
故选：A．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，结合概率公式即可求出答案.
4．（2025·雷州模拟）下列计算不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：．，计算正确，故该选项不符合题意；
．，计算正确，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项符合题意；
．，计算正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据化简二次根式，合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·雷州模拟）如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：B．
【分析】本题考查了平行线的性质，以及三角形的外角的性质，由，得到，根据三角形的外角的性质，求得，结合，即可得到答案.
6．（2025·雷州模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：，
故选：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分求出不等式组的解集，再用数轴表示出解集即可．
7．（2025·雷州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点B，点C，D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k的值为（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，如图所示：
∵轴，
∴轴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】过点A作轴于点E，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，再根据反比例函数k的结合意义即可求出答案.
8．（2025·雷州模拟）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵为半径，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据垂径定理的推论得到，再根据勾股定理即可求出答案.
9．（2025·雷州模拟）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）．
A．-1 B．-5 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴ab=-3，a+b=2，
∴=ab(a+b)= 3×2= 6，
故选C．
【分析】一元二次方程根与系数的关系式可得ab=-3，a+b=2，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．（2025·雷州模拟）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【答案】C
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，
由三角形面积公式得：y＝，
解得EH＝AB＝6，
∴BH=AE=8，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴ED=4，
∴BC=AD＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
【分析】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，过点E作EH⊥BC，根据三角形面积可得BH=AE=8，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则ED=4，BC=AD＝12，再根据矩形面积即可求出答案.
11．（2025·雷州模拟）把多项式x3﹣xy2分解因式的结果是 　 　．
【答案】x(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】提公因式，然后利用平方差公式进行分解因式即可求出答案.
12．（2025·雷州模拟）计算：　 　．
【答案】6
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：6．
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
13．（2025·雷州模拟）若关于x的一元二次方程恰有两个不相等的实数根，则m的值可以为　 　．（任意写出一个即可）
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由条件可知，且，
解得，且，
可以为1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解不等式即可求出答案.
14．（2025·雷州模拟）如图，燃烧的蜡烛经小孔在屏幕上成像，设，小孔到、的距离分别为、，则像的长是 　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
∴．
∴像的长为，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形性质可得， 化简计算即可求出答案.
15．（2025·雷州模拟）如图，圆的直径是，按图中各图规律画下去，第（）个图的周长（外围）是　 　（结果保留）
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图，
图中图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，周长为，
图1中图形外围部分的线段长总和为；
图2中图形外围部分的线段长总和为；
图3中图形外围部分的线段长总和为；
图4中图形外围部分的线段长总和为；
图中图形外围部分的线段长总和为；
则第个图的周长（外围）是，
故答案为：．
【分析】根据图形得出图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，再找出图形外围部分的线段长总和的规律，即可求出答案.
16．（2025·雷州模拟）先化简，再从中选择一个值代入求值．
小陈同学在进行分式化简时，过程如下：
解：原式＝①
＝②
＝③
……
（1）上述过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
（2）请完成正确的完整解题过程．
【答案】（1）②，除法没有分配律；
（2）解：原式
，
由题意得：，
当时，原式，
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】（1）解：上述过程中，从第②步开始出现错误，因为除法没有分配律，
故答案为：②，除法没有分配律；
【分析】（1）根据分式的除法法则进行判断即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
（1）解：上述过程中，从第②步开始出现错误，因为除法没有分配律，
故答案为：②，除法没有分配律；
（2）（2）原式
，
由题意得：，
当时，原式，
17．（2025·雷州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图象在第一象限内交于和两点， 直线与x轴相交于点 C， 连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B 作平行于x轴，交于点 D， 求梯形的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
把代入一次函数得：
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）解：∵，设的解析式为：，则，
解得，
∴的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．

【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数可得反比例函数为：，再将点A坐标代入可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）设的解析式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得的解析式为：，过点B作平行于x轴，交于点D，，求出点D坐标，再根据x轴上点的坐标特征可得，再根据梯形面积即可求出答案.
18．（2025·雷州模拟）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离，测速仪C和E之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到）；
（2）若该隧道限速，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速 通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）解：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即A，B两点之间的距离为；
（2）解：未超速，理由如下：
由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速，
小汽车的速度为，
小汽车从点行驶到点未超速．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，解直角三角形可得AD，BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速，根据速度=路程÷时间，再比较大小即可求出答案.
