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1.1《菱形的性质与判定》复习题--菱形的判定
【题型1 菱形的判定】
1.已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2.下列条件中不能确定一个四边形一定是菱形的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线平分一组内角的平行四边形 D．对角线垂直且互相平分的四边形
3.依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
4.若取四边形各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形
【题型2 添一个条件使四边形是菱形】
1.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）．
2.如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
3.如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形．
4.如图，在 ABC中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件 能使四边形是菱形．
【题型3 证明四边形是菱形】
1.如图，在中，，，分别是，的中点，，求证：四边形是菱形．
2.如图， ABC中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F．
(1)求证：，
(2)连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
3.如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F两点，垂足是点O．
(1)求证：；
(2)问题：四边形是什么特殊的四边形？请给出证明．
4.如图，在 ABC中，O是边上一点，和 ABC关于点O成中心对称，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求证：四边形是菱形．
【题型4 利用菱形的判定与性质求角度】
1.如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ．
2.如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ．
3.如图所示三角形纸片，，将其沿折叠后点A落在处，使，P是上一动点，连接．当取最小值时，的度数为 ．
4.在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．

【题型5 利用菱形的判定与性质求长度】
1.如图，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，，连接，则四边形的周长是 ．
2.如图，在平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧交于F点，再分别以点A，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于E点，连接，，相交于O点，若，，则的长为 ．
3.如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ．
4.如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，，则的长为 ．
【题型6 利用菱形的判定与性质求面积】
1.如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为 ．
2.如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是 ．
3.四边形的对角线，相交于点，，若，，，则四边形的面积为 ．
4.如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是 ．

【题型7 利用菱形的判定与性质多结论性问题】
1.如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至E使，连接，下列结论：①；②；③四边形为菱形；④中，正确的结论个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，菱形的对角线相交于O点，E，F分别是边上的中点，连接．若，，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①四边形是平行四边形；②菱形的周长为；
③与互相垂直平分；④的面积是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【题型8 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）】
1.如图，菱形的对角线相交于点．
(1)实践与操作：作边上的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)应用与证明：若，求的长．
2.如图，在平行四边形中，是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想四边形是什么图形，并加以证明．
3.如图，四边形是平行四边形．
(1)请利用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形．
4.如图，四边形是平行四边形，为上任意一点．
(1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使；
(2)如图②，用直尺和圆规作出菱形，使得点、、分别在边、、上．（不写作法，只保留作图痕迹）
(3)在（2）的条件下，若，，，，直接写出菱形的边长．
【题型9 利用菱形的判定与性质解决综合性问题】
1.如图，在四边形中，，，相互平分且交于点，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
2. 如图，在平行四边形中，平分交边于点E，过E作交边于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为22，，，求的长．
3.如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，对角线，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的周长为24，，求四边形的面积．
4.已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为．
(1)如图1，连接、．求证：四边形为菱形；
(2)如图1，求的长；
(3)如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
参考答案
【题型1 菱形的判定】
1.A
【知识点】证明四边形是菱形
【分析】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A． 由和，不能判定四边形是平行四边形，所以由，不能判定四边形是菱形，符合题意；
B． 由和可知四边形是平行四边形，再由可判定四边形是菱形，故不符合题意；
C． 由和可知四边形是平行四边形，由可知，即可判定四边形是菱形，故不符合题意；
D． 由和可知四边形是平行四边形，再由可判定四边形是菱形，故不符合题意；
故选：A．
2.B
【知识点】证明四边形是菱形
【分析】本题考查的是菱形的判定，熟记菱形的判定方法是关键，根据菱形的判定方法逐一分析即可．
【详解】解：A．一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；
B．对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，此选项符合题意；
C．对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；
D．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，此选项不符合题意；
故选：B．
3.D
【知识点】证明四边形是菱形
【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项即可．
【详解】解：A、由图可知：，所以根据“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意；
B、根据“四条边相等的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意；
C、因为，所以根据“同旁内角互补，两直线平行”可知该四边形是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意；
D、由图可知对角线互相平分的四边形是平行四边形，故符合题意；
故选D．
4.D
【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形
【分析】本题考查三角形中位线定理和菱形的判定，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键
顺次连结四边形各边的中点，则所得四边形的四边分别是以原四边形对角线为底边的四个三角形的中位线，根据三角形的中位线定理可得原四边形对角线相等
【详解】如图所示：∵E，F，G，H分别是边，，，的中点，
∴，，，，
，， ，
∴，，，
∵四边形为菱形
∴，
∴，
故选：D
【题型2 添一个条件使四边形是菱形】
1.①③或③①
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案．
【详解】解：添加条件①时，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，故①符合题意；
添加条件②时，
∵四边形是平行四边形，，
∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意；
添加条件③时，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，故③符合题意；
故答案为：①③．
2.（答案不唯一）
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论．
【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
3.（答案不唯一）
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需要添加条件使得四边形是平行四边形即可．
【详解】解：添加条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
4.②③
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、证明四边形是平行四边形、添一个条件使四边形是菱形
【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点．
首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可．
【详解】∵，
∴四边形是平行四边形
若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意；
若添加条件②平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是菱形，故②符合题意；
若添加条件③，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴四边形是菱形，故③符合题意；
综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形．
故答案为：②③．
【题型3 证明四边形是菱形】
1.证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
2.（1）证明：∵E是的中点，，
∴，，，
∴．
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
3.（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，即，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，
在和中，
，
∴，
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
由（1）得
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
4.（1）证明：和 ABC关于点O成中心对称，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
和 ABC关于点O成中心对称，
B，O，F三点共线，，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
又四边形是平行四边形，
是菱形．
【题型4 利用菱形的判定与性质求角度】
1.
【知识点】作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、根据菱形的性质与判定求角度
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴四边形是菱形，和是等边三角形，
∴平分，，
∴，
故答案为：．
2.
【知识点】根据菱形的性质与判定求角度
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：由作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3.37
【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，平行线的性质，轴对称 最短路线问题等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．
由折叠的性质可得，可证四边形是菱形，可得平分，由轴对称的性质可得，则，即当点B，点，点三点共线，且时，的值最小，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分，
作点P关于对称点，连接，
∴，
∴，
∴当点B，点，点三点共线，且时，的值最小，
此时，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：37．
4.
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据菱形的性质与判定求角度
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案．
【详解】解：延长、交于H，连接，

