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广东省东莞市石碣新民学校2025年中考数学原创信息卷(五)
1．（2025·东莞模拟）下列实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-3，0是整数，是分数，它们都是整数，不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．（2025·东莞模拟）电影《哪吒之魔童闹海》于北京时间年月日全球累计票房（含预售及海外）突破亿元．数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.
3．（2025·东莞模拟）如图，点O在直线上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【分析】根据补角即可求出答案.
4．（2025·东莞模拟）下列命题为真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．同位角相等
【答案】A
【知识点】相交线的相关概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：对于A，由对顶角的定义可知对顶角相等，正确；
对于B、C、D，在两直线被第三条直线所截行成的各组角的关系中，未说明两直线平行，
故此时对应的同旁内角、内错角及同位角不一定相等.
故选：A.
【分析】由相交线与平行线的性质区分角及对应性质.
5．（2025·东莞模拟）已知数位于数轴上原点的左边，则数到原点的距离表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵数位于数轴上原点的左边，数轴上原点的左边的数表示的是负数，
∴，
∴数到原点的距离是，
故选： B．
【分析】根据数的位置，确定数表示的数是负数，所以它到原点的距离就是它的相反数，即可求出答案.
6．（2025·东莞模拟）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据解不等式组的解集表示在数轴上为
故选：A．
【分析】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
7．（2025·东莞模拟）如图⊙O的半径为5，弦心距，则弦的长是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如下图所示：
∵在直角三角形OAC中，OA＝5，弦心距，
∴AC＝ ，
又∵OC⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=8．
故答案为：A
【解析】连接OA，在直角三角形OAC中，根据勾股定理可得AC，再根据垂径定理即可求出答案.
8．（2025·东莞模拟）用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据配方法解方程即可求出答案.
9．（2025·东莞模拟）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则：，故选D．
【分析】求出阴影部分的面积与整个网格的面积，根据几何概率即可求出答案.
10．（2025·东莞模拟）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】过点作，根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．（2025·东莞模拟）计算的结果为　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：3 ．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
12．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴点的坐标是，
故答案为： ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
13．（2025·东莞模拟）若两个相似三角形的相似比为3∶4，则它们的面积比为　 　．
【答案】9：16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为3：4，
∴它们的面积比为9：16
故答案为9：16
【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.
14．（2025·东莞模拟）如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，
则，
∴，
∵函数图象位于一、三象限，
∴，
∴取．
故答案为：12．
【分析】设，根据反比例函数k的几何意义可得，再根据反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
15．（2025·东莞模拟）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴四边形是平行四边形，
如图，作于，于，
由宽度相等的两张纸条可得：，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，如图，作于，于，由等宽可得，根据三角形的面积可得，根据有一组邻边的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的面积公式计算即可求解．
16．（2025·东莞模拟）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体质量满足一次函数，下表表示的是测量物体时，该弹簧的长度与所挂物体质量的数量关系．
0 2 5
15 19 25
请求出与的函数关系式．
【答案】解：把，；，代入中，
得，
解得：，
与的函数关系式为：

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】根据待定系数法将，；，代入解析式即可求出答案.
17．（2025·东莞模拟）列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，
依题意可得：，解得：．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹件．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程，解方程即可求出答案.
