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广东省茂名市高州市部分学校联考2025年模拟预测九年级数学试题
1．（2025·高州模拟）的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．（2025·高州模拟）2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·高州模拟）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（　　）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
4．（2025·高州模拟）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．
5．（2025·高州模拟）一元二次方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
6．（2025·高州模拟）如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
7．（2025·高州模拟）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色
8．（2025·高州模拟）如图，点、、、在上，，，则等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．（2025·高州模拟）一个油画架如图所示，已知，，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·高州模拟）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．（2025·高州模拟）二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材，小明将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是　 　．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
12．（2025·高州模拟）一个正数的两个平方根分别为与，则m的值为　 　．
13．（2025·高州模拟）某同学用工具测一个圆锥形漏斗的尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥形漏斗的侧面积为　 　（结果保留）．
14．（2025·高州模拟）如图，是的内切圆，若，则　 　.
15．（2025·高州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线（）于点，，交轴于点，交轴于点，已知轴于点，轴于点，当四边形的面积为5时，则的值是　 　．
16．（2025·高州模拟）计算：．
17．（2025·高州模拟）先化简，再求值：，其中x是4的算术平方根．
18．（2025·高州模拟）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，．
（1）用尺规作出不写作法，保留作图痕迹；
（2）若，，连接，求的度数．
19．（2025·高州模拟）为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
性别 平均数 中位数 众数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图；
（2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．
20．（2025·高州模拟）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，连接，．点为的中点，连接交于点．
（1）连接，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求的值．
21．（2025·高州模拟）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
22．（2025·高州模拟）已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
23．（2025·高州模拟）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分；
【深入探究】
（2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长；
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2025．
故答案为：B．
【分析】
根据相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，解答即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
B．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
C．图形是轴对称图形，也是中心对称图形，
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故选C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．【答案】B
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：太阳光下表的影子为平行投影．
故选B．
【分析】中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，
∴，
故选：A．
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴或，
解得，
故选C．
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：C．
【分析】 由旋转的性质得， 再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，
∵，
∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色；
故选：A．
【分析】根据频率表示概率即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】根据相似三角形性质可得，根据边之间的关系可得OE，再代入等式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，
即时，，
，故①正确；
，
点，关于直线对称，
，故②正确；
二次函数的图象过点和，
，
解得，
，
当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，
若为任意实数，则；
当时，抛物线开口向下，当时，为最大值，
若为任意实数，则；
故③错误；
由得，
，
又，，
得，，
则△，
关于的方程必有两个不相等的实数根，
故④正确．
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】必然事件
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是必然事件，
故答案为：必然事件．
【分析】根据事件的分类即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平方根的性质建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：由图知，圆锥的高为，底面圆的半径为，
圆锥的母线长为（），
圆锥形漏斗的侧面积为（），
故答案为：．
【分析】根据圆锥侧面积即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：
【分析】根据三角形内角和定理可得，再根据切线性质可得，，，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】5
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：由题意，设直线为，
∴交轴于点，
设直线与双曲线的交点为和，
，
解得，
，
∵四边形的面积梯形面积的面积，
，
解得．
∴的值为5．
故答案为：5．
【分析】设直线为，根据y轴上点的坐标特征可得，设直线与双曲线的交点为和，联立直线与双曲线解析式，解方程组可得，根据梯形及三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：原式，
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】解：
当时
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求算术平方根
【解析】【分析】根据平方差公式及完全平方公式去括号，再合并同类项化简，再将x值代入即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由折叠可得，，，
是等边三角形，
，
又，，，
，
是直角三角形，且，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据折叠性质作图即可求出答案.
（2）由折叠可得，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）如图所示，即为所求；
（2）由折叠可得，，，
是等边三角形，
，
又，，，
，
是直角三角形，且，
．
19．【答案】（1）20，162，
故补全的频数分布直方图如下：
（2）解：男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好；
（3）解：（人）．
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
故，
，
结合条件可知，男生的中位数为：；
故答案为：20；162
【分析】（1）利用扇形统计图可得的值；利用频数分布直方图，结合条件可得的值；利用总人数可补全频数分布直方图；
（2）利用相关统计数据可作出决策；
（3）利用样本估计总体可求解．
（1）解：，
故，
，
故补全的频数分布直方图如下：
结合条件可知，男生的中位数为：；
（2）解：男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好；
（3）解：（人）．
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人．
20．【答案】（1）解：四边形为矩形，理由如下：
∵为直径，
∴
∵为等边三角形，
∴
∵为中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：如图所示，连接交于，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴由垂径定理的推论可得为中点
∴为中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定；圆周角定理；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据等边三角形性质可得，则，根据三角形内角和定理可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）连接交于，根据圆周角定理可得，，由垂径定理的推论可得为中点，再根据三角形中位线定理可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）解：四边形为矩形，理由如下：
∵为直径，
∴
∵为等边三角形，
∴
∵为中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：如图所示，连接交于，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴由垂径定理的推论可得为中点
∴为中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，解方程即可求出答案.
