资源简介

1　空间直角坐标系
课时目标
1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标.
3.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得到空间两点间的距离公式.
逐点清(一)　点在空间直角坐标系中的坐标
[多维度理解]
1.空间直角坐标系
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：______、______和______，这样就建立了一个空间直角坐标系________.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为______平面、______平面、______平面.
微点助解
(1)画空间直角坐标系O xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分.
(2)将x轴和y轴放在水平面上.
(3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合.
(4)建立的坐标系一般为右手系.
2.落在坐标轴和坐标平面上的点的特点
(1)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C.设点A，B，C的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).
(2)列表如下
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z)
点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内
坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z)
[细微点练明]
1.如图，在长方体OABC O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，点P是棱B1C1的中点，则点P的坐标为(　 )
A.(3,5,4) B.
C. D.
2.在空间直角坐标系O xyz中，点M(x,2 023，z)(x∈R，z∈R)构成的集合是(　 )
A.一条直线
B.平行于xOy平面的平面
C.两条直线
D.平行于xOz平面的平面
3.已知正四棱锥P ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
逐点清(二)　空间中点的对称问题
[多维度理解]
点P(a，b，c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
zOx平面
坐标原点
记忆口诀：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反.
[细微点练明]
1.[多选]如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则下列结论正确的是(　 )
A.点B1的坐标为(3,5,4)
B.点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
2.已知点P(2,3，－1)关于xOy平面的对称点为P1，点P1关于yOz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为______________.
3.在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标.
逐点清(三)　空间两点间的距离公式
[多维度理解]
1.2个距离公式
(1)空间中任一点P(x1，y1，z1)与坐标原点O之间的距离为|PO|＝____________.
(2)已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为
|PQ|＝____________________.
2.空间中的几个特殊距离
(1)点P(x1，y1，z1)到xOy平面的距离为|z1|.
(2)点P(x1，y1，z1)到yOz平面的距离为|x1|.
(3)点P(x1，y1，z1)到zOx平面的距离为|y1|.
(4)点P(x1，y1，z1)到x轴的距离为 .
(5)点P(x1，y1，z1)到y轴的距离为 .
(6)点P(x1，y1，z1)到z轴的距离为 .
[细微点练明]
1. 空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1，6)的距离是(　 )
A.2 B.2
C.9 D.
2.在空间直角坐标系中，已知点M(1,0,3)与N(－1,1，a)两点间的距离为，则a＝(　 )
A.2或4 B.2
C.4 D.－2
3设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标.
4.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求DE，EF的长度.
空间直角坐标系
[逐点清(一)]
[多维度理解]　1.x轴　y轴　z轴　O－xyz　xOy　yOz　zOx
[细微点练明]
1.选C　由题图可知，B1(3,5,4)，C1(0,5,4)，因为点P是棱B1C1的中点，所以由中点坐标公式可得P.
2.选D　依题意，在空间直角坐标系O－xyz中，点M(x,2 023，z)(x∈R，z∈R)的纵坐标保持不变，故其构成的集合是一个平行于xOz平面的平面.
3.解：因为|PO|＝
＝＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A，B，
C，D.
[逐点清(二)]
[多维度理解]　(a，－b，－c)　(－a，b，－c)　(－a，－b，c)　(a，b，－c)　(－a，b，c)(a，－b，c)　(－a，－b，－c)
[细微点练明]
1.选BCD　易知点B1的坐标为(4,5,3)，故A错误；由C1(0,5,3)，B(4,5,0)，设点C1关于点B对称的点为P(x，y，z)，则＝4，＝5，＝0，解得x＝8，y＝5，z＝－3，故P(8，5，－3)，故B正确；在长方体中，AD1＝BC1＝＝5＝AB，所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，故C正确；因为CB⊥平面ABB1A1，故点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(0＋2×4,5,0)，即(8,5,0)，故D正确.
2.解析：点P(2,3，－1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于yOz平面的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1).
答案：(2，－3,1)
3.解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，在z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4).
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12).
[逐点清(三)]
[多维度理解]　1.(1)　(2)
[细微点练明]
1.D　2.A
3.解：因为点P在x轴上，
所以设点P的坐标为(x,0,0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，
所以
＝2，
解得x＝±1，
所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).
