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广东省湛江市赤坎区等2地2025年中考二模数学试题
1．（2025·赤坎模拟）下列四个前沿的大模型的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025·赤坎模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，单项式乘多项式，同底数幂的乘法，积的乘方的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·赤坎模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
22100000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．（2025·赤坎模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
故选：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集即可．
5．（2025·赤坎模拟）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，高是
母线长为∶，
∴圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，半径为6，
∴，
∴解得：．
故选：D．
【分析】
本题考查了由三视图还原几何体，以及扇形的弧长公式。由三视图可得该几何体是圆锥，展开图是扇形，且圆锥的底面直径是4，母线长为，母线长是几何展开图扇形的半径，圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，根据扇形的弧长公式计算出n即可．
6．（2025·赤坎模拟）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是：，
即．
故选：D．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．（2025·赤坎模拟）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积，
故选：．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
8．（2025·赤坎模拟）如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，
，
，
摩擦力的方向与斜面平行，
，
．
故选：C．
【分析】根据直角三角形两锐角互余及对顶角相等可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
9．（2025·赤坎模拟）学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为米，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设跑道的长度为x米，则实际施工时每天铺设米，
由题意，得，
故选：D．
【分析】设原计划每天铺设跑道的长度为x米，则实际施工时每天铺设米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可.
10．（2025·赤坎模拟）如图所示，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点．正确的是（　　）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①③
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 由图象可知，抛物线的对称轴为，
所以，得到，故①正确；
由图象可知，抛物线与轴的一个交点为，
所以，
又因为，
所以，故②正确；
因为，
所以，故③错误；
当时，，
将图象向上平移2个单位后，此点为，
所以抛物线与直线有4个交点，故④正确；
综上，①②④正确．
故选：C．
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
11．（2025·赤坎模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．（2025·赤坎模拟）一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，kg/m3，当V＝40m3时，　 　kg/m3．
【答案】0.68
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，当V＝20m3时，kg/m3，
∴，
解得：，
∴当V＝40m3时，把代入得：（kg/m3），
故答案为：0.68．
【分析】设，根据待定系数法将V＝20m3，kg/m3代入解析式可得，再将V＝40代入解析式即可求出答案.
13．（2025·赤坎模拟）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意知，一次函数与的图象都经过点，
由于，
所以．
故答案为：．
【分析】当一次函数的图象在的图象下方时，有，几何函数图象即可求出答案.
14．（2025·赤坎模拟）已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵分别是一元二次方程的两个根，
，
，
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
15．（2025·赤坎模拟）如图所示，七巧板被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】七巧板与拼图制作；平行四边形的性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为，
∴，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵、、都是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积，
∴，
∵图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成 ，
，
故答案为：．
【分析】由图可得，根据等腰直角三角形性质可，得又由图可得，图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成，即可求出答案.
16．（2025·赤坎模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数、绝对值性质及特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025·赤坎模拟）如图，已知反比例函数的图象经过点A，点在轴的正半轴上．
（1）请用尺规作图，过点A作于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在第一问的基础上，若，，，求的值．
【答案】（1）解：如图∶即为所求，
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵反比例函数的图象经过点A，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到距离的一半为半径画弧，交于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径，在的另一侧画弧交于点F，连接交于点C，即为所求；
（2）根据边之间的关系可得OC，再根据正切定义可得AC，则，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：如图∶即为所求，
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵反比例函数的图象经过点A，
∴．
18．（2025·赤坎模拟）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.2米，求点到的距离的长．
（2）一辆汽车过道闸，已知汽车宽1.99米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
在中，， （米），
∴（米），
∴（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：不能通过，理由如下：
依题意，当，米时，且，
则，
∵点距地面为0.2米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∵，
∴不能通过．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，由题意可知，，米，米，根据等腰直角三角形性质可得（米），再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）当，米时，且，根据直线平行性质可得，根据边之间的关系可得PQ，再根据正切定义可得PQ，求出PF，再比较大小即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
在中，， （米），
∴（米），
∴（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：不能通过，理由如下：
依题意，当，米时，且，
则，
∵点距地面为0.2米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∵，
∴不能通过．
19．（2025·赤坎模拟）某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山（物理变化）、．蜡炬成灰（化学变化）、．物腐虫生（化学变化）、．木已成舟（物理变化）．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．
试验次数 100 300 500 1000 2000
抽到卡片次数 30 70 126 251 500
抽到卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250
（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是______；
（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如表：根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于______（精确到0.01），所以该同学的说法______；（用“正确”或“错误”填空）
（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，不放回，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．
【答案】（1）
（2）0.25，错误；
（3）由题意，画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴恰好在同一社团）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
故答案为：；
（2）根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所以该同学的说法错误；
故答案为：0.25，错误；
【分析】（1）由题意直接利用概率公式进行计算即可得出答案；
（2）利用频率估计概率，根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25即可判断；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小娜和小菲恰好在同一个社团的结果。再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
