资源简介

　　　　　　　3.2.1　空间向量运算的坐标表示
课时目标
了解标准正交基.掌握空间向量的坐标表示.理解空间向量平行(共线)、垂直的条件.
逐点清(一)　标准正交基及空间向量的坐标表示
[多维度理解]
1.标准正交基
在空间直角坐标系O xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作______向量i，j，k，这三个__________的______向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基.
2.空间向量的坐标表示
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk.反之，任意给出一个三元有序实数组________，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应.把三元有序实数组________叫作向量p在标准正交基下的坐标，记作p＝__________.单位向量i，j，k都叫作__________.xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的__________，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上的投影______.
[细微点练明]
1.已知{i，j，k}是空间的一组标准正交基，且＝－i＋j－k，则的坐标为(　 )
A.(－1,1，－1) B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1) D.(1，－1,1)
2.若点A(－2,2,1)关于y轴的对称点为A′，则向量的坐标为(　 )
A.(4，－4，－2) B.(0，－4,0)
C.(4,0，－2) D.(－4,0,2)
3.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，
若以{，，}为基，则向量的坐标为__________，向量的坐标为__________，向量的坐标为__________.
4.已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标.
逐点清(二)　空间向量的坐标运算
[多维度理解]
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).则有
加法 a＋b＝____________________
减法 a－b＝____________________
数乘 λa＝______________________
数量积 a·b＝____________________
[细微点练明]
1.若向量a＝(4,0，－2)，向量a－b＝(0,1，－2)，则b＝(　 )
A.(－4,1,0) B.(－4,1，－4)
C.(4，－1,0) D.(4，－1，－4)
2.已知向量a＝(1,2,1)，b＝(1，－1，m)，且a·b＝－2，则m＝(　 )
A.－1 B.1
C.－2 D.2
3.已知A(1,1,0)，B(2,0，－1)，C(－1,3，－2)，则＋＝(　 )
A.(4，－4,0) B.(－4,4,0)
C.(－2,2,0) D.(－2,2，－2)
4.若A(2，－4，－1)，B(－1,5,1)，C(3，－4,1)，则·＝(　 )
A.－11 B.3
C.4 D.15
5.已知向量a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝c－2a，则c＝________.
逐点清(三)　空间向量平行(共线)和垂直的条件
[多维度理解]
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
(1)当b≠0时，a∥b λ∈R，使得
(2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b ＝＝.
(3)a⊥b a·b＝0 ____________________.
微点助解
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0).
(2)若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0.
[细微点练明]
1.已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是(　 )
A.a∥c，b∥c B.a∥c，a⊥b
C.a∥b，a⊥c D.以上都不对
2.已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋b)∥(2a－b)，则(　 )
A.x＝，y＝1 B.x＝，y＝－4
C.x＝2，y＝－ D.x＝1，y＝－1
3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1，λ，2)，且7a＋5b与2a－b互相垂直，则实数λ等于(　 )
A. B.或
C.0或 D.0或
4.已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
空间向量运算的坐标表示
[逐点清(一)]
[多维度理解]　1.单位　互相垂直　单位　2.(x，y，z)　(x，y，z)　(x，y，z)　坐标向量　投影向量　数量
[细微点练明]
1.选A　根据空间向量坐标的定义，
由＝－i＋j－k，知＝(－1,1，－1).
2.选C　因为点A的坐标为(－2,2,1)，所以点A关于y轴的对称点A′的坐标为(2,2，－1)，连接OA，OA′(O为原点)(图略)，则在标准正交基{i，j，k}下，＝－2i＋2j＋k，＝2i＋2j－k，所以＝－＝4i－2k，所以＝(4,0，－2).故选C.
3.解析：因为＝＋＋＝＋＋，所以向量的坐标为.因为＝＋＋＝＋＋，所以向量的坐标为.因为＝＋＋，所以向量的坐标为(1,1,1).
答案：　　(1,1,1)
4.解：建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0).
＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4).＝＋＝＋＋
＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4).
[逐点清(二)]
[多维度理解]　(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)　(x1－x2，y1－y2，z1－z2)　(λx1，λy1，λz1)，λ∈R　x1x2＋y1y2＋z1z2
[细微点练明]
1.选C　b＝a－(a－b)＝(4,0，－2)－(0,1，－2)＝(4，－1,0).
2.选A　因为a·b＝－2，所以1×1＋2×(－1)＋1×m＝－2 m＝－1，故选A.
3.选D　＋＝＝(－1,3，－2)－(1,1，0)＝(－2,2，－2).
4.选C　由已知，＝(2－3，－4－(－4)，－1－1)＝(－1,0，－2)，＝(－1－3，5－(－4)，1－1)＝(－4,9,0)，∴·＝4＋0＋0＝4.
5.解析：由题意，得c＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).
