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2024-2025学年上海市崇明区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．一次函数在轴上的截距是　　
A．2 B． C．4 D．
2．下列方程中，有实数根的方程是　　
A． B． C． D．
3．一次函数的图象不经过的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是　　
A． B． C． D．
5．下列事件是随机事件的是　　
A．任取一个实数，它的平方小于零
B．投掷一枚骰子，朝上一面的点数不超过6
C．掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上
D．将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个
6．下列命题，其中是假命题的是　　
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
D．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置．】
7．方程的根是 　　．
8．方程的解是 　　．
9．当　　 时，关于的方程无解．
10．如果直线经过平移后得到直线，直线经过点，则直线的表达式是　　 ．
11．已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而　　 ．
12．如图，直线过点与，那么关于的不等式的解集是 　　 ．
13．在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的9个白球和3个黑球，从中随机摸出一个球，摸到黑球的概率是　　 ．
14．如果一个四边形的两条对角线的长都是，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于 　　．
15．如果一个多边形的各个外角都是，那么这个多边形的内角和是　　度．
16．如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 　　 度．
17．定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则　　 ．
18．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，联结，将△沿着翻折后得到△，若、与边分别交于点、，且，则的长为　　 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【请将下列各题的解答过程写在答题纸的相应位置．】
19．（10分）解方程：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，已知四边形与四边形都是平行四边形．
（1）图中与相等的向量是 　　 ；，则 　　 ；
（2）填空： 　　 ； 　　 ；
（3）求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．
22．（10分）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天之间的关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费．
23．（12分）如图，已知在梯形中，，，是梯形的一条对角线，，将△沿着翻折后得到△，联结交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是等腰梯形．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．
（1）求的值及直线的表达式；
（2）已知点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②以为对角线作菱形，当点在直线上且菱形的面积为8时，求的值．
25．（14分）如图，已知在梯形中，，，，，点是的中点，联结、．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式（不写定义域）；
（3）设、交点为，当△为直角三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．一次函数在轴上的截距是　　
A．2 B． C．4 D．
解：当时，，
一次函数在轴上的截距是．
故选：．
2．下列方程中，有实数根的方程是　　
A． B． C． D．
解：，那么，则不符合题意，
，那么，则不符合题意，
，解得：或（舍去），则符合题意，
，那么是方程的增根，则不符合题意，
故选：．
3．一次函数的图象不经过的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：由条件可知一次函数中随的增大而增大，且与轴交于正半轴，
一次函数的图象经过第一象限、第二象限、第三象限，
图象不经过第四象限，
故选：．
4．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是　　
A． B． C． D．
解：已知，设，
即为，
去分母得：，
．
故选：．
5．下列事件是随机事件的是　　
A．任取一个实数，它的平方小于零
B．投掷一枚骰子，朝上一面的点数不超过6
C．掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上
D．将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个
解：．任取一个实数，它的平方小于零，是不可能事件，故本选项不符合题意；
．投掷一枚骰子，朝上一面的点数不超过6，是必然事件，故本选项不本符合题意；
．掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上，是随机事件，故本选项符合题意；
．将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个，是必然事件，故本选项不符合题意；
故选：．
6．下列命题，其中是假命题的是　　
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
D．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形
解：、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，不符合题意；
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；
、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；
、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置．】