4.解：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.(共54张PPT)
§1
空间直角坐标系
(概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1．了解空间直角坐标系．　　　　
2．能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标．
3．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得到空间两点间的距离公式．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　
点在空间直角坐标系中的坐标　　
逐点清(二)　空间中点的对称问题
逐点清(三)　空间两点间的距离公式
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　
点在空间直角坐标系中的坐标
01
多维度理解
1．空间直角坐标系
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：____、____和____，这样就建立了一个空间直角坐标系O－xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为______平面、_____平面、_____平面．
x轴
y轴
z轴
xOy
yOz
zOx
微点助解
(1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分．
(2)将x轴和y轴放在水平面上．
(3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合．
(4)建立的坐标系一般为右手系．
2．落在坐标轴和坐标平面上的点的特点
(1)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C．设点A，B，C的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
(2)列表如下
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z)

点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内
坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z)
细微点练明
√
√
2．在空间直角坐标系O－xyz中，点M(x,2 023，z)·(x∈R，z∈R)构成的集合是(　 )
A．一条直线
B．平行于xOy平面的平面
C．两条直线
D．平行于xOz平面的平面
解析：依题意，在空间直角坐标系O－xyz中，点M(x,2 023，z)(x∈R，z∈R)的纵坐标保持不变，故其构成的集合是一个平行于xOz平面的平面．
逐点清(二)　空间中点的对称问题
02
多维度理解
点P(a，b，c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标
x轴
___________________________________
y轴
_____________________________________
z轴
_____________________________________
(a，－b，－c)
(－a，b，－c)
(－a，－b，c)
xOy平面
_______________________________
yOz平面
__________________________________
zOx平面
________________________________
坐标原点
________________________________________
续表
(a，b，－c)
(－a，b，c)
(a，－b，c)
(－a，－b，－c)
记忆口诀：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反．
细微点练明
√
1．[多选]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则下列结论正确的是(　 )
A．点B1的坐标为(3,5,4)
B．点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
√
√
解析：易知点B1的坐标为(4,5,3)，故A错误；
因为CB⊥平面ABB1A1，故点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(0＋2×4,5,0)，即(8,5,0)，故D正确．
2．已知点P(2,3，－1)关于xOy平面的对称点为P1，点P1关于yOz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为___________．
解析：点P(2,3，－1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(2,3,1)，
点P1关于yOz平面的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，
点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
(2，－3,1)
3．在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标．
解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，
在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，
在z轴上的坐标变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，
则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，
可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
逐点清(三)　空间两点间的距离公式
03
多维度理解
细微点练明
√
√
解：因为点P在x轴上，
所以设点P的坐标为(x,0,0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，
所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝
|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，
B1C1，AC的中点，求DE，EF的长度．
解：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
课时跟踪检测
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√
1．点P(2,0,1)在空间直角坐标系O－xyz中的位置是(　 )
A．在y轴上 B．在xOy平面内
C．在yOz平面内 D．在zOx平面内
解析：空间直角坐标系中，点P(2,0,1)的横坐标为x＝2，纵坐标为y＝0，竖坐标为z＝1，所以点P在空间直角坐标系O－xyz中的位置是zOx平面内．故选D．
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解析：∵点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，∴B的横坐标和纵坐标与A相同，而竖坐标与A相反，∴B(2，－3，－5)，∴直线AB与z轴平行，∴|AB|＝5－(－5)＝10.
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9．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是______________．
解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，
故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．
(－4,1，－2)
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解析：由题意知，|AB|＝3，|AD|＝2，|AA1|＝2，
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12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1
所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
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解：(1)显然A(0,0,0)，
由于点B在x轴的正半轴上且|AB|＝4，
所以B(4,0,0)，同理可得D(0,3,0)，A1(0，0,5)．
由于点C在xOy平面内，BC⊥AB，CD⊥AD，
则点C(4,3,0)．
同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，
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与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有竖坐标与点C不同，
|CC1|＝|AA1|＝5，则点C1(4,3,5)．
(2)由(1)知C(4,3,0)，C1(4,3,5)，
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解：(1)因为四边形ABCD、四边形ABEF均为正方形，
所以AB⊥BE，AB⊥BC．
因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BE 平面ABEF，
所以BE⊥平面ABCD．
所以AB，BC，BE两两垂直．
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以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
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2课时跟踪检测(二十六)　空间直角坐标系
1.点P(2,0,1)在空间直角坐标系O－xyz中的位置是(　 )
A.在y轴上　　　　　　 B.在xOy平面内
C.在yOz平面内 D.在zOx平面内
2.在空间直角坐标系O－xyz中，已知点M是点N在xOy平面内的投影，则点M的坐标是(　 )
A. B.
C. D.
3.设B点是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝(　 )
A.10 B.