答案：(0,6，－20)
[逐点清(三)]
[多维度理解]　(3)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
[细微点练明]
1.选B　因为a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，所以a·b＝－4＋4＝0，c＝2a，则a∥c，a⊥b.
2.选B　由a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，得a＋b＝(x＋1,3,2－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，由(a＋b)∥(2a－b)，得＝＝，所以x＝，y＝－4.
3.选C　由题意得7a＋5b＝7(1,1,0)＋5(－1，λ，2)＝(2,7＋5λ，10)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1，λ，2)＝(3,2－λ，－2)，由7a＋5b与2a－b互相垂直，得(7a＋5b)·(2a－b)＝2×3＋(7＋5λ)×(2－λ)＋10×(－2)＝0，解得λ＝0或λ＝.
4.解：(1)因为a＝＝(1,1,0)，
b＝＝(－1,0,2)，所以2a－b＝(3,2，－2).
又c＝，所以2a－b＝－2c，
所以(2a－b)∥c.
(2)由(1)得ka＋b＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.(共58张PPT)
空间向量运算的坐标表示
(概念课—逐点理清式教学)
3.2.1
课时目标
了解标准正交基．掌握空间向量的坐标表示．理解空间向量平行(共线)、垂直的条件．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　
标准正交基及空间向量的坐标表示　
逐点清(二)　空间向量的坐标运算
逐点清(三)　
空间向量平行(共线)和垂直的条件　
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　
标准正交基及空间向量的坐标表示　
01
多维度理解
1．标准正交基
在空间直角坐标系O－xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作______向量i，j，k，这三个__________的______向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基．
单位
互相垂直
单位
2．空间向量的坐标表示
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk.反之，任意给出一个三元有序实数组____________，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应．
(x，y，z)
(x，y，z)
(x，y，z)
坐标向量
投影向量
数量
细微点练明
√
√
(1,1,1)
逐点清(二)　空间向量的坐标运算
02
多维度理解
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．则有
加法 a＋b＝______________________
减法 a－b＝________________________
数乘 λa＝____________________
数量积 a·b＝________________
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(λx1，λy1，λz1)，λ∈R
x1x2＋y1y2＋z1z2
细微点练明
√
1．若向量a＝(4,0，－2)，向量a－b＝(0,1，－2)，则b＝(　 )
A．(－4,1,0) B．(－4,1，－4)
C．(4，－1,0) D．(4，－1，－4)
解析：b＝a－(a－b)＝(4,0，－2)－(0,1，－2)＝(4，－1,0)．
2．已知向量a＝(1,2,1)，b＝(1，－1，m)，且a·b＝－2，则m＝(　 )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：因为a·b＝－2，所以1×1＋2×(－1)＋1×m＝－2 m＝－1，故选A．
√
√
√
(0,6，－20)
解析：由题意，得c＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
逐点清(三)　
空间向量平行(共线)和垂直的条件　
03
多维度理解
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
细微点练明
√
1．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是(　 )
A．a∥c，b∥c B．a∥c，a⊥b
C．a∥b，a⊥c D．以上都不对
解析：因为a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，所以a·b＝－4＋4＝0，c＝2a，则a∥c，a⊥b．
√
√
所以2a－b＝(3,2，－2)．
所以2a－b＝－2c，
所以(2a－b)∥c.
(2)由(1)得ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
课时跟踪检测
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1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,3)，B(－3，0，1)，则线段AB的中点坐标是(　 )
A．(－1，－1,2) B．(1,1，－2)
C．(2,2，－4) D．(－2，－2,4)
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2．若向量a＝(2,0，－1)，b＝(0,1，－2)，则2a－b＝(　 )
A．(－4,1,0) B．(－4,1，－4)
C．(4，－1,0) D．(4，－1，－4)
解析：因为向量a＝(2,0，－1)，所以2a＝(4,0，－2)，又向量b＝(0,1，－2)，所以2a－b＝(4,0，－2)－(0,1，－2)＝(4，－1,0)．故选C．
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3．若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b等于(　 )
A．5 B．－5
C．7 D．－1
解析：∵a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，∴两式相加得2a＝(2，－4,0)，解得a＝(1，－2，0)，∴b＝(－3,1,2)，∴a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＋0×2＝－5.故选B．
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4．已知a＝(1，－1,2)，b＝(－1，m，－2)，若a∥b，则实数m的值是(　 )
A．1 B．－1
C．2 D．－5
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9．若四边形ABCD是平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(　 )
A．(1,1，－7) B．(5,3,1)
C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)
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10．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一组基，则实数λ的值为(　 )
A．1 B．2
C．3 D．4
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11．若m＝(2，－1,1)，n＝(λ，5,1)，且m⊥(m－n)，则λ＝________.
解析：由已知得m－n＝(2－λ，－6,0)．
由m·(m－n)＝0得，2(2－λ)＋6＋0＝0，所以λ＝5.