故答案为：；
（2）根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所以该同学的说法错误；
故答案为：0.25，错误；
（3）由题意，画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴恰好在同一社团）．
20．（2025·赤坎模拟）某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围）
（2）葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系是，
根据题意，可得，解得：
故与之间的函数关系式是．
（2）解：由题意得：．
解得：，．
∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低，
∴．
答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系是，根据待定系数法将x=52，y=30；x=55，y=15代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设与之间的函数关系是，
根据题意，可得，解得：
故与之间的函数关系式是．
（2）解：由题意得：．
解得：，．
∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低，
∴．
答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元．
21．（2025·赤坎模拟）如图，是的直径，点为外一点，过点作于点，交于点和点，连接，与相交于点，点为线段上一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若点为的中点，的半径为2.5，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：连接，，
∵是直径，的半径为2.5，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，，则，再根据补角可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，，根据圆周角定理可得，，根据勾股定理可得，根据垂径定理可得，，进一步得出根据勾股定理可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）连接，，
∵是直径，的半径为2.5，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
22．（2025·赤坎模拟）【知识技能】
如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至， 连接．
（1） 求证：．
【拓展探索】
（2） 如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若：
①求证：
②求出的值．
【答案】解：（1）证明： ∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）①证明： ∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∴．
，
∵，，
②设，，
由①得
即：
∴
解得或（舍去），
即
由①得
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可得进而得到，求出，则；
（2）①根据正方形的性质证明，，根据，可得
；
②设，，根据，得到进而得到求出，解得或（舍去），即结合①，得到．
23．（2025·赤坎模拟）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围．
【答案】任务一：解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：
设抛物线的解析式为，
将代入可得，解得：，
所以抛物线的解析式为；
任务二：不能实现，理由如下：
由题意得，击球点，球网上方中点的坐标为，
则设直线解析式为：，则
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
所以不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，
对于，
当时，
解得：或，
∴，
将代入得：，
解得：，
∴弹起后抛物线的表达式为：，
∵，
∴弹起时最大高度为，
∴由最佳击球效果时，弹起高度范围为，得
当时，，
解得：，，
∵时，，，
∴击球点与发球机水平距离的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】任务一：设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案.
任务二：由题意得，击球点，球网上方中点的坐标为，则设直线解析式为：，根据待定系数法将点R坐标代入解析式可得直线解析式为，将x=137代入解析式，求出y值，再比较大小即可求出答案.
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据待定系数法将点M坐标代入解析式可得弹起后抛物线的表达式为：，根据二次函数性质可得弹起时最大高度为，则由最佳击球效果时，弹起高度范围为，将y=30代入解析式即可求出答案.
1 / 1广东省湛江市赤坎区等2地2025年中考二模数学试题
1．（2025·赤坎模拟）下列四个前沿的大模型的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·赤坎模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·赤坎模拟）第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·赤坎模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·赤坎模拟）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·赤坎模拟）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·赤坎模拟）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·赤坎模拟）如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·赤坎模拟）学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间．实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．若设原计划每天铺设管道的长度为米，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·赤坎模拟）如图所示，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点．正确的是（　　）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①③
11．（2025·赤坎模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·赤坎模拟）一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，kg/m3，当V＝40m3时，　 　kg/m3．
13．（2025·赤坎模拟）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为　 　．
14．（2025·赤坎模拟）已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
15．（2025·赤坎模拟）如图所示，七巧板被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．（2025·赤坎模拟）计算：
17．（2025·赤坎模拟）如图，已知反比例函数的图象经过点A，点在轴的正半轴上．
（1）请用尺规作图，过点A作于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在第一问的基础上，若，，，求的值．
18．（2025·赤坎模拟）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.2米，求点到的距离的长．
（2）一辆汽车过道闸，已知汽车宽1.99米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）
19．（2025·赤坎模拟）某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山（物理变化）、．蜡炬成灰（化学变化）、．物腐虫生（化学变化）、．木已成舟（物理变化）．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．
试验次数 100 300 500 1000 2000
抽到卡片次数 30 70 126 251 500
抽到卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250
（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是______；
（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如表：根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于______（精确到0.01），所以该同学的说法______；（用“正确”或“错误”填空）
（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，不放回，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．
20．（2025·赤坎模拟）某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围）
（2）葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？
21．（2025·赤坎模拟）如图，是的直径，点为外一点，过点作于点，交于点和点，连接，与相交于点，点为线段上一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若点为的中点，的半径为2.5，，求的长．
22．（2025·赤坎模拟）【知识技能】
如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至， 连接．
（1） 求证：．
【拓展探索】
（2） 如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若：
①求证：
②求出的值．
23．（2025·赤坎模拟）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，单项式乘多项式，同底数幂的乘法，积的乘方的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
22100000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
故选：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集即可．