18．（2025·东莞模拟）如图，在中，．
（1）作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
（2）若，且，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：，
．
又是的垂直平分线，
．
．
．
在中，，
又
．

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据等边对等角可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
19．（2025·东莞模拟）为弘扬传统文化，增强同学们的爱国主义精神，某校团委组织举办了“红色经典阅读”竞赛，从九年级和八年级各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
九年级10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
八年级10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
九年级 6 3 1
八年级 4 5 1
【分析数据】
级部 平均数 中位数 众数 方差
九年级 80 a b 51.4
八年级 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个级部成绩比较好，简要说明理由；
（3）九年级共有学生450人，八年级其有学生400人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
【答案】（1）79；79；27
（2）解：八年级成绩与九年级平均数相同，中位数、众数高于九年级，方差小于九年级，代表八年级成绩的集中度比九年级好，总体八年级成绩比较好．
（3）解：获奖人数（人）．
答：两个班获奖人数为420人．
【知识点】中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：九年级抽取的成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，
故中位数，众数；
八年级数据方差
故答案为：79；79；27．
【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解；
（2）结合平均数，中位数，众数，方差综合分析说明；
（3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数．
20．（2025·东莞模拟）如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的切线．
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，再根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，即，即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得OD，再根据三角形面积可得CE，再根据垂径定理即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，
是的切线．
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
21．（2025·东莞模拟）综合与实践：
主题：制作长方体包装盒．
素材：一张边长为的正方形纸板．
步骤1：如图1，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下作等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分．
步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点О处，如图2，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．
猜想与计算：
（1）四边形的形状为______；
（2）若该长方体包装盒的底面积为，求该长方体包装盒的体积．
【答案】（1）矩形
（2）解：∵长方体包装盒的底面积为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴该长方体包装盒的体积为．
【知识点】立体图形的概念与分类；矩形的判定；正方形的性质；等腰直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
由题意可得，，
∴四边形是矩形，
故答案为：矩形；
【分析】（1）根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，再根据等腰直角三角形性质可得，由题意可得，，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形面积可得，再根据矩形性质可得，解直角三角形可得，根据边之间的关系可得EF，再解直角三角形可得EG，再根据长方体体积即可求出答案.
22．（2025·东莞模拟）【问题情境】已知正方形和正方形，其中，．
【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合．
①填空：与的数量关系是 ▲ ；
②求证：；
【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转．
①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长；
②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值．
【答案】[初步探究]（1）①；
②∵正方形和正方形，正方形的边，分别与正方形的边，重合，
∴，
∴，
∴，
∴；
[拓展探索]（2）①延长，，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴，，
∴，解得：，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
②如图，在上取点，使得，连接．
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，即，
∴（），
∴，
∵，
∴（），
∴，．
∵，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；手拉手全等模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：[初步探究]（1）①∵正方形和正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【分析】[初步探究]①根据正方形性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据正方形性质可得，根据平行线分线段成比例定理，则，即可求出答案.
[拓展探索]①延长，，交于点，根据边之间的关系可得AE，DE，再根据正方形性质可得，由相似三角形判定定理可得，则，，代值计算可得，，根据勾股定理可得DG，即可求出答案.
②在上取点，使得，连接，根据正方形性质可得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得（），则，再根据全等三角形判定定理可得（），则，即，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2025·东莞模拟）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为．
【知识技能】（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答：
选择1：求面积的最大值；
选择2：连接交直线于点，求的最大值；
【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似．
【答案】解∶ （1）顶点为，
设抛物线的解析式为．
将点代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q，
抛物线的解析式为，交轴于点，
时，．
．
设直线的解析式为，将，代入，
得，解得
直线的解析式为．
设，则，
．
，
．
， ，
当时，面积为最大值，最大值为．
选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q，
设，由“选择1”可得，，
轴，
．
又，
．
．
，，
当时，取得最大值，最大值为．
(3)画出示意图如图3，
，直线的解析式为，
， ．
交抛物线于点E，
可设，其中．
，
．
．
轴平分．
∴点E关于x轴对称的点在直线上，
，其中，
解得， (舍去)，此时．
分类讨论如下∶设，
当时，
．
，顶点，
．
．
又， ，，
，解得，(舍去)
∴．此时；
当时 ，
，即．
解得， (舍去)，
∴此时．
综上，当或时，和相似．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）选择1∶过点P作轴，交于点Q，根据y轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将，代入可得直线的解析式为，设，则，根据两点间距离可得，再根据，结合二次函数性质即可求出答案.
选择2∶过点P作轴，交于点Q，设，由“选择1”可得，，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）画出示意图，求出直线的解析式为，设，根据角之间的关系可得，则x轴平分，根据对称性质建立方程，解方程可得，分类讨论如下∶设，当时，根据相似三角形性质可得，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当时 ，根据相似三角形判定定理可得，代值计算即可求出答案.