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴
解得：；
（2）解：①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）①根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据两点间距离可得，，则，，再根据题意建立方程，化简可得，根据二次方程根与系数的关系可得，则，再联立方程组，解方程组可得x1，x2，再根据对称轴公式即可求出答案.
（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴
解得：；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
23．【答案】（1）证明：由旋转性质得，，
∴为等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）延长交于点，
∵是等边三角形，平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
过点作于，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中， ，
∴，
∴；
（3）能，2或或或
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】（3）①当时，
如图3-1所示，则，
∴此时三点共线，
∴ ，
∴；
如图3-2所示，当点D在延长线上时，此时满足，
∴，
∴；
②如图所示，当时，则，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴此时C、B、E三点共线，
∴，
∴；
③当时，过点A作于Q，交于N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，直角三角形的面积为2或或或．
【分析】（1）由旋转性质得，，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）延长交于点，根据等边三角形性质可得，，根据勾股定理可得CG，GD，根据边之间的关系可得CD，再根据角之间的关系可得，，过点作于，则是等腰直角三角形，则，解直角三角形可得CH，CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，则，此时三点共线，根据边之间的关系可得CD，再根据三角形面积可得，当点D在延长线上时，此时满足，根据边之间的关系可得CD，再根据三角形面积即可求出答案；②当时，则，根据直线平行判定定理可得，再根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则，即，此时C、B、E三点共线，根据边之间的关系可得CE，再根据三角形面积即可求出答案；③当时，过点A作于Q，交于N，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，，再根据角之间的关系可得，根据正切定义可得，化简可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得EQ，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省茂名市高州市部分学校联考2025年模拟预测九年级数学试题
1．（2025·高州模拟）的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2025．
故答案为：B．
【分析】
根据相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，解答即可．
2．（2025·高州模拟）2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
B．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
C．图形是轴对称图形，也是中心对称图形，
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故选C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．（2025·高州模拟）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（　　）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
【答案】B
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：太阳光下表的影子为平行投影．
故选B．
【分析】中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，
4．（2025·高州模拟）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，
∴，
故选：A．
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
5．（2025·高州模拟）一元二次方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴或，
解得，
故选C．
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
6．（2025·高州模拟）如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：C．
【分析】 由旋转的性质得， 再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
7．（2025·高州模拟）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，
∵，
∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色；
故选：A．
【分析】根据频率表示概率即可求出答案.
8．（2025·高州模拟）如图，点、、、在上，，，则等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
9．（2025·高州模拟）一个油画架如图所示，已知，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】根据相似三角形性质可得，根据边之间的关系可得OE，再代入等式即可求出答案.
10．（2025·高州模拟）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，
即时，，
，故①正确；
，
点，关于直线对称，
，故②正确；
二次函数的图象过点和，
，
解得，
，
当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，
若为任意实数，则；
当时，抛物线开口向下，当时，为最大值，
若为任意实数，则；
故③错误；
由得，
，
又，，
得，，
则△，
关于的方程必有两个不相等的实数根，
故④正确．
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．（2025·高州模拟）二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材，小明将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是　 　．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
【答案】必然事件
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是必然事件，
故答案为：必然事件．
【分析】根据事件的分类即可求出答案.
12．（2025·高州模拟）一个正数的两个平方根分别为与，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平方根的性质建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2025·高州模拟）某同学用工具测一个圆锥形漏斗的尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥形漏斗的侧面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：由图知，圆锥的高为，底面圆的半径为，
圆锥的母线长为（），
圆锥形漏斗的侧面积为（），
故答案为：．
【分析】根据圆锥侧面积即可求出答案.