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(1,0,1)　
(－1,1，－1)
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解析：点M(1,0,2)，N(－1,1,0)，
设点P(x，y，z)，
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14．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
解：因为a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，
所以ka＋b＝k(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k－2，5k＋3,5－k)，a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)，
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(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
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(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，
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解：∵点Q在直线OP上运动，
则Q(λ，λ，2λ)，
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13课时跟踪检测(三十)　空间向量运算的坐标表示
1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,3)，B(－3，0，1)，则线段AB的中点坐标是(　 )
A．(－1，－1,2)　　　　　 B．(1,1，－2)
C．(2,2，－4) D．(－2，－2,4)
2．若向量a＝(2,0，－1)，b＝(0,1，－2)，则2a－b＝(　 )
A．(－4,1,0) B．(－4,1，－4)
C．(4，－1,0) D．(4，－1，－4)
3．若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b等于(　 )
A．5 B．－5
C．7 D．－1
4．已知a＝(1，－1,2)，b＝(－1，m，－2)，若a∥b，则实数m的值是(　 )
A．1 B．－1
C．2 D．－5
5．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　 )
A. B.
C．(0，－1，－1) D．(－1,0，－1)
6．在△ABC中，C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　 )
A. B．－
C．2 D．±
7．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，若点M是侧面CDD1C1的中心，则在基{，，}下的坐标为(　 )
A. B.
C. D.
8．已知a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝，且a⊥b，则θ为(　 )
A．－ B.
C．2kπ－(k∈Z) D．kπ－(k∈Z)
9．若四边形ABCD是平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(　 )
A．(1,1，－7) B．(5,3,1)
C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)
10．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一组基，则实数λ的值为(　 )
A．1 B．2
C．3 D．4
11．若m＝(2，－1,1)，n＝(λ，5,1)，且m⊥(m－n)，则λ＝________.
12.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____________，1的坐标为____________，的坐标为______________．
13．已知点M(1,0,2)，N(－1,1,0)，＝2，则点P的坐标为________．
14．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
15．设O为坐标原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，求·取得最小值时点Q的坐标．
课时跟踪检测(三十)
1．选A　设线段AB的中点坐标为(x，y，z)，所以x＝＝－1，y＝＝－1，z＝＝2，故线段AB的中点坐标是(－1，－1,2)．
2．选C　因为向量a＝(2,0，－1)，所以2a＝(4,0，－2)，又向量b＝(0,1，－2)，所以2a－b＝(4,0，－2)－(0,1，－2)＝(4，－1,0)．故选C.
3．选B　∵a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，∴两式相加得2a＝(2，－4,0)，解得a＝(1，－2，0)，∴b＝(－3,1,2)，∴a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＋0×2＝－5.故选B.
4．选A　因为a∥b，所以b＝λa，所以解得
5．选A　因为向量a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，所以a·b＝1，|a|＝，所以向量b在向量a方向上的投影向量为·＝a＝.
6．选D　因为＝(－6,1,2k)，＝(－3,2，－k)，所以·＝(－6)×(－3)＋2＋2k·(－k)＝－2k2＋20＝0，解得k＝±.
7.选D　由题可知，M为DC1的中点，＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋，∴坐标为.
8．选D　∵ a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝，且a⊥b，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＋1＝0，即sin 2θ＝－1，∴2θ＝－＋2kπ，k∈Z，∴ θ＝－＋kπ，k∈Z.故选D.
9．选D　∵ABCD为平行四边形，∴＝，设D(x，y，z)，则＝(－2，－6，－2)，
＝(3－x，7－y，－5－z)，
∴解得
10．选A　若a，b，c三个向量不能构成空间向量的一组基，所以a，b，c共面，则存在x，y∈R使得c＝xa＋yb (1,3，λ)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，则解得
所以实数λ的值为1.
11．解析：由已知得m－n＝(2－λ，－6,0)．
由m·(m－n)＝0得，2(2－λ)＋6＋0＝0，
所以λ＝5.
答案：5
12．解析：由题图，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，B1(1，0,1)，C1(1,1,1)，∴＝(1,0,0)－(0,0,0)＝(1,0,0)，1＝(1,1,1)－(0,1,0)＝(1,0,1)，＝(0,1,0)－(1,0,1)＝(－1,1，－1)．
答案：(1,0,0)　(1,0,1)　(－1,1，－1)
13．解析：点M(1,0,2)，N(－1,1,0)，
则＝(－2,1，－2)，设点P(x，y，z)，
则＝(x－1，y，z－2)，由＝2，
得解得
所以点P的坐标为.
答案：
14．解：因为a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，
所以ka＋b＝k(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k－2，5k＋3,5－k)，a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)，
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
则＝＝，解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，
则(ka＋b)·(a－3b)＝7(k－2)－4(5k＋3)－16(5－k)＝3k－106＝0，解得k＝.
15．解：∵点Q在直线OP上运动，
∴∥，设＝λ，则Q(λ，λ，2λ)，
∴＝－＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取得最小值，此时Q.

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