1 / 1广东省东莞市石碣新民学校2025年中考数学原创信息卷(五)
1．（2025·东莞模拟）下列实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025·东莞模拟）电影《哪吒之魔童闹海》于北京时间年月日全球累计票房（含预售及海外）突破亿元．数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·东莞模拟）如图，点O在直线上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·东莞模拟）下列命题为真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．同位角相等
5．（2025·东莞模拟）已知数位于数轴上原点的左边，则数到原点的距离表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·东莞模拟）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·东莞模拟）如图⊙O的半径为5，弦心距，则弦的长是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．5
8．（2025·东莞模拟）用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·东莞模拟）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·东莞模拟）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·东莞模拟）计算的结果为　 　．
12．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是　 　．
13．（2025·东莞模拟）若两个相似三角形的相似比为3∶4，则它们的面积比为　 　．
14．（2025·东莞模拟）如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为　 　．
15．（2025·东莞模拟）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为　 　．
16．（2025·东莞模拟）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体质量满足一次函数，下表表示的是测量物体时，该弹簧的长度与所挂物体质量的数量关系．
0 2 5
15 19 25
请求出与的函数关系式．
17．（2025·东莞模拟）列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
18．（2025·东莞模拟）如图，在中，．
（1）作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
（2）若，且，求的长．
19．（2025·东莞模拟）为弘扬传统文化，增强同学们的爱国主义精神，某校团委组织举办了“红色经典阅读”竞赛，从九年级和八年级各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
九年级10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
八年级10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
九年级 6 3 1
八年级 4 5 1
【分析数据】
级部 平均数 中位数 众数 方差
九年级 80 a b 51.4
八年级 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个级部成绩比较好，简要说明理由；
（3）九年级共有学生450人，八年级其有学生400人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
20．（2025·东莞模拟）如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．（2025·东莞模拟）综合与实践：
主题：制作长方体包装盒．
素材：一张边长为的正方形纸板．
步骤1：如图1，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下作等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分．
步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点О处，如图2，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．
猜想与计算：
（1）四边形的形状为______；
（2）若该长方体包装盒的底面积为，求该长方体包装盒的体积．
22．（2025·东莞模拟）【问题情境】已知正方形和正方形，其中，．
【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合．
①填空：与的数量关系是 ▲ ；
②求证：；
【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转．
①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长；
②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值．
23．（2025·东莞模拟）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为．
【知识技能】（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答：
选择1：求面积的最大值；
选择2：连接交直线于点，求的最大值；
【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-3，0是整数，是分数，它们都是整数，不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【分析】根据补角即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】相交线的相关概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：对于A，由对顶角的定义可知对顶角相等，正确；
对于B、C、D，在两直线被第三条直线所截行成的各组角的关系中，未说明两直线平行，
故此时对应的同旁内角、内错角及同位角不一定相等.
故选：A.
【分析】由相交线与平行线的性质区分角及对应性质.
5．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵数位于数轴上原点的左边，数轴上原点的左边的数表示的是负数，
∴，
∴数到原点的距离是，
故选： B．
【分析】根据数的位置，确定数表示的数是负数，所以它到原点的距离就是它的相反数，即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据解不等式组的解集表示在数轴上为
故选：A．
【分析】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如下图所示：
∵在直角三角形OAC中，OA＝5，弦心距，
∴AC＝ ，
又∵OC⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=8．
故答案为：A
【解析】连接OA，在直角三角形OAC中，根据勾股定理可得AC，再根据垂径定理即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据配方法解方程即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则：，故选D．
【分析】求出阴影部分的面积与整个网格的面积，根据几何概率即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】过点作，根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：3 ．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴点的坐标是，
故答案为： ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
13．【答案】9：16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为3：4，
∴它们的面积比为9：16
故答案为9：16
【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.