（1）解：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即A，B两点之间的距离为；
（2）解：未超速，理由如下：
由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速，
小汽车的速度为，
小汽车从点行驶到点未超速．
19．（2025·雷州模拟）为培养阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需要购买20个书架用于摆放书籍．现有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个．
（1）求，两种书架的单价；
（2）学校采购时恰逢商场促销：种书架九折优惠，若购进种书架不少于种书架的数量的，请你设计一种方案，怎么购买，两种书架，可以使学校花费最少？
【答案】（1）解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元，
∴，
解得，
经检验是原方程的根，，
答：种书架的单价为500元，种书架的单价为600元；
（2）解：设购买种书架个，学校花费为元，
，
，随着的增大而增大，
，
，
当时，取得最小值，
答：购进种书架5个，购买种书架15个，学校花费最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】设种书架的单价为元，种书架的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买种书架个，学校花费为元，根据题意建立函数关系式为，根据购进种书架不少于种书架的数量的，建立不等式，解不等式可得a的取值范围，再结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元，
∴，
解得，
经检验是原方程的根，，
答：种书架的单价为500元，种书架的单价为600元；
（2）解：设购买种书架个，学校花费为元，
，
，随着的增大而增大，
，
，
当时，取得最小值，
答：购进种书架5个，购买种书架15个，学校花费最少．
20．（2025·雷州模拟）我国机器人产业正处于高速发展的关键时期.2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
【数据收集与整理】
、、三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差
9和10 85 1.85
8.5 8 87 0.61
8 83 2.01
（1）任务1：______，______；
【数据分析与运用】
（2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、
、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
（3）任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由．
【答案】（1）：，；
（2）任务2：的综合成绩为：（分），
的综合成绩为：
的综合成绩为：
，
机器人的综合成绩最高；
（3）：①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高；
②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定；
③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好.
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（1）：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，，
款机器人测试员打分的中位数，
由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分，
款机器人运动能力得分的众数，
故答案为：，；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案
（3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可．
21．（2025·雷州模拟）如图，在中，，，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，，．
（1）当点为的中点时，求的长度；
（2）点在上移动时，探究：当为何值时，是等腰三角形？
【答案】（1）解：∵中，，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴．
∴．
∵点P为的中点，为直径，
∴，
∴．
∴．
（2）解：①当时．
由（1）知，，则，
∵是直径，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②当时，，连接，
∵是直径，
∴，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，如图所示，连接，过点E作于点F．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或或时，是等腰三角形．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义可得，根据圆周角定理可得，再根据正弦定义可得BE，再根据同弧所对的弦相等即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时．由（1）知，，则，根据圆周角定理可得，，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；②当时，，连接，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；③当时，连接，过点E作于点F，根据正弦定义可得BF，再根据垂径定理可得，根据边之间的关系可得CD，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；
（1）解：∵中，，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴．
∴．
∵点P为的中点，为直径，
∴，
∴．
∴．
（2）解：①当时．
由（1）知，，则，
∵是直径，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②当时，，连接，
∵是直径，
∴，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，如图所示，连接，过点E作于点F．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或或时，是等腰三角形．
22．（2025·雷州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，直线与轴交于点D，与轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线，经过点，，
∴，
解得
故抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作交直线于点Q．
设点，则点．
∵
∴，
．
∵，且，
∴时，的值最大，最大值为．
把代入，得．
∴点P的坐标为．
（3）存在，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（3）∵直线与轴交于点D，与轴交于点E，
∴，
∴，
∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度，
由，
∴设，把点代入得：，
解得（舍去）或，
∴，
令，，解得或，
故点
∵，，
∴，
设点，过点T作于点G，
故，
即，
解得：或（舍去），
∴；
同理可得，
即，
解得：或（舍去），
∴，
综上，点T的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过点P作交直线于点Q，设点，则点，根据相似三角形判定定理可得，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得，则，设平移的距离为n个单位长度，根据函数图象的平移性质可得，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据角之间的关系可得，设点，过点T作于点G，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，同理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：∵抛物线，经过点，，
∴，
解得
故抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作交直线于点Q．
设点，则点．
∵
∴，
．
∵，且，
∴时，的值最大，最大值为．
把代入，得．
∴点P的坐标为．
（3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E，
∴，
∴，
∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度，
由，
∴设，把点代入得：，
解得（舍去）或，
∴，
令，，解得或，
故点
∵，，
∴，
设点，过点T作于点G，
故，
即，
解得：或（舍去），
∴；
同理可得，
即，
解得：或（舍去），
∴，
综上，点T的坐标为或．
23．（2025·雷州模拟）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
【建立模型】（1）如图1，点为等边内部一点，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，则．请思考并证明小颜的结论；
【类比探究】（2）小梁进一步探究；如图2，点为正方形内部一点，将绕点逆时针旋转得到，连接并延长，交于点．求证：；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，点为内部一点，．点，是，上的动点，且，若，，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴；
