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1.1《菱形的性质与判定》复习题--菱形的性质
一、单选题
1．若菱形两邻角之比为，较短对角线长为，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　）
A．10 B．20 C．14 D．28
3．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交于点E，交于点F（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形为菱形，垂直平分，若，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．如图，菱形的对角线交于坐标原点O，已知点，将菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，是对角线、的交点，，下列说法不正确的是（ ）
A．菱形周长 B．
C． D．菱形的面积
二、填空题
8．如图，菱形的边长，则菱形的周长为 ．
9．菱形的面积为12，一条对角线的长是4，则此菱形的边长是 ．
10．如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则 ．
11．如图是某学校的伸缩门，伸缩门中的每一行有完全一样的菱形20个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为；校门部分打开时，每个菱形原的钝角缩小为的锐角，则校门打开的宽度约为 ．（精确到）（参考数值：，）
12．如图，在菱形中，，点P是边上一点，将沿对折得到对应，若，则的值为 ．
13．如图，菱形中，点为角线上一个动点，点为的中点，连接，设的长为，为，如图为关于变化的图象，则该图象最低点时的纵坐标为 ．
三、解答题
14．如图，E为菱形的对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
15．如图，四边形是菱形，延长到点，使，连接交于点．
(1)请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并证明是的中点；
(2)连接，若，，求的长．
16．如图，在菱形中，，点，分别是边，上一点，若．
(1)求证：；
(2)若菱边长为4，，求的周长．
17．如图，四边形是菱形，过的中点E作的垂线，交于点M，交的延长线于点F．
(1)证明：；
(2)若，求菱形的周长．
18．已知菱形中，点F是射线上一动点（不与C、D重合），连接并延长交直线于点，交于，连接．
(1)若点F在边上，且，过点C按如图所示作并交于点
①证明：；
②猜想的形状并说明理由．
(2)若菱形边长为4，当为等腰三角形时，求的长．
参考答案
一、单选题
1．B
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，根据菱形的对边平行结合菱形两邻角之比为可求出，则可证明 ABC是等边三角形，得到，据此可得答案．
【详解】解；如图所示，在菱形中，对角线交于，其中，
∴，
∴，
∴，
∴ ABC是等边三角形，
∴，即菱形的边长为，
故选：B．
2．B
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．由菱形的性质可求得与的长，在中，由勾股定理求得边的长，即可求解．
【详解】解：设的交点为O，
∵菱形中，，
∴，，，
∴，
∴菱形的周长，
故选：B．
3．B
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
．
故选：B．
4．D
【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度、等边对等角
【分析】本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，根据，求出，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴，
∴，
故选：D．
5．A
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形的性质得到，设，则，得到，求出，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，
，
设，则，
∵垂直平分，
，
在中，，
中，，
，
，
，
，
故选：A．
6．C
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、点坐标规律探索、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和菱形的综合，旋转的性质，菱形的性质以及求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和菱形的性质．根据周期性确定点的最终位置，通过菱形的性质和中心对称得出，最后利用全等三角形的性质得出．
【详解】解：由题意得菱形旋转4次为一个周期，
∴
如图所示，此时点落在了处，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
根据旋转的性质可得，，
，
∵，根据菱形的性质，对角线互相平分，
∴点关于原点对称，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定等待，由菱形的四条边相等和菱形周长计算公式可判断A；证明是等边三角形，可判断B；根据菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理可求出的长，进而得到的长，再由菱形面积等于其对角线乘积的一半即可判断C、D．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，
∴菱形的周长，故A说法正确，不符合题意；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，故B说法正确，不符合题意；
∵在菱形中，是对角线、的交点，
∴，，
∴，
∴，故C说法错误，符合题意，
∴菱形的面积，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
8．
【知识点】利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质—菱形的四条边都相等即可直接得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，
菱形的周长为：
，
故答案为：．
9．
【知识点】利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的面积，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的面积，可求得另一条对角线长度，然后利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图所示，：
菱形的面积为12，，
，
四边形是菱形，
，，
．
故答案为：．
10．
【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用菱形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查菱形的性质，作角平分线，由作图步骤可得平分，由菱形的性质结合角平分线的定义，求出，进而求出，最后根据三角形的外角求即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，
∴，
由作图步骤可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的应用，连接，相交于O，首先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，相交于O，
∵四边形是菱形，且，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴校门关闭时，伸缩门的宽度为．
∵校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为，
∴，
∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为，
∴校门打开了．
故答案为：．
12．
【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、二次根式的应用、含30度角的直角三角形
【分析】先根据菱形的性质、等边三角形判定与性质可得，再根据折叠的性质可得，求出，从而可得，然后过点作于点，设，则，，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，代入计算即可得．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作于点，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、动点问题的函数图象
【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象的动点问题，等边三角形的性质等，如图，连接，交于，可得，即得，可知当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，由图可得当时，，设，则，可得，即得，得到，进而由可得和为等边三角形，过点作交延长线于点，可得，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，交于，
∵在菱形中点和点关于对称，
∴，
∴，
当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，
如图，当时，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
由图知，，
∴和 ABC为等边三角形，
如图，过点作交延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，，
在中，，
即图象最低点的纵坐标是，
故答案为：．
三、解答题
14．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（1）解：作图如图所示：
证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，即是的中点；
（2），是的中点，
，
四边形是菱形，
，
，
，
．
16．（1）证明：连接，
在菱形中，，
∴，，
∴ ABC与是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
过点A作于点M，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为．
17．（1）证明：如图，设于点，
则，
为的中点，
，
四边形是菱形，是对角线，
，，
，
又，
，
，
为的中点，
；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
由（1）得：，，
又，
，
，
，
菱形的周长
．
18．（1）①证明：四边形是菱形，
，，
，
，
；
②解：是等腰三角形，理由如下：
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
由①知：，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：分两种情况：
①如图1，当时，过点作于，则，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
；
②如图2，当时，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
，
∵，，，
∴，
，
，
，
；
综上，的长为或2．
1

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