14．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，
则，
∴，
∵函数图象位于一、三象限，
∴，
∴取．
故答案为：12．
【分析】设，根据反比例函数k的几何意义可得，再根据反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴四边形是平行四边形，
如图，作于，于，
由宽度相等的两张纸条可得：，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，如图，作于，于，由等宽可得，根据三角形的面积可得，根据有一组邻边的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的面积公式计算即可求解．
16．【答案】解：把，；，代入中，
得，
解得：，
与的函数关系式为：

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】根据待定系数法将，；，代入解析式即可求出答案.
17．【答案】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，
依题意可得：，解得：．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹件．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：，
．
又是的垂直平分线，
．
．
．
在中，，
又
．

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据等边对等角可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
19．【答案】（1）79；79；27
（2）解：八年级成绩与九年级平均数相同，中位数、众数高于九年级，方差小于九年级，代表八年级成绩的集中度比九年级好，总体八年级成绩比较好．
（3）解：获奖人数（人）．
答：两个班获奖人数为420人．
【知识点】中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：九年级抽取的成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，
故中位数，众数；
八年级数据方差
故答案为：79；79；27．
【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解；
（2）结合平均数，中位数，众数，方差综合分析说明；
（3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数．
20．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的切线．
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，再根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，即，即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得OD，再根据三角形面积可得CE，再根据垂径定理即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，
是的切线．
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）矩形
（2）解：∵长方体包装盒的底面积为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴该长方体包装盒的体积为．
【知识点】立体图形的概念与分类；矩形的判定；正方形的性质；等腰直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
由题意可得，，
∴四边形是矩形，
故答案为：矩形；
【分析】（1）根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，再根据等腰直角三角形性质可得，由题意可得，，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形面积可得，再根据矩形性质可得，解直角三角形可得，根据边之间的关系可得EF，再解直角三角形可得EG，再根据长方体体积即可求出答案.
22．【答案】[初步探究]（1）①；
②∵正方形和正方形，正方形的边，分别与正方形的边，重合，
∴，
∴，
∴，
∴；
[拓展探索]（2）①延长，，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴，，
∴，解得：，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
②如图，在上取点，使得，连接．
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，即，
∴（），
∴，
∵，
∴（），
∴，．
∵，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；手拉手全等模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：[初步探究]（1）①∵正方形和正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【分析】[初步探究]①根据正方形性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据正方形性质可得，根据平行线分线段成比例定理，则，即可求出答案.
[拓展探索]①延长，，交于点，根据边之间的关系可得AE，DE，再根据正方形性质可得，由相似三角形判定定理可得，则，，代值计算可得，，根据勾股定理可得DG，即可求出答案.
②在上取点，使得，连接，根据正方形性质可得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得（），则，再根据全等三角形判定定理可得（），则，即，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】解∶ （1）顶点为，
设抛物线的解析式为．
将点代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q，
抛物线的解析式为，交轴于点，
时，．
．
设直线的解析式为，将，代入，
得，解得
直线的解析式为．
设，则，
．
，
．
， ，
当时，面积为最大值，最大值为．
选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q，
设，由“选择1”可得，，
轴，
．
又，
．
．
，，
当时，取得最大值，最大值为．
(3)画出示意图如图3，
，直线的解析式为，
， ．
交抛物线于点E，
可设，其中．
，
．
．
轴平分．
∴点E关于x轴对称的点在直线上，
，其中，
解得， (舍去)，此时．
分类讨论如下∶设，
当时，
．
，顶点，
．
．
又， ，，
，解得，(舍去)
∴．此时；
当时 ，
，即．
解得， (舍去)，
∴此时．
综上，当或时，和相似．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）选择1∶过点P作轴，交于点Q，根据y轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将，代入可得直线的解析式为，设，则，根据两点间距离可得，再根据，结合二次函数性质即可求出答案.
选择2∶过点P作轴，交于点Q，设，由“选择1”可得，，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）画出示意图，求出直线的解析式为，设，根据角之间的关系可得，则x轴平分，根据对称性质建立方程，解方程可得，分类讨论如下∶设，当时，根据相似三角形性质可得，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当时 ，根据相似三角形判定定理可得，代值计算即可求出答案.
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