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2024-2025学年上海市普陀区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共有8题，每题3分，满分21分）
1．若，则下列不等式中错误的是　　
A． B． C． D．
2．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是　　
A．垂线段相等
B．两点确定一条直线
C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条
D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
3．如图，在下列条件中，不能说明的是　　
A． B． C． D．
4．已知△是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是　　
A． B． C． D．
5．下列平面图形以直线为轴旋转一周后，可以得到如图所示的几何体的是　　
A． B． C． D．
6．已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为　　
A．16 B．18 C．16或18 D．14或16
7．小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是　　
A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、填空题（本大题共有10题，每题3分，满分30分）
8．用适当的不等号填空：如果，，那么 　　 ．
9．写出“对顶角相等”的逆命题　　 ．
10．已知三个连续自然数的和不小于21，求满足条件的最小自然数．如果设满足条件的最小自然数为，那么根据题意可列出不等式为 　　 ．
11．如图，一束平行光线照射在等边△上，如果，那么 　　 ．
12．如果等腰三角形的周长为12厘米，其中一条边的长为3厘米，那么这个等腰三角形的腰的长为 　　 厘米．
13．在△中，边、的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么 　　 ．
14．如图，把一个底面周长为12.56厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，切拼后表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱的高是 　　 厘米．
15．在△中，是边上一点，平分，，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使△为等边三角形，那么可以添加的条件是 　　 ．（只需写出一个）
16．如图，在的正方形网格中，则　　．
17．如图，在△中，，，将△绕点旋转得△，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果△是等腰三角形，那么的度数是 　　 ．
三、解答题（本大题共有7题，第19、20题每题4分，第21、22题每题6分，第23、24题每题8分，第25题10分，满分56分）
18．（4分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．（4分）如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．
求证：．
证明：，
　　 ，
在△和△中，
，
△△ 　　 ，
　　 ，
，
．
．
20．（6分）用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
如图，已知：在△中，．
求证：．
证明：假设，
　　 　　 ．
假设 　　 ，
　　 　　 ．
（完成以下说理过程）
21．（6分）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似地看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为．
（1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小；
（2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图，其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留
22．（8分）如图，已知：在△中，点、、分别在边、、上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，如果平分，求证：．
23．（8分）如图，在△中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点．
（1）求证：△△；
（2）、、之间有怎样的数量关系，请说明理由．
24．（10分）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上．
（1）如图1，，将△沿着直线翻折得△，点的对应点为点，如果，求的度数；
（2）在图2中，用尺规作△，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）
（3）在（2）所作的图中，当，时，求△的面积．（用含的代数式表示）
25．（10分）如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为．
【预备知识】
1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下．
2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果．
3．积木的质量比等于它们的高度比．
假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木．
（1）如图2，推动积木①至最远，
．积木①的最远延伸长度为 　　 ；
ⅱ．此时积木①②组合的重心偏移的距离为 　　 ．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决）
（2）在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度．
参考答案
一、选择题（共有8题，每题3分，满分21分）.
1．若，则下列不等式中错误的是　　
A． B． C． D．
解：、，，故说法正确；
、，，故说法正确；
、，，故说法正确；
、，，故说法错误．
故选：．
2．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是　　
A．垂线段相等
B．两点确定一条直线
C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条
D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
解：直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，
直线与直线重合，
故选：．
3．如图，在下列条件中，不能说明的是　　
A． B． C． D．
解：、，
（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
、，
（内错角相等，两直线平行），故本选不项符合题意；
、，
（同位角相等，两直线平行），不能判定，故本选项符合题意；
、，
（同旁内角互补，两直线平行），故本选不项符合题意；
故选：．
4．已知△是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是　　
A． B． C． D．
解：．三个内角的比为，且三个内角的和是，
最大内角的度数为，选项不符合题意；
．三个内角的比为，且三个内角的和是，
最大内角的度数为，选项符合题意；
．三个内角的比为，且三个内角的和是，
最大内角的度数为，选项不符合题意；
．三个内角的比为，且三个内角的和是，
最大内角的度数为，选项不符合题意．
故选：．
5．下列平面图形以直线为轴旋转一周后，可以得到如图所示的几何体的是　　
A． B． C． D．
解：选项中的图形以直线为轴旋转一周后，所得到的几何体与题意相符，
故选：．
6．已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为　　
A．16 B．18 C．16或18 D．14或16
解：当长为4的两直角边重合拼成一个等腰三角形，此时等腰三角形的周长；
当长为3的两直角边重合拼成一个等腰三角形，此时等腰三角形的周长，
拼成的等腰三角形的周长为16或18．
故选：．
7．小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是　　
A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
解：等腰三角形底边上的高的长度等于这条边上中线的长度，
①错误；
如图△，是边上的中线，延长至点，使，连接、．
是边上的中线，
，
（设为，
四边形是平行四边形，