（2）证明：如图， 过点B分别作于点 F，于点 G，则
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴矩形为正方形．
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
，
；
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接．
∴同上可得：．
∴．
连接交于点，
∴ (两点之间线段最短)．
∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度．
由（2）易得：．
∴，．
∵．
∴．
∴．
过N作于H．
∵，
∴．
∴，
，
．
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）过点B分别作于点 F，于点 G，则，根据旋转性质可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，由全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，根据正方形判定定理可得矩形为正方形，则，再根据边之间的关系可得，再根据正方形性质可得，根据勾股定理可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，同上可得：，则，连接交于点，则 (两点之间线段最短)，即当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，根据全等三角形性质可得，，再根据角之间的关系可得，过N作于H，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得CH，再根据边之间的关系可得MH，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广东省湛江市雷州市2025年中考五校第二次模拟预测数学试题
1．（2025·雷州模拟）同学们，我们是2025届学生，2025这个数字的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·雷州模拟）中国北斗卫星导航系统是由地球静止轨道、倾斜地球同步轨道和中圆地球轨道三种卫星组成，其中属于高轨卫星，高度大约是．数据35800000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·雷州模拟）从下列四个食品标识图中，随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
4．（2025·雷州模拟）下列计算不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·雷州模拟）如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·雷州模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·雷州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点B，点C，D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k的值为（　　）
A．3 B． C．6 D．
8．（2025·雷州模拟）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（　　）
A． B．6 C．8 D．10
9．（2025·雷州模拟）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）．
A．-1 B．-5 C．-6 D．6
10．（2025·雷州模拟）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
11．（2025·雷州模拟）把多项式x3﹣xy2分解因式的结果是 　 　．
12．（2025·雷州模拟）计算：　 　．
13．（2025·雷州模拟）若关于x的一元二次方程恰有两个不相等的实数根，则m的值可以为　 　．（任意写出一个即可）
14．（2025·雷州模拟）如图，燃烧的蜡烛经小孔在屏幕上成像，设，小孔到、的距离分别为、，则像的长是 　 　．
15．（2025·雷州模拟）如图，圆的直径是，按图中各图规律画下去，第（）个图的周长（外围）是　 　（结果保留）
16．（2025·雷州模拟）先化简，再从中选择一个值代入求值．
小陈同学在进行分式化简时，过程如下：
解：原式＝①
＝②
＝③
……
（1）上述过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
（2）请完成正确的完整解题过程．
17．（2025·雷州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图象在第一象限内交于和两点， 直线与x轴相交于点 C， 连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B 作平行于x轴，交于点 D， 求梯形的面积．
18．（2025·雷州模拟）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离，测速仪C和E之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到）；
（2）若该隧道限速，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速 通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
19．（2025·雷州模拟）为培养阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需要购买20个书架用于摆放书籍．现有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个．
（1）求，两种书架的单价；
（2）学校采购时恰逢商场促销：种书架九折优惠，若购进种书架不少于种书架的数量的，请你设计一种方案，怎么购买，两种书架，可以使学校花费最少？
20．（2025·雷州模拟）我国机器人产业正处于高速发展的关键时期.2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
【数据收集与整理】
、、三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差
9和10 85 1.85
8.5 8 87 0.61
8 83 2.01
（1）任务1：______，______；
【数据分析与运用】
（2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、
、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
（3）任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由．
21．（2025·雷州模拟）如图，在中，，，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，，．
（1）当点为的中点时，求的长度；
（2）点在上移动时，探究：当为何值时，是等腰三角形？
22．（2025·雷州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，直线与轴交于点D，与轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
23．（2025·雷州模拟）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
【建立模型】（1）如图1，点为等边内部一点，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，则．请思考并证明小颜的结论；
【类比探究】（2）小梁进一步探究；如图2，点为正方形内部一点，将绕点逆时针旋转得到，连接并延长，交于点．求证：；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，点为内部一点，．点，是，上的动点，且，若，，，请直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025这个数字的相反数是，
故选：C
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2378万，
，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同据.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：上图中第2和4两个图形是轴对称图形，
∴随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为，
故选：A．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，结合概率公式即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：．，计算正确，故该选项不符合题意；
．，计算正确，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项符合题意；
．，计算正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据化简二次根式，合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：B．
【分析】本题考查了平行线的性质，以及三角形的外角的性质，由，得到，根据三角形的外角的性质，求得，结合，即可得到答案.
