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回顾与思考
第四章 三角形
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图形的全等
三角形的概念及表示
三角形三边的关系、三内角的关系
图形全等的概念和性质
全等三角形
一、知识梳理
三角形全等的表示及特征
三角形全等的应用
三角形全等的条件
尺规作三角形
解决实际问题
三角形
三角形的基本概念和性质
三角形的高、中线、角平分线
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1.三角形：
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
三条线段
三角形
不在同一直线上
首尾顺次相接
2.三角形的三角关系：
（1）三角形的内角和等于180度；
（2）直角三角形的两个锐角互余.
如图，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°；
Rt△ABC中，∠C=90°,则∠A+∠B=90°.
3.三角形的三边关系：
一、知识梳理
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4.三角形的三种重要线段
概念 图形 符号 交点
中线：连接三角形一个顶点和对边中点的线段 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这点称为三角形的重心
角平分线：三角形一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点
高：从三角形的一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 三角形的三条高所在的直线交于一点（内部或外部或直角顶点）
一、知识梳理
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4.图形的全等
（1）
（2）全等图形的 和 都相同.
（3）全等三角形的 相等, 相等.
（4）全等三角形的判定方法有 、 、 、 .
边边边
形状
大小
对应边
对应角
能够完全重合
角边角
边角边
角角边
两个图形
全等图形
△ABC≌△DEF
注意：两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
一、知识梳理
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二、基础演练
1.在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度,这个三角形按角分类是 三角形.
2.已知一个等腰三角形的一边长2cm，另一边长9cm,则这个三角形
的周长是 .
3.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）.
A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 以上都不对
4.如右图所示，AD是△ABC的角平分线，且∠BAD=35°，∠C=60°，则∠B为 度.
60
20cm
锐角
A
50
①2，2，9
②9，9，2
√
×
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D
5.如图，全等的三角形是（ ）.
A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅱ和Ⅳ C. Ⅱ和Ⅲ D. Ⅰ和Ⅲ
D
6.如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明∠D′O′C′=∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（ ）.
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
A
二、基础演练
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例1.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数.
解：
（三角形的内角和是180°）
（直角三角形的两个锐角互余）
三、典例解析
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例2.（1）如图1，AB=DF，AC=DE，BE=CF．BC与FE相等吗？你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由．
解：
BC=FE，△ABC≌△DFE．理由如下：
∵BE=CF
∴BE+CE=CF+CE
即BC=FE
在△ABC和△DFE中
AB=DF
AC=DE
BC=FE
∴△ABC≌△DFE
（SSS）
（等式的性质）
图1
三、典例解析
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例2.（1）如图1，AB=DF，AC=DE，BE=CF．BC与FE相等吗？你能找到一 对全等三角形吗？说明你的理由．
（2）若△DEF翻折到如图2所示的位置，已知条件不变，则（1）中的结论仍然成立吗？你还能发现什么结论？
分析：同（1）可知
BC=FE，△ABC≌△DFE
∠A=∠D
∠B=∠F
∠ACB=∠DEF
AB∥DF
AC∥DE
∠ACF=∠DEB
图1
图2
三、典例解析
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例3.如图，已知∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为合适的条件）.
分析：现在我们已知
角→∠ABC=∠DCB
边→BC=CB(公共边)
SAS
ASA
AAS
①用 ,需要补充条件AB=DC
②用 ,需要补充条件∠ACB=∠DBC
③用 ,需要补充条件∠A=∠D
AB=DC
∠ACB=∠DBC
∠A=∠D
三、典例解析
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四、归纳提炼
判定三角形全等的基本思路
1.已知两边
对应相等
找夹角对应相等
找第三边对应相等
2.已知两角
对应相等
找任意一边对应相等
（SAS）
（SSS）
（ASA或AAS）
（AAS）
3.已知一边
一角对应相等
边是角的对边
边是角的邻边
找另一角对应相等
（SAS）
找夹该角的另一边对应相等
找另一角对应相等
（ASA或AAS）
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几种常见的全等三角形基本图形
四、归纳提炼
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在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线EF经过点A，且BE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F．
（1）当直线EF绕点A旋转到图1的位置时，
求证：①△ABE≌△CAF；②EF=BE＋CF．
解：①
∵BE⊥EF，CF⊥EF
∴∠AEB=∠CFA=90°
∴∠1+∠2=90°
∵∠BAC=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3
在△ABE和△CAF中
∠2=∠3
∠AEB=∠CFA
AB=AC
∴△ABE≌△CAF
（AAS）
②∵△ABE≌△CAF
∴BE=AF,AE=CF
∵EF=AF+AE
∴EF=BE＋CF
（全等三角形的对应边相等）
1
2
3
1
2
3
（同角的余角相等）
五、拓展提升
图1
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在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线EF经过点A，且BE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F．
（1）当直线EF绕点A旋转到图1的位置时，
求证：①△ABE≌△CAF；②EF=BE＋CF．
（2）当直线EF绕点A旋转到图2的位置时，你能得到BE、CF与EF的数量关系吗？说明你的理由．
1
2
3
分析：同（1）可知
BE=AF,AE=CF
△ABE≌△CAF
2
1
3
图1
图2
EF=BE-CF
EF=AF-AE
五、拓展提升
再 见
Thanks!
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