，，
四边形为平行四边形，
，平分，
，，，
为等腰三角形，
，
平行四边形为菱形，
，且均为等边三角形，
，，
，
，
为等腰三角形，
又四边形为平行四边形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
【题型5 利用菱形的判定与性质求长度】
1.20
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了尺规作图——基本作图作线段的垂直平分线．熟练掌握线段的垂直平分线的作法和性质，菱形的定义和性质，是解题的关键．
由作图可知垂直平分，四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：记的交点为O，
根据作图可知是的垂直平分线，
且，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20．
2.16
【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，判断四边形是菱形是解题的关键．
根据尺规作图的步骤可知是的平分线，，再证明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质即可解答．
【详解】解：根据题意，可知是的平分线，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形，
∴，．
∴在中，，
∴在菱形中，．
故答案为：16．
3.24
【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】过点A作于点M，于点N，由题意得四边形是平行四边形，根据矩形的宽相等，得到，结合，进而得到，推出，即可得到四边形是菱形，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，得出四边形是菱形是解题的关键．
【详解】解：过点A作于点M，于点N，
则，
∵两张纸条的对边平行，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：24．
4.
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】连接交于，连接．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定，根据题目中作图过程确定是的平分线，根据等角对等边和等量代换思想确定，根据菱形的判定定理和性质确定，，根据角平分线的定义，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长度，进而即可求出的长度．
【详解】解：如图，连接交于，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点，
∴，
根据作图过程可知所作的是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型6 利用菱形的判定与性质求面积】
1.
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的面积，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解中根据直角三角形的性质，求出，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键．
【详解】解：过点作于，于，如图所示：
则，
∵两张纸条的对边平行，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
2.16
【知识点】根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题主要考查了菱形的判定及性质，熟练掌握菱形的面积计算公式，是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线，求出菱形的面积即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴该四边形的面积是：．
故答案为：16．
3.96
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与菱形的面积公式是解题的关键．先利用证得 AOB和全等，即可得出，再证四边形是菱形，由勾股定理求出的长，即可得出对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可．
【详解】解：如图，
点是的中点，
，
在 AOB和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，点是的中点，
，
在中，由勾股定理得，，
，
菱形的面积为，
故答案为：96．
4.
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】根据题意可得，，
∴四边形是菱形，
∴设和交于点O，