（设为，（设为，
在△中，有，即，
，
三角形一边上的中线小于另两边和的一半，
②正确．
故选：．
二、填空题（本大题共有10题，每题3分，满分30分）
8．用适当的不等号填空：如果，，那么 　　 ．
解：，，
，
故答案为：．
9．写出“对顶角相等”的逆命题　相等的角是对顶角　 ．
解：原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．
10．已知三个连续自然数的和不小于21，求满足条件的最小自然数．如果设满足条件的最小自然数为，那么根据题意可列出不等式为 　　 ．
解：设满足条件的最小自然数为，则另两个自然数分别为，，
根据题意得：．
故答案为：．
11．如图，一束平行光线照射在等边△上，如果，那么 　85　 ．
解：如图所示：
△是等边三角形，
，
，
，
光线，
．
故答案为：．
12．如果等腰三角形的周长为12厘米，其中一条边的长为3厘米，那么这个等腰三角形的腰的长为 　4.5　 厘米．
解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3厘米时，
等腰三角形的周长为12厘米，
它的底边长（厘米），
，
不能组成三角形；
当等腰三角形的底长为3厘米时，
等腰三角形的周长为12厘米，
它的腰长（厘米）；
综上所述：这个等腰三角形的腰的长为4.5厘米，
故答案为：4.5．
13．在△中，边、的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么 　90　 ．
解：边、的垂直平分线相交于点，如果点在边上，
，，
，，
，
，
即．
故答案为：90．
14．如图，把一个底面周长为12.56厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，切拼后表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱的高是 　20　 厘米．
解：拼成一个近似的长方体，表面积增加了80平方厘米，
长方体的一个切面的面积为40平方厘米，
原来这个圆柱的高是（厘米）．
故答案为：20．
15．在△中，是边上一点，平分，，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使△为等边三角形，那么可以添加的条件是 　　 ．（只需写出一个）
解：作于点，于，则，
是边上一点，平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
△是等边三角形，
可以添加的条件是，
故答案为：．
注：答案不唯一．
16．如图，在的正方形网格中，则　180　．
解：和所在的三角形全等，
，
和所在的三角形全等，
，
十．
故答案为：180．
17．如图，在△中，，，将△绕点旋转得△，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果△是等腰三角形，那么的度数是 　或　 ．
解：将△绕点旋转得△，，
，，，，
，
由题意可得：或，
当时，设，
，
由三角形的内角和可得：，
，
，
，
当时，设，则，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共有7题，第19、20题每题4分，第21、22题每题6分，第23、24题每题8分，第25题10分，满分56分）
18．（4分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
解：由得，，
由得，，
解集在数轴上表示如下：
原不等式组的解集是．
19．（4分）如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．
求证：．
证明：，
　两直线平行，内错角相等　，
在△和△中，
，
△△ 　　 ，
　　 ，
，
．
．
【解答】证明：，
（两直线平行，内错角相等），
在△ 和△中，
，
△△，
（全等三角形的对应边相等），
，
．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；全等三角形的对应边相等．
20．（6分）用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
如图，已知：在△中，．
求证：．
证明：假设，
　　 　　 ．
假设 　　 ，
　　 　　 ．
（完成以下说理过程）
【解答】证明：假设，
（等边对等角）．
假设，
（大边对大角）．
上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立．
．
故答案为：；等边对等角；；．
21．（6分）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似地看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为．
（1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小；
（2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图，其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留
解：（1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为．
根据题意，得，
解得．
答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为．
（2）．
答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为．
22．（8分）如图，已知：在△中，点、、分别在边、、上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，如果平分，求证：．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
．
（2）如图，平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，平分，
．
23．（8分）如图，在△中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点．
（1）求证：△△；
（2）、、之间有怎样的数量关系，请说明理由．
【解答】（1）证明：，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△．
（2）解：，
理由：，
，
由（1）得△△，
，，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
．
24．（10分）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上．
（1）如图1，，将△沿着直线翻折得△，点的对应点为点，如果，求的度数；
（2）在图2中，用尺规作△，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）
（3）在（2）所作的图中，当，时，求△的面积．（用含的代数式表示）
解：（1）如图1中，
，
（两直线平行，内错角相等）．
，
，
由翻折得△△．
，
，
；
（2）图形如图2所示：
（3）过点作，垂足为点．设的垂直平分线交于点．
垂直平分，
，，．
，
，
，， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
，
，
，
在△ 和△ 中，
△△，
，
．
25．（10分）如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为．
【预备知识】
1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下．
2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果．
3．积木的质量比等于它们的高度比．
假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木．
（1）如图2，推动积木①至最远，
．积木①的最远延伸长度为 　　 ；
ⅱ．此时积木①②组合的重心偏移的距离为 　　 ．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决）
（2）在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度．
解：（1）①积木①的重心偏离积木②的重心的距离为；
②设积木①质量为，则积木②的质量为，
则积木①②组合的重心偏移的距离为
故答案为：①；②；
（2）设积木①的质量为，根据题意可得积木②、③、④的质量为．
由（1）可得积木①②的组合的最远推动距离为，
根据预备知识2可得将积木①②的组合推至最远时，积木①②③组合的重心偏移的水平距离，
根据预备知识可得积木组合的重心偏移的水平距离为时，积木会倒下．
所以积木③的最远推动距离为，
所以积木①②③组合的延伸长度为．

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