C. D.38
4.已知在空间直角坐标系O－xyz中，A，B，则＝(　 )
A.1 B.
C. D.2
5.在三棱锥S－ABC中，平面SAC⊥平面ABC，SA⊥AC，BC⊥AC，SA＝6，AC＝，BC＝8，则SB的长为(　 )
A.8 B.9
C.11 D.12
6.笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为长方体，且|AB|＝|BC|＝1，|AA1|＝2，点P是x轴上一动点，则|AP|＋|PD|的最小值为(　 )
A. B.2
C. D.2
7.如图所示，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点D在yOz平面内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则点D的坐标为(　 )
A. B.
C. D.
8.已知在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1与底面垂直，上下底面均为矩形，AB＝1，AD＝AA1＝A1B1＝2，则下列各棱中，最长的是(　 )
A.BB1 B.B1C1
C.CC1 D.DD1
9.在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是____________.
10.在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知D1，B，则点C1的坐标为__________.
11.已知A，B，C，且∠BAC＝90°，则x＝________.
12.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，
N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标.
13.已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0(1)求|MN|；
(2)a为何值时，|MN|最短？
课时跟踪检测(二十六)
1．选D　空间直角坐标系中，点P(2,0,1)的横坐标为x＝2，纵坐标为y＝0，竖坐标为z＝1，所以点P在空间直角坐标系O－xyz中的位置是zOx平面内．故选D.
2．选C　点N在xOy平面内的投影为，故点M的坐标是.
3．选A　∵点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，∴B的横坐标和纵坐标与A相同，而竖坐标与A相反，∴B(2，－3，－5)，∴直线AB与z轴平行，∴|AB|＝5－(－5)＝10.
4．选B　因为A，B，所以＝＝.
5.选C　如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(8，，0)，S(0,0,6)，∴|SB|＝
＝11.
6．选C　因为|AB|＝|BC|＝1，|AA1|＝2，由题图可知，A(1，－1，－2)，D(0，－1，－2)，点A关于x轴对称的点为A′(1,1,2)．所以(|AP|＋|PD|)min＝|A′D|＝.
7.选B　过点D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2，
得|BD|＝1，|CD|＝，
所以|DE|＝|CD|·sin30°＝，
所以|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|·cos60°＝1－＝，
所以点D的坐标为，故选B.
8．选B　由四棱台ABCD－A1B1C1D1可得＝＝，故A1D1＝4.因为AA1⊥平面A1B1C1D1，而A1D1，A1B1 平面A1B1C1D1，故AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，而A1D1⊥A1B1，故可建立如图所示的空间直角坐标系．
故A1(0,0,0)，B1(0,2,0)，B(0,1,2)，C1(－4，2,0)，C(－2,1,2)，D(－2,0,2)，D1(－4,0,0)，
故＝＝，＝4，＝＝3，＝＝2.故最长的棱是B1C1.
9．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．
答案：(－4,1，－2)
10．解析：由题意知，|AB|＝3，|AD|＝2，|AA1|＝2，所以点C1的坐标为.
答案：
11．解析：依题意，由两点间的距离公式得
＝＝，
＝
＝，
＝
＝，由∠BAC＝90°，
得2＝2＋2，
于是得2＋2＝2＋2＋1，
解得x＝2.
答案：2
12．解：(1)显然A(0,0,0)，由于点B在x轴的正半轴上且|AB|＝4，所以B(4,0,0)，
同理可得D(0,3,0)，A1(0，0,5)．
由于点C在xOy平面内，BC⊥AB，CD⊥AD，则点C(4,3,0)．
同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有竖坐标与点C不同，|CC1|＝|AA1|＝5，则点C1(4,3,5)．
(2)由(1)知C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则C1C的中点坐标为，即N.
13．解：(1)因为四边形ABCD、四边形ABEF均为正方形，所以AB⊥BE，AB⊥BC.
因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BE 平面ABEF，
所以BE⊥平面ABCD.
所以AB，BC，BE两两垂直．以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则M，N.
所以|MN|＝
＝＝ ，0(2)因为|MN|＝，0

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