7．方程的根是 　　．
解：，
，
．
故答案为：．
8．方程的解是 　　．
解：平方，得
，
解得，
故答案为：．
9．当　　 时，关于的方程无解．
解：关于的方程无解，
，
，
故答案为：．
10．如果直线经过平移后得到直线，直线经过点，则直线的表达式是　　 ．
解：由题知，
直线由直线平移得到，
令直线的表达式为，
将点代入得，
，
解得，
所以直线的表达式为．
故答案为：．
11．已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而　增大　 ．
解：由题知，
因为一次函数与轴交于正半轴，
所以，
则，
所以函数值随的增大而增大．
故答案为：增大．
12．如图，直线过点与，那么关于的不等式的解集是 　　 ．
解：直线过点，
即时，，
当时，，
关于的不等式的解集是．
故答案为：．
13．在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的9个白球和3个黑球，从中随机摸出一个球，摸到黑球的概率是　　 ．
解：从中随机摸出一个球，摸到黑球的概率是，
故答案为：．
14．如果一个四边形的两条对角线的长都是，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于 　8　 ．
解：如图所示，
、、、分别是四边的中点，
，，，，
顺次连接这个四边形各边的中点所得四边形的周长等于．
故答案为：8．
15．如果一个多边形的各个外角都是，那么这个多边形的内角和是　1260　度．
解：设多边形的边数为，
多边形的每个外角都等于，
，
这个多边形的内角和．
故答案为：1260．
16．如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 　22.5　 度．
解：四边形是正方形，
，
，
，
在△中，，
，
，
．
故答案为：22.5．
17．定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则　或2　 ．
解：当时，，
直线与轴交于点；
当时，，
直线与轴交于点，
．
，且，
，
将代入得：，
解得：，
点到轴的距离为．
这两条直线与轴围成的三角形面积为，
，
整理得：，
解得：或，
经检验，或均为所列方程的解，且符合题意，
或2．
故答案为：或2．
18．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，联结，将△沿着翻折后得到△，若、与边分别交于点、，且，则的长为　　 ．
解：四边形是矩形，
，，；
由折叠的性质可得，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，即，
设，则，
，，
在△中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【请将下列各题的解答过程写在答题纸的相应位置．】
19．（10分）解方程：．
解：，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
整理，得，
解得：，，
经检验，是分式方程的增根，是分式方程的解．
20．（10分）解方程组：．
解：，
法一、由②，得③，
把③代入①，得，
整理，得．
．
，．
把，分别代入③，得，．
原方程的解为，．
法二、由①，得，
或．
于是原方程组可化为或．
解这两个方程组，得，．
所以原方程组的解为：，．
21．（10分）如图，已知四边形与四边形都是平行四边形．
（1）图中与相等的向量是 　　 ；，则 　　 ；
（2）填空： 　　 ； 　　 ；
（3）求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．
解：（1）四边形与四边形都是平行四边形，
，，，，
，
图中与相等的向量是．
，
．
故答案为：；4．
（2）．
．
故答案为：（或；（或．
（3）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，作，
，
则即为所求．
22．（10分）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天之间的关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费．
解：（1）设关于的函数解析式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
关于的函数解析式为．
（2）设原来需要天完成任务，则原来每天修建量为（千米），那么现在每天修建量为（千米），
根据题意，得，
解得，
则现在需要（天完成任务，
．
答：现在平均每天的修建费为31.25万元．
23．（12分）如图，已知在梯形中，，，是梯形的一条对角线，，将△沿着翻折后得到△，联结交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是等腰梯形．
【解答】证明：（1）联结，
，，
，
将△沿着翻折后得到△，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
．
（2），，
，
与不平行，
，
四边形是梯形，
，，
四边形是平行四边形，
，，且，
，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形是等腰梯形．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．
（1）求的值及直线的表达式；
（2）已知点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②以为对角线作菱形，当点在直线上且菱形的面积为8时，求的值．
解：（1）把代入得：，
的值为，；
把代入得：，
解得，
直线的表达式为；
（2）①根据题意，，，
，
，
，
或，
解得或；
②设，
轴，菱形对角线互相垂直，即，
轴，
，
设，
菱形的对角线互相平分，
的中点即为中点，
，，
，
解得，
菱形的面积为8，
，
，
，
，
或，
解得或．
25．（14分）如图，已知在梯形中，，，，，点是的中点，联结、．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式（不写定义域）；
（3）设、交点为，当△为直角三角形时，求的长．
【解答】（1）证明：如图1所示，作于点，连接，
为梯形，，
四边形为矩形，，．
易知△为△，且为斜边上的中线，
故有，即在的中垂线上，
，，
故也在的中垂线上，
则，
，
设，
则，，
即．
（2）解：过作交于点，如图2，
则可知，
由四边形为矩形，
，，
根据勾股定理得，
故，
即关于的函数解析式为．
（3）显然，
当时，可得，
从而，
，
，，
从而四边形为矩形，这与是梯形矛盾，故假设不成立；
当时，满足题意，如图3所示：
此时，，
故为的中垂线，
，
又由（1）中，
故，，
，
．
，，
．

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