14．（2025·高州模拟）如图，是的内切圆，若，则　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：
【分析】根据三角形内角和定理可得，再根据切线性质可得，，，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．（2025·高州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线（）于点，，交轴于点，交轴于点，已知轴于点，轴于点，当四边形的面积为5时，则的值是　 　．
【答案】5
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：由题意，设直线为，
∴交轴于点，
设直线与双曲线的交点为和，
，
解得，
，
∵四边形的面积梯形面积的面积，
，
解得．
∴的值为5．
故答案为：5．
【分析】设直线为，根据y轴上点的坐标特征可得，设直线与双曲线的交点为和，联立直线与双曲线解析式，解方程组可得，根据梯形及三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2025·高州模拟）计算：．
【答案】解：原式，
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025·高州模拟）先化简，再求值：，其中x是4的算术平方根．
【答案】解：
当时
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求算术平方根
【解析】【分析】根据平方差公式及完全平方公式去括号，再合并同类项化简，再将x值代入即可求出答案.
18．（2025·高州模拟）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，．
（1）用尺规作出不写作法，保留作图痕迹；
（2）若，，连接，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由折叠可得，，，
是等边三角形，
，
又，，，
，
是直角三角形，且，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据折叠性质作图即可求出答案.
（2）由折叠可得，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）如图所示，即为所求；
（2）由折叠可得，，，
是等边三角形，
，
又，，，
，
是直角三角形，且，
．
19．（2025·高州模拟）为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
性别 平均数 中位数 众数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图；
（2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．
【答案】（1）20，162，
故补全的频数分布直方图如下：
（2）解：男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好；
（3）解：（人）．
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
故，
，
结合条件可知，男生的中位数为：；
故答案为：20；162
【分析】（1）利用扇形统计图可得的值；利用频数分布直方图，结合条件可得的值；利用总人数可补全频数分布直方图；
（2）利用相关统计数据可作出决策；
（3）利用样本估计总体可求解．
（1）解：，
故，
，
故补全的频数分布直方图如下：
结合条件可知，男生的中位数为：；
（2）解：男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好；
（3）解：（人）．
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人．
20．（2025·高州模拟）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，连接，．点为的中点，连接交于点．
（1）连接，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求的值．
【答案】（1）解：四边形为矩形，理由如下：
∵为直径，
∴
∵为等边三角形，
∴
∵为中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：如图所示，连接交于，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴由垂径定理的推论可得为中点
∴为中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定；圆周角定理；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据等边三角形性质可得，则，根据三角形内角和定理可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）连接交于，根据圆周角定理可得，，由垂径定理的推论可得为中点，再根据三角形中位线定理可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）解：四边形为矩形，理由如下：
∵为直径，
∴
∵为等边三角形，
∴
∵为中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：如图所示，连接交于，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴由垂径定理的推论可得为中点
∴为中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（2025·高州模拟）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，解方程即可求出答案.
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，解方程即可求出答案.
22．（2025·高州模拟）已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴
解得：；
（2）解：①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）①根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据两点间距离可得，，则，，再根据题意建立方程，化简可得，根据二次方程根与系数的关系可得，则，再联立方程组，解方程组可得x1，x2，再根据对称轴公式即可求出答案.
（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴
解得：；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
23．（2025·高州模拟）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分；
【深入探究】
（2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长；
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：由旋转性质得，，
∴为等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）延长交于点，
∵是等边三角形，平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
过点作于，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中， ，
∴，
∴；
（3）能，2或或或
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】（3）①当时，
如图3-1所示，则，
∴此时三点共线，
∴ ，
∴；
如图3-2所示，当点D在延长线上时，此时满足，
∴，
∴；
②如图所示，当时，则，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴此时C、B、E三点共线，
∴，
∴；
③当时，过点A作于Q，交于N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴．
综上所述，直角三角形的面积为2或或或．
【分析】（1）由旋转性质得，，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）延长交于点，根据等边三角形性质可得，，根据勾股定理可得CG，GD，根据边之间的关系可得CD，再根据角之间的关系可得，，过点作于，则是等腰直角三角形，则，解直角三角形可得CH，CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，则，此时三点共线，根据边之间的关系可得CD，再根据三角形面积可得，当点D在延长线上时，此时满足，根据边之间的关系可得CD，再根据三角形面积即可求出答案；②当时，则，根据直线平行判定定理可得，再根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则，即，此时C、B、E三点共线，根据边之间的关系可得CE，再根据三角形面积即可求出答案；③当时，过点A作于Q，交于N，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，，再根据角之间的关系可得，根据正切定义可得，化简可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得EQ，再根据三角形面积即可求出答案.
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