6．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：，
故选：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分求出不等式组的解集，再用数轴表示出解集即可．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，如图所示：
∵轴，
∴轴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】过点A作轴于点E，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，再根据反比例函数k的结合意义即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：∵为半径，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据垂径定理的推论得到，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴ab=-3，a+b=2，
∴=ab(a+b)= 3×2= 6，
故选C．
【分析】一元二次方程根与系数的关系式可得ab=-3，a+b=2，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，
由三角形面积公式得：y＝，
解得EH＝AB＝6，
∴BH=AE=8，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴ED=4，
∴BC=AD＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
【分析】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，过点E作EH⊥BC，根据三角形面积可得BH=AE=8，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则ED=4，BC=AD＝12，再根据矩形面积即可求出答案.
11．【答案】x(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】提公因式，然后利用平方差公式进行分解因式即可求出答案.
12．【答案】6
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：6．
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由条件可知，且，
解得，且，
可以为1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解不等式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
∴．
∴像的长为，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形性质可得， 化简计算即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图，
图中图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，周长为，
图1中图形外围部分的线段长总和为；
图2中图形外围部分的线段长总和为；
图3中图形外围部分的线段长总和为；
图4中图形外围部分的线段长总和为；
图中图形外围部分的线段长总和为；
则第个图的周长（外围）是，
故答案为：．
【分析】根据图形得出图形外围部分的圆弧可以通过平移组成一个完整圆，再找出图形外围部分的线段长总和的规律，即可求出答案.
16．【答案】（1）②，除法没有分配律；
（2）解：原式
，
由题意得：，
当时，原式，
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】（1）解：上述过程中，从第②步开始出现错误，因为除法没有分配律，
故答案为：②，除法没有分配律；
【分析】（1）根据分式的除法法则进行判断即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
（1）解：上述过程中，从第②步开始出现错误，因为除法没有分配律，
故答案为：②，除法没有分配律；
（2）（2）原式
，
由题意得：，
当时，原式，
17．【答案】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
把代入一次函数得：
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）解：∵，设的解析式为：，则，
解得，
∴的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．

【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数可得反比例函数为：，再将点A坐标代入可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）设的解析式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得的解析式为：，过点B作平行于x轴，交于点D，，求出点D坐标，再根据x轴上点的坐标特征可得，再根据梯形面积即可求出答案.
18．【答案】（1）解：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即A，B两点之间的距离为；
（2）解：未超速，理由如下：
由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速，
小汽车的速度为，
小汽车从点行驶到点未超速．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，解直角三角形可得AD，BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速，根据速度=路程÷时间，再比较大小即可求出答案.