5．【答案】D
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，高是
母线长为∶，
∴圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，半径为6，
∴，
∴解得：．
故选：D．
【分析】
本题考查了由三视图还原几何体，以及扇形的弧长公式。由三视图可得该几何体是圆锥，展开图是扇形，且圆锥的底面直径是4，母线长为，母线长是几何展开图扇形的半径，圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，根据扇形的弧长公式计算出n即可．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是：，
即．
故选：D．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积，
故选：．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，
，
，
摩擦力的方向与斜面平行，
，
．
故选：C．
【分析】根据直角三角形两锐角互余及对顶角相等可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设跑道的长度为x米，则实际施工时每天铺设米，
由题意，得，
故选：D．
【分析】设原计划每天铺设跑道的长度为x米，则实际施工时每天铺设米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 由图象可知，抛物线的对称轴为，
所以，得到，故①正确；
由图象可知，抛物线与轴的一个交点为，
所以，
又因为，
所以，故②正确；
因为，
所以，故③错误；
当时，，
将图象向上平移2个单位后，此点为，
所以抛物线与直线有4个交点，故④正确；
综上，①②④正确．
故选：C．
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】0.68
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，当V＝20m3时，kg/m3，
∴，
解得：，
∴当V＝40m3时，把代入得：（kg/m3），
故答案为：0.68．
【分析】设，根据待定系数法将V＝20m3，kg/m3代入解析式可得，再将V＝40代入解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意知，一次函数与的图象都经过点，
由于，
所以．
故答案为：．
【分析】当一次函数的图象在的图象下方时，有，几何函数图象即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵分别是一元二次方程的两个根，
，
，
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
15．【答案】24
【知识点】七巧板与拼图制作；平行四边形的性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为，
∴，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵、、都是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积，
∴，
∵图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成 ，
，
故答案为：．
【分析】由图可得，根据等腰直角三角形性质可，得又由图可得，图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成，即可求出答案.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数、绝对值性质及特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图∶即为所求，
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵反比例函数的图象经过点A，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到距离的一半为半径画弧，交于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径，在的另一侧画弧交于点F，连接交于点C，即为所求；
（2）根据边之间的关系可得OC，再根据正切定义可得AC，则，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：如图∶即为所求，
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵反比例函数的图象经过点A，
∴．
18．【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
在中，， （米），
∴（米），
∴（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：不能通过，理由如下：
依题意，当，米时，且，
则，
∵点距地面为0.2米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∵，
∴不能通过．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，由题意可知，，米，米，根据等腰直角三角形性质可得（米），再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）当，米时，且，根据直线平行性质可得，根据边之间的关系可得PQ，再根据正切定义可得PQ，求出PF，再比较大小即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
在中，， （米），
∴（米），
∴（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：不能通过，理由如下：
依题意，当，米时，且，
则，
∵点距地面为0.2米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∵，
∴不能通过．
19．【答案】（1）
（2）0.25，错误；
（3）由题意，画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴恰好在同一社团）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
故答案为：；
（2）根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所以该同学的说法错误；
故答案为：0.25，错误；
【分析】（1）由题意直接利用概率公式进行计算即可得出答案；
（2）利用频率估计概率，根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25即可判断；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小娜和小菲恰好在同一个社团的结果。再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
故答案为：；
（2）根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所以该同学的说法错误；
故答案为：0.25，错误；
（3）由题意，画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴恰好在同一社团）．
20．【答案】（1）解：设与之间的函数关系是，
根据题意，可得，解得：
故与之间的函数关系式是．
（2）解：由题意得：．
解得：，．
∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低，
∴．
答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系是，根据待定系数法将x=52，y=30；x=55，y=15代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设与之间的函数关系是，
根据题意，可得，解得：
故与之间的函数关系式是．
（2）解：由题意得：．
解得：，．
∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低，
∴．
答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元．
21．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：连接，，
∵是直径，的半径为2.5，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，，则，再根据补角可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，，根据圆周角定理可得，，根据勾股定理可得，根据垂径定理可得，，进一步得出根据勾股定理可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）连接，，
∵是直径，的半径为2.5，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
22．【答案】解：（1）证明： ∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）①证明： ∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∴．
，
∵，，
②设，，
由①得
即：
∴
解得或（舍去），
即
由①得
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可得进而得到，求出，则；
（2）①根据正方形的性质证明，，根据，可得
；
②设，，根据，得到进而得到求出，解得或（舍去），即结合①，得到．
23．【答案】任务一：解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：
设抛物线的解析式为，
将代入可得，解得：，
所以抛物线的解析式为；
任务二：不能实现，理由如下：
由题意得，击球点，球网上方中点的坐标为，
则设直线解析式为：，则
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
所以不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，
对于，
当时，
解得：或，
∴，
将代入得：，
解得：，
∴弹起后抛物线的表达式为：，
∵，
∴弹起时最大高度为，
∴由最佳击球效果时，弹起高度范围为，得
当时，，
解得：，，
∵时，，，
∴击球点与发球机水平距离的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】任务一：设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案.
任务二：由题意得，击球点，球网上方中点的坐标为，则设直线解析式为：，根据待定系数法将点R坐标代入解析式可得直线解析式为，将x=137代入解析式，求出y值，再比较大小即可求出答案.
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据待定系数法将点M坐标代入解析式可得弹起后抛物线的表达式为：，根据二次函数性质可得弹起时最大高度为，则由最佳击球效果时，弹起高度范围为，将y=30代入解析式即可求出答案.
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