∴，，
∴
∴
∴四边形的面积．
故答案为：24．
【题型7 利用菱形的判定与性质多结论性问题】
1.B
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，但不一定是菱形，故③错误，
∴，
∴，故①正确；
∵四边形是平行四边形，四边形是菱形，
∴，，
∴，即，故②正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，故④错误；
综上，①②正确，共2个，
故选：B．
2.C
【知识点】利用菱形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①；
根据菱形的面积结合变形即可判断④；
根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②；
根据直角三角形的性质即可判断③．
【详解】解：四边形为菱形
，，
，分别是，的中点，
，
四边形为平行四边形
四边形是菱形，故①正确；
，故④正确；
四边形是菱形，四边形是菱形，
，
，
即，故②正确；
在中，为的中线
，故③错误；
故选：C．
3.D
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解决问题的关键．根据菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质进行一一判断即可．
【详解】解：①四边形是菱形，
∴
∵E，F分别是边上的中点，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
故①正确；
②，分别是，边上的中点，，
，
四边形是菱形，
，，，
，
菱形的周长为．
故②正确；
③如图，连接，
四边形是菱形，
∴，
在中，为斜边上的中线，
∴，
在中，为斜边上的中线，
∴，
∴，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
故③正确；
④∵，
∴，
∴，
，
，
故④正确，
故选：D
4.A
【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质等，由“”可证，可得，进而由三角形中位线定理可得，，可得，即可判断①和②；由菱形的判定可证四边形是菱形，即可判断④；由全等三角形的性质和中线性质可得，，即得即可判断④，综上即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，故①和②正确；
连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故③正确；
综上，正确的个数是个，
故选：．
【题型8 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）】
1.（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：由（1）得垂直平分，
∴
在中，．
∵，
∴
∴．
四边形是菱形，
．
是等边三角形．
．
2.（1）如图直线、线段为所求
（2）四边形是菱形．
证明：四边形是平行四边形，
．
，．
为的垂直平分线，
．
．
．
又．
．
四边形是平行四边形
为的垂直平分线，
．
四边形是菱形．
3.（1）解：如图所示，直线l为所求作．
（2）证明：垂直平分，
．
四边形为平行四边形，
．
．
在和中，
．
．
∴四边形是平行四边形．
∵
平行四边形是菱形．
4.（1）解：如图，连接，交于点，连接，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
∴ EOB≌ FOD ，
，
如图所示，点即为所求．
（2）解：如图，连接，交于点，连接，延长交于点，作线段的垂直平分线交于，交于，连接，，，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
∴ EOB≌ GOD，
，
是线段的垂直平分线，
，经过的中点，
，
，
又，
∴ DOH≌ BOF，
，
又，，
四边形是菱形，
如图所示，菱形即为所求．
（3）解：如图，作于点，过点作交延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
由（2）得， EOB≌ GOD，四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，，
，，
，，
设，则，
，，
在中，，即，
在中，，即，
，
解得：，
，
，
菱形的边长为．
【题型9 利用菱形的判定与性质解决综合性问题】
1.（1）证明：∵相互平分，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：在中，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴四边形是梯形，
∴．
2.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵平行四边形的周长为22，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3.（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，分别是边，的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵对角线，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：设，，
∵的周长为24，，
∴，
∴，即，
∵，
∴在中，根据勾股定理得，即．
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为24．
4.（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
（2）解：设菱形的边长，则，
在中，，由勾股定理得：，
解得：，
；
（3）解：由作图可以知道，在上时，在上，此时四点不能构成平行四边形；同理，在上时，在或上，此时四点也不能构成平行四边形，
只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形，
，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，
，，
，
解得：，
以四点为顶点的四边形是平行四边形时，．

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