（1）解：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即A，B两点之间的距离为；
（2）解：未超速，理由如下：
由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速，
小汽车的速度为，
小汽车从点行驶到点未超速．
19．【答案】（1）解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元，
∴，
解得，
经检验是原方程的根，，
答：种书架的单价为500元，种书架的单价为600元；
（2）解：设购买种书架个，学校花费为元，
，
，随着的增大而增大，
，
，
当时，取得最小值，
答：购进种书架5个，购买种书架15个，学校花费最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】设种书架的单价为元，种书架的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买种书架个，学校花费为元，根据题意建立函数关系式为，根据购进种书架不少于种书架的数量的，建立不等式，解不等式可得a的取值范围，再结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元，
∴，
解得，
经检验是原方程的根，，
答：种书架的单价为500元，种书架的单价为600元；
（2）解：设购买种书架个，学校花费为元，
，
，随着的增大而增大，
，
，
当时，取得最小值，
答：购进种书架5个，购买种书架15个，学校花费最少．
20．【答案】（1）：，；
（2）任务2：的综合成绩为：（分），
的综合成绩为：
的综合成绩为：
，
机器人的综合成绩最高；
（3）：①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高；
②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定；
③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好.
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（1）：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，，
款机器人测试员打分的中位数，
由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分，
款机器人运动能力得分的众数，
故答案为：，；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案
（3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可．
21．【答案】（1）解：∵中，，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴．
∴．
∵点P为的中点，为直径，
∴，
∴．
∴．
（2）解：①当时．
由（1）知，，则，
∵是直径，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②当时，，连接，
∵是直径，
∴，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，如图所示，连接，过点E作于点F．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或或时，是等腰三角形．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义可得，根据圆周角定理可得，再根据正弦定义可得BE，再根据同弧所对的弦相等即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时．由（1）知，，则，根据圆周角定理可得，，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；②当时，，连接，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；③当时，连接，过点E作于点F，根据正弦定义可得BF，再根据垂径定理可得，根据边之间的关系可得CD，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；
（1）解：∵中，，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴．
∴．
∵点P为的中点，为直径，
∴，
∴．
∴．
（2）解：①当时．
由（1）知，，则，
∵是直径，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
②当时，，连接，
∵是直径，
∴，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，如图所示，连接，过点E作于点F．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或或时，是等腰三角形．
22．【答案】（1）解：∵抛物线，经过点，，
∴，
解得
故抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作交直线于点Q．
设点，则点．
∵
∴，
．
∵，且，
∴时，的值最大，最大值为．
把代入，得．
∴点P的坐标为．
（3）存在，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（3）∵直线与轴交于点D，与轴交于点E，
∴，
∴，
∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度，
由，
∴设，把点代入得：，
解得（舍去）或，
∴，
令，，解得或，
故点
∵，，
∴，
设点，过点T作于点G，
故，
即，
解得：或（舍去），
∴；
同理可得，
即，
解得：或（舍去），
∴，
综上，点T的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过点P作交直线于点Q，设点，则点，根据相似三角形判定定理可得，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得，则，设平移的距离为n个单位长度，根据函数图象的平移性质可得，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据角之间的关系可得，设点，过点T作于点G，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，同理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：∵抛物线，经过点，，
∴，
解得
故抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作交直线于点Q．
设点，则点．
∵
∴，
．
∵，且，
∴时，的值最大，最大值为．
把代入，得．
∴点P的坐标为．
（3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E，
∴，
∴，
∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度，
由，
∴设，把点代入得：，
解得（舍去）或，
∴，
令，，解得或，
故点
∵，，
∴，
设点，过点T作于点G，
故，
即，
解得：或（舍去），
∴；
同理可得，
即，
解得：或（舍去），
∴，
综上，点T的坐标为或．
23．【答案】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴；
（2）证明：如图， 过点B分别作于点 F，于点 G，则
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴矩形为正方形．
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
，
；
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接．
∴同上可得：．
∴．
连接交于点，
∴ (两点之间线段最短)．
∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度．
由（2）易得：．
∴，．
∵．
∴．
∴．
过N作于H．
∵，
∴．
∴，
，
．
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）过点B分别作于点 F，于点 G，则，根据旋转性质可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，由全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，根据正方形判定定理可得矩形为正方形，则，再根据边之间的关系可得，再根据正方形性质可得，根据勾股定理可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，同上可得：，则，连接交于点，则 (两点之间线段最短)，即当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，根据全等三角形性质可得，，再根据角之间的关系可得，过N作于H，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得CH，再根据边之间的关系可得MH，再根据勾股定理即可求出答案.
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